Прикладные задачи математики в экономике и управлении. Учебное пособие

F q1, q2 , 40q1 q12 2q1q2 20q2 q22 15 q1 q2 .

Вычисляем частные производные и приравниваем их к нулю:

Мы получили систему трех уравнений с тремя неизвестными. Представляем еѐ в виде

и решаем методом исключения. Для этого складываем первое и втрое уравнения, что дает

т.е. систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решая еѐ, легко находим

q1=10; q2=5.

Это и есть координаты точки условного экстремума, т.е. тот объѐм продаж,

при котором прибыль максимальна. Соответствующее значение самой прибыли будет

10,5 40 10 102 2 10 5 20 5 52 475.

8 Метод наименьших квадратов

Для множества точек наблюдений xi , yi ,i 1,2,...,n можно попытаться выбрать различные типы кривых или прямую линию в зависимости от исходных данных.

После подбора типа кривой можно проанализировать – какая кривая y f (x)

является «ближайшей» к точкам наблюдений. В качестве критерия «близости»

используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой

Замечание: Аналогичным образом можно выбрать наилучшую кривую по

каждому типу кривой. Наиболее подходящим можно считать тот тип кривой, где

Рассмотрим подробнее некоторые случаи.

Аппроксимация прямыми, параболами

Пусть имеется множество точек (xi , yi ), i 1,2,..., n наблюдений, через него всегда можно провести такую прямую y ax b , которая является «наилучшей» среди всех прямых, т.е. «ближайшей» к точкам наблюдений по их совокупности. [2,5,6] В

качестве критерия близости, как было уже сказано, используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой переменной yi и теоретических,

рассчитанных значений a bxi :

данном случае примет вид

5a0 93,4 ,10a1 6,9

находим a0 18,68, a1 0,69 .

Искомая зависимость производства мяса от времени имеет вид

y 18,68 0,69x .

Таблица 4 - Приведенные данные валового сбора зерна

Из системы для нахождения неизвестных коэффициентов, которая в данном случае примет вид

34a2 10а0 2007,9

10a1 19,5 ,10а2 5а0 1017,2

Аппроксимация гиперболической функцией

В расчетах динамический ряд может быть описан уравнением гиперболы

yx a bx .

Для гиперболической зависимости способ наименьших квадратов дает такую

n

систему нормальных уравнений ( понимается как ):

i 1

na b 1x y

a 1x b x12 xy .

Решая это уравнение способом определителей, находим

Пример 34. За период 2003-2008гг. известен товарооборот регионального склада (таблица 6). Сделайте прогноз товарооборота регионального склада на 20092010гг.[1,2,7]

Таблица 6 - Товарооборот регионального склада за период 2004-2009гг.,

млн. усл. ден. ед.

Решение. По данным таблицы 6 строим график изменения товарооборота.

Она изменяется по гиперболе. Эта связь между указанными признаками соответствует уравнению гиперболы . В этой формуле необходимо определить параметры a и b.

Для нахождения параметров a и b составим таблицу 7. Определив параметры a и b, мы составим уравнение гиперболы для прогнозирования товарооборота в

2009-2010гг.

Таблица 7 - Таблица нахождения параметров a и b

наименьших квадратов.

Задача 3. Найти показатель H p – удельный показатель объема перевозок,

отнесенный на 1 млн. руб. товарооборота в 2010г. В таблице 8 она выражается динамическим рядом. Динамика дает нам основание утверждать, что изменение этого показателя по годам имеет вид гиперболы. (Эта тенденция может быть принята за основу для прогнозирования этого показателя по уравнению гиперболы:

H p a b x )

Таблица 8 - Исходные данные для прогнозирования объема перевозок с

регионального склада в 2006г.

9 Линейные экономические модели

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями.

Предположим, что вся производящая сфера народного хозяйства разбита на некоторое число n отраслей, каждая из которых производит свой однородный