Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
где
П
kk
F (r )
R
kk
F( )v
В
k
F (t)
q
Q
q( t )
ПRВ
qq q q
Q Q Q Q.=++
П
q
Q
П
kk
F (r )
R
q
Q
В
q
Q
П
q
П
Q,
q
∂
= −
∂
П( q )
2
1
П( q ) cq ,
2
=
– потенциальные силы, зависящие только от положения точки;
– силы сопротивления (диссипативные силы), линейно зависящие от
скорости и вызывающие уменьшение полной механической энергии системы;
обобщенной координате
– вынуждающие (возмущающие) силы, являющиеся функцией времени t.
По аналогии с (2.12) обобщенную силу
, соответствующую выбранной
, представим в виде:
(2.13)
где
сил
– составляющая обобщенной силы, обусловленная действием потенциальных
;
– диссипативная составляющая обобщенной силы;
– вынуждающая составляющая обобщенной силы соответственно.
Из курса теоретической механики известно [1, 5 ], что составляющая обобщенной
силы от действия потенциальных сил равна взятой с противоположным знаком частной
производной от потенциальной энергии по обобщенной координате:
(2.14)
где
– потенциальная энергия системы.
Для системы с одной степенью свободы потенциальная энергия в
соответствии с выражением (1.14) примет вид:
(2.15)
31
где
11
cc=
R
q
Q
R
k
k kk
F( )µ= −vv
k
µ
kk
dr
.
dq q
∂
=
∂
v
nn n
kk
k kk kk
k1 k1 k1
nn
kk
k1 k1
RR
q
2
k
kk k
rr
QF
qqddq
dd
.
dq 2 dq 2
µµ
µµ
= = =
= =
∂∂
==−=−
∂∂
=
=
=
−
−
∑∑ ∑
∑∑
vv
vv v
v
n
k
k1
2
k
1
Ф,
2
µ
=
=
∑
v
Ф
– обобщенный коэффициент жесткости, удовлетворяющий условию (1.25).
Получим выражение для составляющей обобщенной силы от действия
диссипативных сил
. Предположим, что силы сопротивления, действующие на
точки механической системы, линейно зависят от скорости этих точек:
, (2.16)
где
– коэффициент постоянный коэффициент пропорциональности.
Из (2.7) имеем:
Тогда
Обозначим
(2.18)
где
– диссипативная функция Рэлея или функция рассеивания [3, 7], по форме
аналогичная выражению для кинетической энергии (2.6).
. (2.17)
Составляющая обобщенной силы от действия сил сопротивления можно
равна взятой с противоположным знаком частной производной от диссипативной
функции по обобщенной скорости:
32
R
q
Ф
Q.
q
∂
= −
∂
(2.19)
2
2
nn
2 22
kk
kk
k1 k1
dr r
1 1 11
Ф q B( q ) q bq ,
2 dt 2 q 2 2
µµ
= =
∂
= = = ⋅=
∂
∑∑
b
d( T+ ) dE
2,
dt dt
Π
Φ
= = −
E
В
k
F ( t ),
В
k
F (t)
q
δ
Повторяя рассуждения, приведенные в пункте 2.2.1 для кинетической
энергии, представим диссипативную функцию с требуемой степенью точности по
аналогии с выражением (2.11) в виде:
(2.20)
где
– постоянный неотрицательный коэффициент, называемый обобщенным
коэффициентом диссипации [4].
Единицы измерения обобщенного коэффициента диссипации, также как и
обобщенных коэффициентов инерции и жесткости, определяются единицами
измерения выбранной обобщенной координаты.
Диссипативная функция Рэлея имеет простой механический смысл: скорость
уменьшения (рассеивания) полной механической энергии системы равна удвоенному
значению диссипативной функции Рэлея [7]:
(2.21)
где
— полная механическая энергия системы.
Составляющую обобщенной силы от действия вынуждающих сил
зависящих от времени, можно получить известным из курса теоретической
механики стандартным способом, как отношение суммарной возможной работы
вынуждающих сил
к вариации обобщенной координаты
:
33
n
k
В
k1
q
A
Q .
q
δ
δ
=
=
∑
С учетом полученных соотношений (2.14) и (2.19) выражение для обобщенной
В
qq
ПФ
Q Q.
qq
∂∂
=−−+
∂∂
В
q
dT T ПФ
Q.
dq q q q
∂ ∂ ∂∂
−=−−+
∂ ∂ ∂∂
q( t )
T
0,
q
∂
=
∂
В
q
dT ФП
Q.
dq q q
∂ ∂∂
++=
∂ ∂∂
силы (2.13) примет вид:
Подставив (2.23) в уравнение движения (2.5), получим
(2.22)
(2.23)
(2.24)
Как следует из полученного выражения (2.11), кинетическая энергия системы
с точностью до величин второго порядка малости является функцией только
обобщенной скорости
. Тогда частная производная от кинетической энергии
системы по обобщенной координате тождественно равна нулю
и уравнение движения (2.24) примет вид:
(2.25)
С учетом выражений (2.11), (2.15) и (2.20) имеем
34
T dT ФП
aq, aq, bq, cq,
q dq q q
∂ ∂ ∂∂
= = = =
∂ ∂ ∂∂
В
q
aq bq cq Q ,++=
2 В
q
1
q 2nq k q Q ,
a
++=
2
bc
2n , k .
aa
= =
2
q k q 0.+=
Подставляя (2.26) в (2.25), получим
или
где введены обозначения
(2.26)
(2.27)
Выражение (2.27) представляет собой дифференциальное уравнение малых
колебаний системы с одной степенью свободы в общем случае.
2.3 Свободные колебания механической системы с одной степенью
свободы
В случае отсутствия диссипативных и вынуждающих сил уравнение (2.27)
примет вид:
(2.28)
Решение однородного линейного дифференциального уравнения второго
порядка (2.28) с постоянными коэффициентами будем искать в виде
35
t
q( t ) eλ=
. (2.29)
λ
22
k 0.
λ
+=
1,2
ki.
λ
= ±
( ) ( )
12
q C cos kt C sin kt= +
( ) ( )
12
q kC sin kt kC cos kt=−+
1
C
2
C
0 00
t 0 q(0 ) q , q( 0 ) q ,= = =
00
q,q
102
0
q
C q , C
k
= =
Подставляя (2.29) в (2.28), найдем, что параметр
характеристическому уравнению
Характеристическое уравнение (2.30) имеет два мнимых корня:
В этом случае общее решение дифференциального уравнения (2.29) имеет вид:
должен удовлетворять
(2.30)
. (2.31)
Откуда
Произвольные постоянные
движения:
где
– начальные значения обобщенной координаты и обобщенной скорости
соответственно.
Подставляя начальные условия в (2.31) и (2.32) получим:
при
и
. (2.32)
определяются из начальных условий
.
36
С учетом найденных значений постоянных интегрирования общее решение
( ) ( )
0
0
q
q q cos kt sin kt
k
= +
q Asin( kt ),
α
= +
A
A
( ) ( ) ( ) ( )
q A sin cos kt cos sin kt
αα
= ⋅+⋅
( ) ( ) ( ) ( )
q Asin cos kt Acos sin kt
αα
= ⋅+ ⋅
( )
k
2
22 2
00
1
12 0
20
q qk
C
A C C q ; arctg arctg
k Cq
α
= += + = =
(2.31) примет вид:
Представим общее решение (2.31) в амплитудной форме:
. (2.33)
(2.34)
где
и α – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий
движения.
Для определения
суммы в выражении (2.34):
или
Сопоставляя выражения (2.35) и (2.33), получим
и α воспользуемся общеизвестной формулой синуса
,
. (2.35)
q Asin ;
=
0
q
0
Acos .
=
α
(2.36)
α
( )
Откуда
. (2.37)
37
Из (2.34) следует, что свободные колебания в линейной консервативной
q
t
2
π
( kt )
α
+
A
q( t )
q0=
O
q
q(t)
t
А
Т
системе с одной степенью свободы являются гармоническими.
На рисунке 12 показан график зависимости обобщенной координаты
времени
при свободных колебаниях системы с одной степенью свободы.
Перечислим основные характеристики такого движения:
– круговая, или циклическая частота k, определяющая число полных
колебаний за
секунд;
– фаза колебаний
– начальная фаза колебаний α;
– амплитуда колебаний
обобщенной координаты
значению
;
– период колебаний T, представляющий собой время совершения одного
полного колебания.
от
;
, определяющая максимальное отклонение
от положения равновесия, соответствующего
0
Рисунок 12
38
Период колебаний
T
2a
T2
kc
π
π
= =
1k
N
T2
π
= =
k
2
q 2nq k q 0,++=
b
и круговая частота колебаний k связаны между собой
соотношением:
. (2.38)
В инженерной практике часто используют величину, обратную периоду
колебаний и называемую частотой колебаний (число колебаний в единицу времени):
. (2.39)
Как видно из (2.38) круговая частота
и период колебаний T не зависят от
начальных условий (свойство изохронности колебаний). Свойство изохронности
является следствием допущения о малости колебаний и линейности
дифференциального уравнения (2.28).
2.4 Влияние сил сопротивления на свободные колебания системы с одной
степенью свободы
Свободные колебания механической системы в реальных условиях
происходят при наличии сил сопротивления, вызывающих рассеивание
(диссипацию) механической энергии системы.
В случае наличия сил сопротивления и отсутствия вынуждающих сил
дифференциальное уравнение движения системы (2.27) примет вид:
где
n2a=
Будем искать решение дифференциального уравнения (2.40) в виде (2.29).
(2.40)
– коэффициент затухания.
39
Подставляя (2.29) в (2.40), найдем, что параметр
λ
22
2n k 0.
λλ
+ +=
22
1,2
n n k.
λ
=−± −
n
nk<
nk=
nk>
nk<
1,2
n ik
λ
∗
=−±
22
k kn
∗
= −
nt
12
q e ( C cos k t C sink t )
−
∗∗
= +
nt nt
1 2 11 21
q ne ( C cosk t C sink t ) e ( C k sink t C k cosk t )
−−
∗∗ ∗ ∗
=− + +− +
характеристическому уравнению
(2.41)
Откуда
(2.42)
должен удовлетворять
В зависимости от соотношения между величинами
различных случая:
– случай малого сопротивления
– случай критического сопротивления
– случай большого сопротивления
Рассмотрим каждый случай в отдельности.
1. Случай малого сопротивления
В случае малого сопротивления корни характеристического уравнения (2.42)
являются мнимыми
и k возможны три
;
;
.
:
,
где введено обозначение
.
Общее решение дифференциального уравнения (2.40) имеет вид:
а выражение для обобщенной скорости представляется в виде:
, (2.43)
. (2.44)
40