Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
иногда называют сейсмическими, поскольку они построены по такому же принципу,
2 1 S1(t)
S(t)
h с m
0η≈
k
что и сейсмографы – приборы для регистрации колебаний земной коры.
Такие приборы должны измерять абсолютные колебания изучаемого объекта
относительно некоторой реально несуществующей «неподвижной» системы
отсчета, не имея возможности опереться на нее. Следовательно, в приборе должно
быть тело, покоящееся относительно «неподвижной» системы отсчета.
Таким телом отсчета может служить тело 1, упруго соединенное с
исследуемым объектом 2 (рисунок 21).
Рисунок 21
В этом случае коэффициент динамичности
прибора
существенно меньше частоты низшей регистрируемой гармоники, т. е.
и собственная частота
тело 1 остается практически неподвижным, и запись движения объекта относительно тела с точностью до знака будет соответствовать колебаниям объекта.
Таким образом, в сейсмических приборах соотношение между собственной
частотой и частотами регистрируемых гармоник обратно тому, что имеет место в
приборах первого типа.
71
2.9 Основы виброзащиты
m
c
µ
()
cc
R t cx x
µ
= +
c
x
k
x
Проблемы, связанные с защитой от негативного воздействия вибраций
(виброзащитой), рассмотрим на простейших примерах системы с одной степенью
свободы, представляющей собой тело массой
, совершающее вынужденные
прямолинейные колебания.
Необходимость виброзащиты возникает в двух случаях:
1. Необходимость уменьшения воздействия вибраций, возникающих в
процессе работы, на фундамент какой-либо машины.
2. Необходимость защиты какого-либо устройства (экипаж, прибор и т. д.) от
вредного воздействия вибраций, возникающих при транспортировке или
являющихся результатом работы находящихся рядом машин.
В первом случае возмущающая сила приложена непосредственно к телу
(рисунок 22, а) и имеет место силовое возбуждение колебаний, во втором (рисунок
22, б) – кинематическое возбуждение колебаний вследствие вибрации основания.
Воздействие на фундамент, при силовом возбуждении по возможности
должно быть малым. Станки, двигатели или другие аналогичные машины,
создающие в процессе работы вибрации, устанавливают на фундамент, как правило,
через различные амортизирующие подушки, изготовленные из специальных сортов
резины, обладающей помимо упругости большим внутренним неупругим
сопротивлением. Эти подушки можно аппроксимировать пружиной жесткостью
демпфером с коэффициентом вязкого сопротивления
(рисунок 22, а). Тогда
и
динамическое воздействие на фундамент будет равно
, (2.100)
где
– перемещение тела относительно положения статического равновесия.
При кинематическом возбуждении колебаний необходимо, чтобы абсолютные
перемещения
тела были как можно более малыми (рисунок 22, б).
72
При силовом возбуждении, сила тяжести компенсируется статической
()
c cc
mx x cx F t
µ
+ +=
kk k
mx h( x s( t )) c( x s(t )) 0+− +− =
() ()
k kk
mx x cx cs t s t
µµ
+ += +
µ
c
m
с
m
с
деформацией пружины, и уравнение движения тела имеет вид:
, (2.101)
а при кинематическом возбуждении
,
или
, (2.102)
где
– коэффициент вязкого сопротивления материала пружины или
специально установленного демпфера (например, амортизатора);
– жесткость пружины подвески.
а) б)
Рисунок 22
73
Обозначим отношение амплитуд динамического
()Rt
()Ft
c
β
()
k
xt
()st
k
β
2
ck
4 22
22 2 2
k 4n p
1
(k p ) 4n p
ββ β
+
= = = <
−+
2
k
22
22 22
1 dz
1
(1 z ) d z
β
+
= <
−+
z pk=
2d nk=
22 22 22
(1 z) dz 1 dz− + >+
22
z (z 2) 0−>
z2>
p k2>
и силового
воздействий на фундамент через
кинематическом воздействии
. Как показано в [3, 4], условие виброзащиты не
, а отношение амплитуд
зависит от природы возмущения и имеет вид:
Разделив числитель и знаменатель (2.103) на
защиты к виду:
и
при
. (2.103)
, преобразуем условие вибро-
,
где
– коэффициент расстройки;
– безразмерный коэффициент затухания.
Отсюда, имеем:
или
Это неравенство выполняется при
или
,
.
.
Следовательно, независимо от способа возмущения и значения вязкого
сопротивления для осуществления виброзащиты необходимо, чтобы собственная
74
частота колебаний системы была значительно ниже (по крайней мере, в
2
p k2>
p
адание колеса в яму и т. д.), что при отсутствии
частоты возбуждения.
раза)
При
демпфирование будет играть отрицательную роль, поскольку,
чем меньше демпфирование, тем больше эффект виброзащиты. Вместе с тем
уменьшение демпфирования не всегда приводит к увеличению эффекта
виброзащиты.
Необходимо учитывать, что при силовом возбуждении машина при пуске
проходит режим раскрутки, а при остановке – торможения. Частота возбуждения
при этом изменяется от нуля до
и наоборот. При этом система проходит через
резонанс, что вынуждает конструктора в ущерб виброзащите повышать
демпфирование, чтобы уменьшить амплитуду резонансных колебаний. При
кинематическом возбуждении возможно скачкообразное перемещение основания
(наезд на препятствие, поп
амортизаторов может привести к недопустимым перемещениям и, следовательно,
перегрузкам защищаемого объекта, а также к длительному процессу затухания
возникающих свободных колебаний.
75
3 Малые колебания системы с двумя степенями свободы
1
q
2
q
1
11
2
22
dT T
Q;
dt q q
dT T
Q,
dt q q
∂∂
−=
∂∂
∂∂
−=
∂∂
T
i
Q
i
q ( i 1,2 )=
3.1 Дифференциальное уравнение малых колебаний системы с двумя степенями свободы
Рассмотрим механическую систему c голономными, стационарными,
удерживающими связями, состоящую из n материальных точек и имеющую две
степени свободы. Предположим, что система имеет устойчивое положение
равновесия, от которого будем отсчитывать обобщенные координаты
и
Выведем систему из этого положения, сообщив ее точкам малые начальные
возмущения (малые отклонения от положения равновесия и скорости). Вследствие
устойчивости положения равновесия при дальнейшем движении системы
отклонения и скорости всех ее точек будут также малы по модулю, т.е. система
будет совершать движение вблизи этого положения равновесия.
Дифференциальные уравнения движения механической системы с двумя
степенями свободы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа II рода)
имеют вид:
(3.1)
.
где
– кинетическая энергия системы;
– обобщенная сила, соответствующая выбранной обобщенной координате
.
С учетом (2.13), уравнения (3.1) примут вид:
76
ПRВ
1 11
ПRВ
2 22
11
22
dT T
;
dt
QQQ
Q Q Q,
qq
dT T
dt q q
∂∂
−=
∂∂
∂∂
−=
∂∂
+
++
+
(3.2)
П
q
Q
R
q
Q
В
q
Q
n
2
kk
k1
1
T m,
2
=
=
∑
v
k
v
k
m
12
q (t), q (t)
i i1 2
r r (q ( t),q ( t ))=
kk k k k
12
k 12
1 2 12
dr r r r r
dq dq
q q.
dt q dt q dt q q
∂ ∂ ∂∂
==⋅+⋅ = +
∂ ∂ ∂∂
v
( )
2
2
kk
=vv
nn
2
kk
k1
k
1
2
k
kk
12
12
rr
T= m q
1
q
1
m,
2 qq2
= =
∂∂
= +
∂∂
∑∑
v
где
– потенциальная составляющая обобщенной силы;
– диссипативная составляющая обобщенной силы;
– вынуждающая составляющая обобщенной силы соответственно.
Кинетическая энергия механической системы материальных точек в общем
случае определяется выражением (2.6):
где
– скорость точки массой
.
Все связи системы являются стационарными, следовательно, радиус-векторы
точек системы зависят только от обобщенных координат
свою очередь являются функциями времени, т.е.
Подставляя (3.3) в выражение кинетической энергии (2.6) с учетом тождества
, получим
, которые в
. Тогда,
(3.3)
77
22
22
1 12
n
k
k1
k kk k
2
1 12 2
r rr r
1
T q 2 qqm q
q qq q
,
2
=
∂ ∂∂ ∂
= ++
∂ ∂∂ ∂
∑
nn n
kk k
22
22
11
k1 k1 1
2
k
k kk k
2
1 12 2
r rr r
1
T q 2 qq q
2q
mm
qq q
m
= = =
∂ ∂∂ ∂
=++
∂ ∂∂ ∂
∑∑ ∑
1
ij
n
k
k
kk
ij
rr
A
qq
m
=
∂∂
=
∂∂
∑
22
11 1 12 1 22 2
2
1
T A q 2A q q A q
2
= +
+
ij
A
12
q (t), q (t)
ij
A
12
q ,q
12
qq0= =
( )
ij ij
ij 1 2 ij 1 2
0
12
00
AA
A ( q ,q ) A q q ...
qq
∂∂
=+++
∂∂
( )
0
...
12
q q 0.= =
Введем обозначение
.
. (3.4)
тогда выражение для кинетической энергии системы примет вид:
, (3.5)
где
являются, в общем случае, функциями обобщенных координат
Разложим
в ряд Маклорена по степеням обобщенных координат
окрестности положения равновесия, приняв в положении равновесия
(3.6)
.
в
.
Здесь, как и ранее, обозначение
показывает, что соответствующее
выражение вычисляется в положении равновесия при
78
Т.к. в выражении для кинетической энергии (3.5) следует ограничиться
( )
ij 1 2 ij ij
0
A ( q ,q ) A a const= = =
ij
a
ij ji
aa=
22
11 1 12 1 2 22 2
1
T a q 2a q q a q
2
=++
11 12
11 22
12 22
aa
a 0, a 0, 0.
aa
>> >
22
1 2 11 1 12 1 2 22 2
1
П( q ,q ) c q 2c q q c q ,
2
=++
слагаемыми не выше второго порядка малости, то с требуемой степенью точности
можно считать, что
.
Величины
согласно (3.4)
называются обобщенными коэффициентами инерции, причем
.
Окончательно для системы с двумя степенями свободы выражение
кинетической энергии в обобщенных координатах примет вид:
, (3.7)
т.е. кинетическая энергия механической системы является однородной
квадратичной формой обобщенных скоростей.
Так как кинетическая энергия всегда положительна и равняется нулю только
при нулевых значениях обобщенных скоростей, то ее коэффициенты должны
удовлетворять критерию Сильвестра (1.24):
Потенциальная энергия системы с двумя степенями свободы в соответствии с
выражением (1.14) имеет вид:
(3.8)
79
где
ij
с ( i, j 1,2 )=
ij ji
с с.=
ij
с
11 12
11 22
12 22
cc
c 0, c 0, 0.
cc
>> >
1
2
П
2
2
П
1
1
Q
dT T
;
dt q q
dT T
Q
tq
.
dq
∂∂
−=
∂∂
∂∂
−=
∂∂
П
i
i
П
Q ( i 1,2 ),
q
∂
=−=
∂
– обобщенные коэффициенты жесткости, характеризующие
упругие свойства механической системы, причем
Выражение (3.8) показывает, что потенциальная энергия механической
системы является однородной квадратичной формой обобщенных координат.
Обобщенные коэффициенты жесткости
в соответствии с (1.24) должны
удовлетворять условию:
3.2 Свободные колебания системы с двумя степенями свободы
3.2.1 Дифференциальные уравнения свободных колебаний
В случае отсутствия диссипативных и возмущающих сил, уравнения (3.2)
примут вид
(3.9)
Составляющая обобщенной силы от действия потенциальных сил равна взятой с
противоположным знаком частной производной от потенциальной энергии по
соответствующей обобщенной координате:
(3.10)
80