Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
5.2 Задача о качении диска по наклонной плоскости
C
CP R
ωω
=⋅=⋅v
Рассмотрим однородный круглый диск с горизонтальной осью,
скатывающийся по наклонной плоскости с углом наклона α (рисунок 27).
Пренебрегая трением качения, исследуем движение диска для двух случаев:
при отсутствии скольжения по наклонной плоскости и при наличии скольжения.
5.2.1 Качение диска по наклонной поверхности при отсутствии скольжения
В случае отсутствия скольжения мгновенный центр скоростей диска
находится в точке соприкосновения диска с неподвижной плоскостью.
Тогда скорость центра масс диска
. (5.9)
Рисунок 27
111
Располагая неподвижные координатные оси Оху как показано на рисунке 27,
C CC
y R const; y 0; y 0.=−= ⇒ = =
CC
ax R
ϕ
= =
mp
C mp
M R Mg sin F ;
0 N Mg cos ;
I F R.
ϕα
α
ϕ
= −
=−+
=
2
C
MgR sin
MR I
α
ϕ
=
+
2
C
2
C
MgR sin
a
MR I
α
=
+
C
mp
2
C
I Mg sin
F Mg sin
MR I
α
µα
= =
+
C
2
C
I
MR I
µ
=
+
получим:
С учетом (5.9) имеем:
Дифференциальные уравнения движения (5.8) в рассматриваемом случае
примут вид:
. (5.10)
Решая эту систему уравнений, получим:
(5.11)
;
; (5.12)
, (5.13)
где введено обозначение
. (5.14)
112
Для сплошного однородного круглого диска момент инерции относительно
2
C
MR
I2=
2g sin
3R
α
ϕ
=
C
2g sin
a
3
α
=
mp
Mg sin 1
F;
33
α
µ
= =
mp
F
mp
*
F
mp
*
F fN fMg cos
α
= =
Mg sin fMg cos
µα α
≤
tg f
µα
≤
0
α
центральной оси равен
Тогда,
.
;
;
.
Рассматриваемый случай качения диска без скольжения по наклонной
плоскости имеет место при условии, что сила трения при качении
предельную силу трения при скольжении
.
Первая определяется формулой (5.13), вторая определяется выражением:
. (5.15)
Тогда сформулированное выше условие примет вид:
,
не превышает
или
Качение диска не будет сопровождаться скольжением, если угол α не больше
некоторой величины
. (5.16)
, определяемой неравенством (5.16), т.е.
113
0
f
arctg
αα
µ
≤=
.
( )
0
arctg 3 f
αα
≤=
0
αα
>
mp
mp
*
С
*
C
Mx Mg sin F ;
0 N Mg cos ;
I F R.
α
α
ϕ
= −
=−+
=
С
C
Mx Mg sin fMg cos ;
I fMgR cos ,
αα
ϕα
= −
=
( )
С
C
x g sin f cos ;
fMgRcos
.
I
αα
α
ϕ
= −
=
Для сплошного однородного диска полученное выражение примет вид:
.
5.2.2 Качение диска по наклонной поверхности при наличии скольжения
Как показано в пункте 5.2.1, в случае если
, качение диска по
наклонной плоскости будет сопровождаться скольжением. Дифференциальные
уравнения движения (5.8) примут вид:
С учетом (5.15) имеем:
Тогда дифференциальные уравнения движения тела примут вид:
Для сплошного однородного круглого диска система (5.17) примет вид:
(5.17)
114
( )
С
x g sin f cos ;
2 fg cos
.
R
αα
α
ϕ
= −
=
AP;
ω
= ⋅
v
A
C
AP;
( R AP ).
ω
ω
= ⋅
==⋅−
v
v
При наличии скольжения диска по наклонной плоскости, скорость точки А
соприкосновения диска с неподвижной поверхностью не равна нулю.
Следовательно, мгновенный центр скоростей находится в точке P (рисунок 28).
Как известно из кинематики скорости точек А и С определяются
соотношениями:
Рисунок 28
A
= ⋅
CP,
ω
v
C
115
Следовательно,
AC
R
ω
+=vv
AC
x Rx
ϕ
= −
22
A
CC
fMgR cos fMR
x g sin fg cos g cos tg f
II
α
α αα α
= − + = −+
2
A
C
MR
x g cos f 1 tg
I
αα
= +−
A
f
x g cos tg
αα
µ
= −
( )
A0
x g cos tg tg
αα α
= −
0
αα
>
Продифференцировав полученное выражение по времени, выразим ускорение
точки А:
Откуда с учетом (5.17) имеем:
.
.
,
или
. (5.18)
Подставив (5.14) в выражение (5.18), получим ускорение точки А:
,
или
.
Если
, то выражение в скобках – величина положительная, и скорость
скольжения диска по наклонной плоскости будет возрастать с течением времени.
116
5.2.3 Качение диска по наклонной поверхности с учетом трения качения
C mp
C mp mp
Mx Mg sin F ;
I FRm ,
α
ϕ
= −
= −
mp
m N Mg cos
δδ α
= =
( )
C
MgR R sin cos
αδ α
−
( )
C
mp
2
C
Mg I sin M Rcos
F
MR I
αδ α
+
=
+
sin cos f cos
µ α δη α α
+<
2
C
MR
MR I
η
=
+
f
tg
δη
α
µ
−
<
При наличии трения качения дифференциальные уравнения движения (5.11)
примут вид:
где
– момент трения качения;
δ – коэффициент трения качения.
После преобразований получим:
ax
= =
CC
Условие отсутствия скольжения диска (5.16) примет вид:
2
MR I
+
;
.
где введено обозначение
или
,
,
.
117
Список использованных источников
Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики: учебник для втузов. В 2 т. Т.2.
1
Динамика / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. - 2-е изд., исправл. – М.: Наука,
2000. - 271 с.
2 Добронравов, В.В. Курс теоретической механики: учебник для вузов / В.В.
Добронравов, Н.Н. Никитин, А.Л. Дворников. – 3-е изд. перераб. – М.: Высшая
школа, 1974. – 528 с.
3 Ильин, М.М. Теория колебаний: учебник для вузов / М.М. Ильин, К.С.
Колесников, Ю.С. Саратов. – 2-е изд., стереотип. – М.: МГТУ, 2003. – 272 с.
4 Курс теоретической механики / под ред. К.С. Колесникова. – 2-е изд.,
стереотип. – М.: МГТУ, 2002. – 736 с.
5 Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики: учебник для втузов / С.М.
Тарг. - 18-е изд., стер. – М.: Наука, 2008. – 416 с.
6 Яблонский, А. А. Курс теоретической механики: учебник / А. А. Яблонский,
В. М. Никифорова. - 11-е изд., стер. - CПб.: Лань, 2004. - 768 с.
7 Яблонский, А. А. Курс теории колебаний: учебное пособие для вузов / А. А.
Яблонский, С. С. Норейко. - 5-е изд., стереотип. - СПб. :БХВ-Петербург, 2007. - 336 с.
118