Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Л.И. Кудина, Ю.Л. Власов
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рекомендовано Ученым советом федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального образования «Оренбургский государственный
университет» в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по программам высшего профессионального
образования по направлениям подготовки 190109.65 Наземные
транспортно-технологические средства, 190600.62 Эксплуатация
транспортно-технологических машин и комплексов
Оренбург
2014
УДК 531.39(075.8)
К88
ББК 22.213я73
K88
Рецензент – профессор, доктор технических наук М. И. Филатов
Кудина, Л.И.
Прикладные задачи динамики твердого тела : учебное пособие / Л.И. Кудина,
Ю.Л. Власов; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2014. – 118 с.
ISBN
Учебное пособие содержит 5 разделов, соответствующих основным
разделам элективной дисциплины «Прикладные задачи динамики твердого
тела»: устойчивость положения равновесия механических систем, малые
колебания систем с одной и двумя степенями свободы вблизи положения
устойчивого равновесия, элементарная теория удара, динамика
плоскопараллельного движения твердого тела.
Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по
направлениям подготовки 190109.65 «Наземные транспортно-технологические
средства», 190600.62 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и
комплексов» всех форм обучения.
УДК 531.39(075.8)
ББК 22.213я73
ISBN © Кудина Л.И.
Власов Ю.Л., 2014
© ОГУ, 2014
Содержание
B
q
Q (t)
Введение ............................................................................................................................... 5
1 Устойчивость положения равновесия ............................................................................ 6
1.1 Некоторые сведения из курса теоретической механики ........................................... 6
1.2 Понятие об устойчивости положения равновесия ................................................... 10
1.3 Потенциальная энергия консервативной системы с конечным числом
степеней свободы .............................................................................................................. 13
1.4 Теорема Лагранжа – Дирихле. Критерий Сильвестра ............................................. 15
1.5 Устойчивость равновесия неконсервативных механических систем .................... 21
2 Малые колебания системы с одной степенью свободы ............................................. 23
2.1 Общие сведения о колебаниях ................................................................................... 23
2.2 Дифференциальное уравнение малых колебаний системы с одной степенью
свободы в общем случае ................................................................................................... 28
2.2.1 Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы
в обобщенных координатах .............................................................................................. 29
2.2.2 Обобщенная сила для системы с одной степенью свободы ................................ 30
2.3 Свободные колебания механической системы с одной степенью свободы ......... 35
2.4 Влияние сил сопротивления на свободные колебания системы с одной степенью
свободы ............................................................................................................................... 39
2.5 Вынужденные колебания системы при гармоническом возбуждении .................. 47
2.5.1 Способы возмущения колебаний. Определение обобщенной силы
....... 48
2.5.2 Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления .................................. 52
2.5.3 Вынужденные колебания при наличии линейного сопротивления .................... 58
2.6 Вынужденные колебания в случае периодической возмущающей силы ............. 62
2.7 Вынужденные колебания при произвольной возбуждающей силе ....................... 65
2.8 Основы теории регистрирующих приборов ............................................................. 68
2.9 Основы виброзащиты.................................................................................................. 72
3 Малые колебания системы с двумя степенями свободы ........................................... 76
3
3.1 Дифференциальное уравнение малых колебаний системы с двумя степенями
свободы ............................................................................................................................... 76
3.2 Свободные колебания системы с двумя степенями свободы ................................. 80
3.2.1 Дифференциальные уравнения свободных колебаний ........................................ 80
3.2.2 Общее решение дифференциальных уравнений свободных колебаний системы
с двумя степенями свободы .............................................................................................. 81
3.2.3 Главные координаты ................................................................................................ 85
3.3 Влияние линейного сопротивлении на собственные колебания ............................ 89
3.4 Вынужденные колебания системы без учета сопротивления ................................ 94
3.5 Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания .......................... 97
4 Теория удара ................................................................................................................... 99
4.1 Основное уравнение элементарной теории удара ................................................... 99
4.2 Общие теоремы теории удара .................................................................................. 101
4.2.1 Теорема об изменении количества движения системы при ударе .................... 101
4.2.2 Теорема об изменении главного момента количества движения
системы при ударе ........................................................................................................... 102
4.3 Коэффициент восстановления при ударе о неподвижную поверхность ............. 103
4.4 Прямой центральный удар двух тел ........................................................................ 103
4.5 Теорема Карно ........................................................................................................... 105
4.6 Удар по твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси ..................... 106
5 Динамика плоского движения ..................................................................................... 108
5.1 Дифференциальные уравнения плоского движения тела ..................................... 108
5.2 Задача о качении диска по наклонной плоскости .................................................. 111
5.2.1 Качение диска по наклонной поверхности при отсутствии скольжения ......... 111
5.2.2 Качение диска по наклонной поверхности при наличии скольжения .............. 114
5.2.3 Качение диска по наклонной поверхности с учетом трения качения .............. 117
Список использованных источников ............................................................................ 118
4
Введение
Содержание настоящего учебного пособия соответствует курсу лекций по
дисциплине «Прикладные задачи динамики твердого тела» для студентов,
обучающихся по направлениям подготовки 190109.65 «Наземные транспортнотехнологические средства» и 190600.62 «Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов».
Элективная дисциплина «Прикладные задачи динамики твердого тела»
вариативной части математического и естественнонаучного цикла основных
образовательных программ (ООП) указанных направлений подготовки является
логическим продолжением курса теоретической механики.
Изложение материала пособия предполагает знакомство читателя с основами
аналитической механики и, прежде всего, с использованием дифференциальных
уравнений Лагранжа второго рода для получения уравнений движения
механических систем с несколькими степенями свободы.
В первом разделе приведены краткие теоретические сведения из
предшествующего курса теоретической механики, необходимые для дальнейшего
изложения материала. Для удобства определения расположены в алфавитном
порядке. Основное содержание первого раздела посвящено изложению вопросов,
связанных с исследованием характера положения равновесия механических систем.
Во втором и третьем разделе рассматриваются малые колебания систем
твердых тел с одной и двумя степенями свободы вблизи положения устойчивого
равновесия.
Четвертый раздел содержит изложение основ элементарной теории удара.
Пятый раздел учебного пособия посвящен решению основных задач динамики
в случае плоскопараллельного движения твердого тела.
Завершает учебное пособие список литературы, рекомендуемой для более
глубокого самостоятельного изучения вопросов, не отраженных в настоящем
учебном пособии.
5
1 Устойчивость положения равновесия
n
kk
k1
Rr 0
δ
=
=
∑
k
R
k
r
δ
(1.1)
1.1 Некоторые сведения из курса теоретической механики
Приведем краткие сведения о некоторых понятиях и определениях,
встречающихся в тексте данного учебного пособия и относящихся к различным
разделам курса теоретической механики.
Возможное перемещение точки механической системы – воображаемое
бесконечно малое перемещение, допускаемое наложенными на эту точку связями.
Геометрические связи – связи, налагающие ограничения на положения
(координаты) точек механической системы.
Голономная система – механическая система материальных точек, все связи
которых являются голономными.
Голономные связи – геометрические связи, уравнения (неравенства) которых
содержат только координаты точек системы и не содержат производные от этих
координат по времени (проекции скоростей точек).
Диссипативные силы – силы, вызывающие убывание (диссипацию) полной
механической энергии системы за счет перехода этой энергии в немеханические
формы, например, в теплоту. К диссипативным силам относятся силы вязкого и
сухого трения, силы аэродинамические сопротивления и т.п.
Идеальные связи – связи, сумма элементарных работ сил реакций которых на
любом возможном перемещении равна нулю:
,
где
- вектор реакции k-ой связи;
- вектор возможного перемещения точки приложения k-ой реакции связи.
Консервативная система – механическая система с идеальными,
голономными, стационарными связями, на точки которой действуют только
потенциальные (консервативные) силы.
6
Обобщенные координаты – независимые параметры любой размерности,
12 S
q , q , ..., q
qx=
х
φ
R
2
1
φ
х
однозначно определяющие положение всех точек механической системы. Для
систем с голономными связями число обобщенных координат равно числу степеней
свободы системы. В дальнейшем для обобщенных координат принято обозначение
.
Приведем несколько примеров, поясняющих выбор обобщенных координат
для механических систем с различным числом степеней свободы.
а) б)
Рисунок 1
Например, при прямолинейном движении твердого тела его положение в
любой момент времени можно однозначно определить заданием одной обобщенной
координаты
, в качестве которой выбрано отклонение тела от некоторого
начального положения (рисунок 1, а).
Рисунок 2
7
Положение твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси
qϕ=
qx=
qϕ=
xR
ϕ
= ⋅
1
qx=
2
qϕ=
11
qx=
22
qx=
3
qϕ=
12 S
q , q , ..., q
2
1
φ
х
(рисунок 1, б), можно определить заданием одной обобщенной координаты
, в
качестве которой принят угол отклонения тела от вертикального положения
равновесия.
Положение механической системы с одной степенью свободы, изображенной
на рисунке 2, определяется одной обобщенной координатой, в качестве которой
можно выбрать либо отклонение груза 1 от положения равновесия
поворота барабана 2
соотношением
.
, так как данные параметры связаны между собой
, либо угол
Рисунок 3
В случае если тела 1 и 2 (рисунок 3) соединены пружиной, механическая
система будет иметь две степени свободы, а ее положение будет определяться двумя
обобщенными координатами
и
,
так как если запретить вращение тела
2, то тело 1 все равно сможет перемещаться за счет растяжения (сжатия) пружины.
На рисунке 4 изображена система с тремя степенями свободы, положение
которой определяется тремя обобщенными координатами
,
и
.
координат, в дальнейшем обозначаются
и конечного положения точки приложения силы и не зависит от траектории, по
Обобщенные скорости – производные по времени от обобщенных
.
Потенциальные силы – силы, работа которых зависит только от начального
8
которой происходит перемещение этой точки, например, силы тяжести, силы
упругости.
Рисунок 4
Потенциальная энергия механической системы в данном положении –
сумма работ потенциальных сил, действующих на точки системы, при
перемещении системы из рассматриваемого (данного) положения в начальное
(нулевое).
Стационарные связи – связи, уравнения (неравенства) которых не содержат
время t в явном виде.
Удерживающие (двухсторонние, неосвобождающие) связи – связи, действие
которых сохраняется во все время движения системы. Удерживающие связи
описываются уравнениями в отличие от неудерживающих, описываемых
неравенствами.
Уравнение (неравенство) связи – математическая запись ограничения,
налагаемого связью на точку (точки) механической системы.
Число степеней свободы – число независимых возможных перемещений
точек механической системы.
9
1.2 Понятие об устойчивости положения равновесия
P
N
Р
N
P
N
Положением равновесия называется такое состояние механической системы, в
котором она может находиться сколь угодно долго, если в начальный момент
времени система была приведена в это положение с нулевыми скоростями.
Положение равновесия механической системы может быть устойчивым,
неустойчивым или безразличным.
Рассмотрим виды положений равновесия на примере одного твердого тела
(рисунок 5).
a) б) в)
Рисунок 5
Положение равновесия механической системы называется устойчивым, если
при сколь угодно малом отклонении от этого положения система стремится
вернуться в исходное состояние и в последующем движении весьма мало
отклоняется от него (рисунок 5, а).
Положение равновесия механической системы называется неустойчивым,
если при сколь угодно малом отклонении от этого положения система все более
удаляется от него и не проявляет стремления вернуться в исходное состояние
(рисунок 5, б).
10