Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
Теорема Лагранжа-Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что
равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная
энергия имеет минимум. Однако эта теорема не указывает, каким будет равновесие
системы, если потенциальная энергия в положении равновесия не имеет минимума.
Ответ на этот важный для весьма обширного класса задач вопрос содержится
в теоремах А.М. Ляпунова [7]:
Теорема 1. Равновесие системы неустойчиво, если отсутствие минимума
потенциальной энергии узнается по членам второго порядка малости в
разложении потенциальной энергии без необходимости рассмотрения членов
высшего порядка.
Теорема 2. Равновесие системы неустойчиво, если потенциальная энергия
имеет максимум и наличие этого максимума может быть установлено из
рассмотрения членов наименее высокого порядка малости в разложении
потенциальной энергии.
Последнюю теорему применяют в том случае, если невозможно определить
наличие или отсутствие минимума по членам второго порядка малости, например в
случае, когда эти члены в разложении потенциальной энергии просто отсутствуют
(равны нулю).
1.5 Устойчивость равновесия неконсервативных механических систем
В реальной механической системе всегда существуют силы сопротивления
движению, возникающие благодаря трению или вязкости среды. Такие силы
принято называть диссипативными.
При наличии в системе диссипативных сил для оценки устойчивости
положения равновесия можно дополнительно воспользоваться тремя теоремами
Кельвина [3, 4].
Теорема 1. Если положение равновесия консервативной системы
устойчиво при одних только потенциальных силах, то оно будет оставаться
21
устойчивым и при добавлении диссипативных сил.
Теорема 2. Устойчивое положение равновесия становится
асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных сил с полной
диссипацией.
Понятие полной диссипации имеет существенное значение для систем с двумя
и более степенями свободы и определено в подразделе 3.3.
Теорема 3. Изолированное и неустойчивое при одних потенциальных силах
положение равновесия не может быть стабилизировано диссипативными
силами.
Первые две теоремы Кельвина показывают, что наличие диссипативных сил
не может нарушить устойчивость положения равновесия. Третья теорема,
утверждает, что диссипативные силы не могут привести к переходу системы из
неустойчивого положения равновесия в устойчивое. Кроме того, из приведенных
теорем следует, что для выяснения характера положения равновесия реальной
механической системы с диссипативными силами ее можно заменить
консервативной моделью.
В заключение заметим, что реальные механические системы всегда имеют
бесконечно большое число степеней свободы, т.к. такие системы включают в себя
упругие (деформируемые) тела, отдельные точки которых могут перемещаться
относительно друг друга. Следовательно, для определения положения реальных
механических систем требуется задание бесконечно большого числа обобщенных
координат, определяющих положение каждой отдельной материальной точки
системы. Реальную механическую систему можно рассматривать как систему с
конечным числом степеней свободы только в том случае, если все инерционные
(имеющие массу) элементы системы считать абсолютно твердыми, а все упругие
элементы (например, пружины) безынерционными, т.е. считать, что их массы
пренебрежимо малы по сравнению с массами твердых тел.
22
2 Малые колебания системы с одной степенью свободы
q( t )
q( t T ) q( t ).+=
Механические колебания
Периодические
Непериодические
Почти периодические
2.1 Общие сведения о колебаниях
Механическими колебаниями называется движение, в процессе которого
происходит многократное чередование возрастания и убывания некоторых величин,
например обобщенных координат точек механической системы.
Механические колебания можно классифицировать по целому ряду
признаков: по характеру закона изменения обобщенных координат, по
характеру сил, действующих на точки системы и т.п.[3, 4].
По кинематическому признаку, т.е. по характеру закона изменения во
времени обобщенной координаты, все встречающиеся на практике механические
колебания можно разделить на периодические, почти периодические и непериодические
(рисунок 8).
Рисунок 8 – Классификация колебаний по кинематическому признаку
Периодическим называется такое движение, при котором обобщенная
координата
времени Т имеет то же самое значение:
, взятая в любой момент времени t, через определенный отрезок
Непериодическим называются движение, не удовлетворяющее сформулированному
условию периодичности (2.1).
(2.1)
23
Промежуточное положение между периодическим и непериодическим
q( t )
q( t T ) q( t ) .
ε
+− ≤
T
ε
q( t )
q(t)
t
занимает почти периодическое движение [3, 4].
Обобщенная координата
времени t удовлетворяет условию:
где
координаты
некотором промежутке времени практически близко к периодическому.
колебания, при которых обобщенные координаты во времени изменяются по закону
синуса или косинуса.
и ε – некоторые постоянные величины.
Если значение
за время T, то можно считать, что почти периодическое движение на
Среди периодических огромную роль играют прежде всего гармонические
мало по сравнению со средним значением обобщенной
при почти периодическом движении в любой момент
(2.2)
Непериодические колебания гораздо разнообразнее периодических. Наибольший
практический интерес представляют колебания, происходящие по закону «затухающей
(нарастающей) синусоиды» (рисунки 9, 10), и лимитационные движения (рисунок 11).
Рисунок 9 – Затухающие гармонические колебания
24
Колебания по закону «затухающей синусоиды» или затухающие
nt
q(t ) Ae sin(kt ),
α
−
= +
A,n,k,
α
( )
kt kt nt
q(t ) Ae Be e ,
−−
= +
A,B,k,n
q(t)
t
гармонические колебания (рисунок 9) описываются уравнением вида:
(2.3)
где
– постоянные величины.
Очевидно, что закон движения при нарастающих гармонических колебаниях
(рисунок 10) отличается от уравнения (2.3) только знаком величины n.
Рисунок 10 – Нарастающие гармонические колебания
Обобщенная координата при лимитационном движении изменяет знак
ограниченное число раз и с течением времени стремится к некоторому постоянному
значению. Математически лимитационные движения могут быть описаны
уравнением вида:
(2.4)
где
– действительные числа.
Примеры лимитационных движений показаны на рисунке 11.
25
q(t)
t
Рисунок 11 – Лимитационные движения
Перечисленные признаки механических колебаний являются чисто внешними
и не учитывают всех особенностей происходящих при этом процессов, поэтому
принято классифицировать колебания по целому ряду признаков [3, 4].
По числу учитываемых в расчетной схеме степеней свободы различают:
а) колебания в системах с одной степенью свободы;
б) колебания в системах с конечным числом степеней свободы;
в) колебания в системах с распределенными параметрами (с бесконечным
числом степеней свободы).
По совокупности действующих на механическую систему сил:
а) свободные колебания;
б) вынужденные колебания;
в) параметрические колебания;
г) автоколебания.
Свободные колебания происходят в изолированных механических системах
после некоторого внешнего возмущения под действием только восстанавливающих
сил, в качестве которых чаще всего выступают силы упругости. Характеристики
колебательного процесса в этом случае определяются внутренними параметрами
самой системы, зависящими от ее физического строения.
26
Вынужденные колебания вызываются и поддерживаются внешними
вынуждающими (возмущающими) силами или внешним кинематическим
возбуждением. Характер колебаний при этом определяется не только физическими
свойствами самой механической системы, но и существенно зависит от характера
внешнего воздействия.
Параметрические колебания – механические колебания, вызываемые и
поддерживаемые некоторым параметрическим возбуждением, т.е. изменением во
времени одного или нескольких параметров системы, например, массы,
коэффициента жесткости, момента инерции и т.п.
Автоколебания – незатухающие периодические колебания механической
системы, поддерживаемые за счет внешнего постоянного (непериодического)
воздействия. Отличительной особенностью автоколебательных систем является
способность регулировать поступление энергии от источника движением самой
системы.
По типу дифференциальных уравнений движения, описывающих
механические колебания, различают:
а) линейные колебания, при которых движение механической системы
описывается линейными дифференциальными уравнениями;
б) нелинейные колебания, которые описываются нелинейными
дифференциальными уравнениями.
Изучение и анализ нелинейных колебаний представляет собой математически
сложную задачу в связи с отсутствием общих методов интегрирования нелинейных
дифференциальных уравнений. Вместе с тем для решения многих практических
задач оказывается возможной линеаризация уравнения движения, т.е. замена точных
нелинейных уравнений приближенными линейными. Естественно, что
линеаризованные уравнения не могут в точности отобразить движение системы и
дают искаженную картину явлений, присущих только нелинейным колебаниям.
Вместе с тем, эти искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные
члены уравнений по сравнению с оставшимися.
27
2.2 Дифференциальное уравнение малых колебаний системы с одной
n
t
q( t )
q
dT T
Q,
dq q
∂∂
−=
∂∂
T
q
q
q
Q
q( t )
q( t )
q( t )
степенью свободы в общем случае
Рассмотрим механическую систему
материальных точек c одной степенью
свободы, на которую наложены голономные, стационарные, удерживающие связи.
Пусть система находится в положении устойчивого равновесия. Выведем систему из
положения равновесия, сообщив ее точкам малые начальные скорости и отклонения.
Положение системы в любой момент времени
координатой
, которую условимся отсчитывать от положения устойчивого
характеризуется одной обобщенной
равновесия.
Для составления дифференциального уравнения дальнейшего движения
системы воспользуемся уравнением Лагранжа ІІ рода:
(2.5)
где
– кинетическая энергия системы;
– обобщенная координата;
– обобщенная скорость;
при принятых допущениях во все время дальнейшего движения обобщенная
координата
и в уравнении (2.5) можно отбросить нелинейные слагаемые. Кроме того
дифференцирование понижает порядок малости на единицу, поэтому в выражении
для кинетической энергии можно ограничиться членами не выше второго порядка
малости.
– обобщенная сила, соответствующая выбранной обобщенной координате
.
В общем случае уравнение (2.5) будет нелинейным, но как показано в разделе 1
и обобщенная скорость
будут оставаться малыми величинами,
28
2.2.1 Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы в обобщенных
n
2
kk
k1
1
T m,
2
=
=
∑
v
k
v
k
m
r r(q)=
kk k
k
dr r r
dq
q.
dt q dt q
∂∂
= = ⋅=
∂∂
v
( )
2
2
kk
=vv
2
n
22
k
k
k1
r
11
T m q A( q ) q ,
2 q2
=
∂
= = ⋅
∂
∑
A( q )
q( t )
A( q )
q( t )
22
2
0
0
A Aq
A( q ) A( 0) q ...;
q q2
⋅
∂∂
= + + ⋅+
∂∂
координатах
Из курса теоретической механики известно, что кинетическая энергия
системы определяется как сумма кинетических энергий всех точек системы:
(2.6)
где
– скорость точки массой
.
Все связи системы являются стационарными, следовательно, радиус-векторы
точек системы зависят только от обобщенной координаты
С учетом тождества
и соотношения (2.7) представим выражение
для кинетической энергии системы (2.6) в виде:
, тогда
(2.7)
(2.8)
где
является некоторой функцией обобщенной координаты
Воспользуемся разложением функции
обобщенной координаты
.
в ряд Маклорена по степени
в окрестности положения равновесия:
(2.9)
29
Здесь как и ранее обозначение
( )
0
...
q 0.=
A( q ) A( 0 ) a const.= = =
a
a
q( t )
a0>
2
1
T aq
2
=
k
r
k
v
k kkk
F F ( r , ,t ).= v
k
F
ПR В
kkkkkk
F F(r) F( ) F(t),=++v
показывает, что соответствующее
выражение вычисляется в положении равновесия при
Т.к. в выражении для кинетической энергии (2.8) следует ограничиться
слагаемыми не выше второго порядка малости, то с требуемой степенью точности
можно считать, что
(2.10)
Величина
называется обобщенным коэффициентом инерции и
характеризует инертность механической системы. Единицы измерения
обобщенного коэффициента инерции
обобщенной координаты
. Поскольку кинетическая энергия – величина
определяются единицами измерения
положительная, то обобщенный коэффициент инерции может быть только
положительным (
).
Окончательно для системы с одной степенью свободы выражение
кинетической энергии в обобщенных координатах примет вид:
. (2.11)
2.2.2 Обобщенная сила для системы с одной степенью свободы
В общем случае сила, действующая на k-ую точку системы, может быть
функцией положения точки
, ее скорости
и времени t:
С учетом малости колебаний представим
в виде
(2.12)
30