Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
Положение равновесия механической системы называется безразличным,
12 S
q , q , ..., q
12 S
q q ... q 0.= = = =
00 0
12 S
q , q , ..., q
00 0
12 S
q , q , ..., q
12 S
q ( t ), q ( t ), ..., q (t )
12 S
q ( t ), q ( t ), ..., q (t )
0ε>
()0
ηε
>
00
ii
q ( ); q ( ) ( i 1,2,...,S )
ηε ηε
< <=
если при отклонении от него система и в новом положении может оставаться в
равновесии (рисунок 5, в).
В общем случае кроме начальных отклонений точкам системы следует
сообщить и некоторые начальные скорости. Тогда безразличное равновесие следует
отнести к неустойчивому, так как точки системы будут удаляться от него по
инерции.
Наибольший практический интерес представляет устойчивое равновесие, так
как в таком положении система может находиться длительное время.
Строгое определение устойчивости положения равновесия было дано в
работах выдающегося русского ученого А.М. Ляпунова.
Рассмотрим механическую голономную систему материальных точек с S
степенями свободы. Для того чтобы определить положение такой механической
системы в любой момент времени, требуется выбрать S обобщенных координат
. Условимся отсчитывать обобщенные координаты от положения
равновесия системы, тогда в положении равновесия все обобщенные координаты
будут одновременно равняться нулю:
Выведем систему из положения равновесия, сообщив ее точкам небольшие по
модулю начальные возмущения. Начальные возмущения системы в общем случае
состоят из начальных значений обобщенных координат
значений обобщенных скоростей
.
и начальных
Обозначим значения обобщенных координат и обобщенных скоростей при
дальнейшем движении системы через
и
.
Равновесие системы называется устойчивым, если для всякого сколь
угодно малого числа
начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям:
существует такое малое число
, что при
; (1.2)
11
в дальнейшем движении механической системы выполняются неравенства:
ii
q(t) ; q(t)
εε
<<
ii
tt
lim q ( t ) 0; lim q ( t ) 0 (i 1,2,...,S ),
→∞ →∞
= = =
А
1
ε
А
n
ε
А
2
ε
А
k
ε
. (1.3)
Если при устойчивом положении равновесия все обобщенные координаты и
обобщенные скорости с течением времени стремятся к нулю:
(1.4)
то такое положение равновесия называется асимптотически устойчивым.
Приведенному определению устойчивого положения равновесия можно дать
наглядную геометрическую трактовку (рисунок 6). Обозначим равновесные
положения точек механической системы через А
, А2, …, Аn. Опишем вокруг этих
1
точек сферы малого радиуса ε. Тогда если положение равновесия системы
устойчиво, то как бы ни было мало ε, всегда можно найти такое значение начальных
возмущений η(ε), что во все время дальнейшего движения каждая точка
механической системы останется внутри этой описанной сферы. Разумеется, чем
меньше ε, тем меньше η(ε).
Рисунок 6
12
1.3 Потенциальная энергия консервативной системы с конечным числом
12 S
П П( q ,q ,...,q ).=
12 S
q ,q ,...,q
12 S 1 S
1S
0
0
2 22
22
1 S 12
22
12
1S
00
0
2
S1S
S1 S
0
ПП
П( q ,q ,...,q ) П( 0,0,...,0 ) q ... q
qq
1 П ПП
q ... q 2 q q ...
2 qq
qq
П
2 q q ...
qq
−
−
∂∂
= + ++ +
∂∂
∂ ∂∂
+ ++ + ++
∂∂
∂∂
∂
++
∂∂
( )
0
...
12 S
q q ... q 0.= = = =
i
Q 0 (i 1,2,...,S ).= =
степеней свободы
Потенциальная энергия П консервативной системы с S степенями свободы
является функцией обобщенных координат этой системы:
(1.5)
Разложим потенциальную энергию в окрестности положения равновесия в ряд
Маклорена по степеням обобщенных координат
Здесь и далее обозначение
показывает, что соответствующее выражение
вычисляется в положении равновесия при
Из курса теоретической механики известно, что для равновесия механической
:
(1.6)
системы с идеальными, стационарными и голономными связями необходимо и
достаточно, чтобы все обобщенные силы системы равнялись нулю:
(1.7)
13
В случае если все действующие на систему силы потенциальны, то
2
i
i
П
Q (i 1,2,...,S ).
q
∂
=−=
∂
2
i
0
П
0 (i 1,2,...,S ).
q
∂
= =
∂
0
П П( 0,0,...,0 ) 0.= =
2
ij
ij
0
П
c.
qq
∂
=
∂∂
12 S
q q ... q 0.= = = =
ij ij ji
c const; c c ( i, j 1,2,...,S ).= = =
обобщенные силы равны взятым с противоположным знаком частным производным
от потенциальной энергии системы по соответствующим обобщенным координатам:
(1.8)
Следовательно, для консервативной системы в положении равновесия должно
выполняться условие:
(1.9)
Будем считать, что в положении равновесия потенциальная энергия системы
равна нулю:
(1.10)
Введем обозначения:
(1.11)
Коэффициенты (1.11) называются обобщенными коэффициентами
жесткости (квазиупругими коэффициентами) и вычисляются в положении
равновесия при
Из выражения (1.11) следует, что
(1.12)
14
Очевидно, что единицы измерения обобщенных коэффициентов жесткости
ij
c
12 S
q ,q ,...,q
22
11 1 SS S 12 1 2 S 1,S S 1 S
1
П c q ... c q 2c q q ... 2c q q ...
2
−−
= ++ + ++ +
i
q (i 1,2,...,S )=
SS
1 2 S ij i j
i1j1
1
П( q ,q ,...,q ) c q q .
2
= =
=
∑∑
определяются единицами измерения выбранных обобщенных координат
C учетом (1.10), (1.11) выражение для потенциальной энергии (1.6) примет
вид:
(1.13)
Будем рассматривать только малые смещения точек системы из положения
равновесия. В этом случае обобщенные координаты
, отсчитываемые
от положения равновесия, можно считать величинами первого порядка малости.
Отбросим в выражении (1.13) слагаемые выше второго порядка малости. В
результате выражение для потенциальной энергии консервативной системы примет
.
вид:
(1.14)
Функция вида (1.14) называется квадратичной формой. Следовательно,
потенциальная энергия механической системы вблизи положения равновесия
является однородной квадратичной формой обобщенных координат с точностью до
величин второго порядка малости включительно.
Такое представление потенциальной энергии значительно упрощает решение
многих технических задач, а с другой стороны, обеспечивает точность, достаточную
для практических целей.
1.4 Теорема Лагранжа – Дирихле. Критерий Сильвестра
Критерий, дающий простое достаточное условие устойчивости равновесия
механической системы материальных точек, был впервые указан Ж.Л.Лагранжем.
15
Приведенное Лагранжем недостаточно строгое доказательство теоремы уточнил
12 n
V( q ,q ,...,q )
** *
12 n
q ,q ,...,q
*
ii
q q ( i 1,2,...,n )
ε
−< =
0ε>
** *
12n 12n
V( q ,q ,...,q ) V(q ,q ,...,q )≥
** *
12n 12n
V( q ,q ,...,q ) V( q ,q ,...,q )>
П( q )
3
qq=
5
qq=
6
qq=
12 n
M ,M ,...,M
12 n
A ,A ,...,A
min
П
k
m
k
A
min
П
( )
min
П
η
+
П.Г.Л. Дирихле, в связи с чем она и получила название теоремы Лагранжа –
Дирихле:
Если в положении равновесия консервативной системы потенциальная
энергия имеет строгий минимум, то это положение равновесия устойчиво.
Поясним понятие строгого минимума. Функция нескольких переменных
имеет минимум при значениях аргументов
если при
, где
– малая величина, имеет место
неравенство
Если при тех же условиях выполняется строгое неравенство
то говорят о строгом, или изолированном, минимуме.
Например, изображенная на рисунке 7 функция
в том случае,
. (1.15)
, (1.16)
имеет строгий минимум
при значениях аргумента равного
и
. При значении аргумента
функция имеет нестрогий минимум.
Перейдем к доказательству теоремы Лагранжа – Дирихле. Предположим, что
потенциальная энергия механической системы материальных точек
положении равновесия
(рисунок 6) имеет минимальное значение
в
Выясним, какие значения может принимать потенциальная энергия системы, когда
одна из точек системы
окружающей соответствующую точку
значений и каждое из них больше, чем
возможных значений потенциальной энергии
будет находиться на поверхности сферы радиуса ε,
. Очевидно, что возможно n таких
. Обозначим меньшее из всех
. Очевидно, что величина
16
.
0
η
>
и тем меньше, чем меньше выбранный радиус сферы
ε
min
ПП .
η
≥+
12 n
A ,A ,...,A
η
( )
min
П
η
+
00
T ПT П+=+
00
TT ПП=+−
T0>
П
00
ПT П<+
. Таким образом, если
хотя бы одна точка механической системы находится на поверхности
соответствующей сферы радиуса ε, то потенциальная энергия системы П должна
удовлетворять условию
(1.17)
Дадим точкам механической системы незначительные начальные отклонения
от положений равновесия
и сообщим им малые начальные скорости.
Покажем, что при начальных отклонениях и начальных скоростях, не
превышающих некоторой малой величины
, точки системы во все время
последующего движения не выйдут за пределы соответствующих сфер радиуса ε,
как бы мала ни была эта величина. Для этого достаточно доказать, что во все время
последующего движения потенциальная энергия системы будет оставаться меньше,
чем
.
Обозначим значения кинетической и потенциальной энергий системы в
некоторый момент времени Т и П, соответственно, а их значения в начальный
момент времени – Т0 и П0. Для рассматриваемой консервативной системы будет
справедлив закон сохранения энергии:
откуда
Так как кинетическая энергия системы
системы
,
.
, то потенциальная энергия
во все время движения должна удовлетворять неравенству:
. (1.18)
17
Примем начальные отклонения и начальные скорости настолько малыми,
0 min 0
П П ;T
22
ηη
<+ <
min
ПП .
η
<+
12 n
A ,A ,...,A
3
qq=
5
qq=
2
2
0
П
0.
q
∂
>
∂
чтобы выполнялись неравенства:
. (1.19)
С учетом (1.19) неравенство (1.18) примет вид:
(1.20)
Однако, полученное выражение (1.20) противоречит соотношению (1.17).
Таким образом, во все время последующего движения точки системы будут
оставаться внутри соответствующих сфер, окружающих положения равновесия
. Следовательно, положение равновесия системы устойчиво.
Согласно теореме Лагранжа – Дирихле для доказательства устойчивости
положения равновесия консервативной системы достаточно убедиться, что
потенциальная энергия имеет в рассматриваемом положении минимум.
Пусть потенциальная энергия П(q) некоторой консервативной механической
системы с одной степенью свободы зависит от обобщенной координаты q так, как
показано на рисунке 7. Положение равновесия будет устойчивым при значениях
обобщенной координаты
и
, так как только при этих значениях
аргумента потенциальная энергия системы имеет строгий минимум.
Для консервативных систем с одной степенью свободы определение
минимума выполняется достаточно просто. В этом случае производная второго
порядка от потенциальной энергии по обобщенной координате, вычисленная в
положении равновесия, должна быть положительна (предполагается, что она
существует).
(1.21)
18
Для консервативной системы, имеющей S степеней свободы, устойчивость
0
П0=
рассматриваемого положения равновесия также определяется из условия минимума
потенциальной энергии. Но в этом случае решение вопроса о существовании
минимума потенциальной энергии существенно усложняется.
Рисунок 7
Ранее условлено, что в положении равновесия потенциальная энергия системы
. Тогда наличие минимума потенциальной энергии должно одновременно
означать, что вблизи положения равновесия потенциальная энергия системы должна
быть положительной. Следовательно, на основании теоремы Лагранжа-Дирихле
потенциальная энергия системы (1.14) должна представлять собой определенно
положительную квадратичную форму обобщенных координат.
Квадратичная форма называется определенно положительной, если она
положительна при всех значениях аргументов, одновременно не равных нулю.
Вопрос о знаке любой квадратичной формы устанавливается теоремой
Сильвестра:
19
Для того чтобы квадратичная форма была определенно положительной
11 12 13 1S
21 22 23 2S
31 32 33 3S
S1 S2 S3 SS
с с с ... с
с с с ... с
с с с ... с
... ... ... ... ...
с с с ... с
11 12 13 1S
11 12 13
21 22 23 2S
11 12
31 32 33 3S
1 11 2 3 21 22 23 S
21 22
31 32 33
S1 S2 S3 SS
с с с ... с
ссс
с с с ... с
сс
с с с ... с
с ; ; с с с ;...; .
сс
... ... ... ... ...
ссс
с с с ... с
∆∆ ∆ ∆
= = = =
12 S
0; 0;..., 0.
∆∆ ∆
>> >
ii
c 0 ( i 1,2,...,S ).>=
необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы
квадратичной формы были положительны.
Матрица квадратичной формы (1.14) имеет вид:
(1.22)
Заметим, что эта матрица симметричная. Главные диагональные миноры
матрицы (1.22) имеют вид:
(1.23)
Таким образом, критерий определенной положительности квадратичной
формы имеет вид:
(1.24)
Заметим особо, что дискриминант определенно положительной формы не
равен нулю. Кроме того, нумерация обобщенных координат выбирается
произвольно, т.е. любую из них можно сделать первой, следовательно, все элементы
матрицы (1.22), стоящие на главной диагонали, должны быть строго больше нуля:
(1.25)
20