Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
Подставив (3.41) и (3.42) в уравнения Лагранжа (3.1), получим с учетом (3.38)
11 1 11 1 11 1 2
12 22 2 22 2 22 2
12
1
(a q b q c q ) b q 0,
bq(aqbqcq)0.
++ + =
+ ++
=
tt
11 22
q Ce,q Ce
λλ
= =
( )
( )
2
1 11 11 11 2 12
2
1 12 2 22 22 22
C a b c C b 0,
C b C a b c 0.
λλ λ
λ λλ
+ ++=
+ ++=
,
12
C C
2
11 11 11 12
2
12 22 22 22
a bc b
0,
b a bc
λλ λ
λ λλ
++
=
++
4 3 22
11 22 11 22 22 11 11 22 22 11 11 22 12
11 22 22 11 11 22
a a (a b a b ) (a c a c b b b )
(b c b c ) c c 0.
λλ λ
λ
+ + + ++− +
+ + +=
уравнения собственных колебаний системы с двумя степенями свободы при
наличии линейного сопротивления:
(3.43)
Общее решение системы (3.43) будем искать в виде
(3.44)
Подставляя (3.44) в систему уравнений (3.43), после преобразований получим:
Для того чтобы эта система однородных линейных уравнений относительно
неизвестных
няться нулю:
(3.45)
имела ненулевое решение, определитель системы должен рав-
(3.46)
или
(3.47)
91
Каждому из четырех корней уравнения (3.47)
1234
,,,
λλλλ
1
C
2
C
1
C
2
C
i
(i 1,2,3,4 )
λ
=
( )
2
11 i 11 i 11 12 i
2
12 i
22 i 22
i
2
i
i21 2
a bc b
b
ab
C
i 1, 2, 3, 4 .
C c
λλ λ
λ
λλ
=−=
+
= −
++
+
1,2 1 1 3 ,4 2 2
n k i; n k i
λλ
=−± =−±
12
n,n
12
k ,k
1
1
1
1
2
2
2
nt n t
nt nt
nt n t
nt
(1) (1) (2) (2)
1 11 2 2
11 1 1
(1) (1) (2) (2)
12
1 11 1
(1) (1) (2) (2)
2 11 2 2
22 2 2
(1)
1
22
q e ( B cos k t D sin k t ) e ( B cosk t D sin k t )
A e sin( k t ) A e sin( k t );
q e ( B cosk t D sin k t ) e ( B cosk t D sin k t )
A e sin( k t
αα
α
−−
−−
−−
−
= ++ + =
++ +
= ++ + =
+
2
nt
(1) (2) (2)
2
22
) A e sin( k t ),
α
−
++
B,D,A,
α
1212
A,A, ,
αα
12
C ,C
соответствуют
определенные значения постоянных
и
.
Т.к. определитель системы (3.46) равен нулю, то уравнения (3.45) линейно
зависимы, поэтому их решение позволяет определить только отношения
каждого корня
:
и
(3.48)
Возможны три варианта корней характеристического уравнения (3.47) и,
соответственно, общего решения системы дифференциальных уравнений (3.43).
1 Корни комплексные.
В случае малого сопротивления корни характеристического уравнения имеют
вид:
где
Подставляя значения (3.49) в (3.44), после несложных преобразований
получим:
где
и
– некоторые положительные числа.
– постоянные величины.
, (3.49)
(3.50)
Как следует из (3.50), каждая главная координата является суммой двух
затухающих колебаний. Четыре из восьми постоянных
из начальных условий; остальные – через постоянные
, определяемые из (3.48).
определяются
92
2 Корни действительные.
1,2 1 1 3,4 2 2
n k; n k
λλ
=−± =−±
1122
n k; n k>>
1 1 12 2 2
1 1 12 2 2
nt
nt
kt kt nt kt kt
(1) (2) (3) (4)
1
11 1 1
kt kt nt kt kt
(1) (2) (3) (4)
2
22 2 2
q e (C e C e ) e (C e C e );
q e (C e C e ) e (C e C e ).
−
−
−− −
−− −
= ++ +
= ++ +
1,2 1 1 3,4 2 2
n k ; n k i.
λλ
=−± =−±
11 1 2
11 1 2
nt kt kt nt
(1) (2) (2) (2)
12
11 1 1
nt kt kt nt
(1) (2) (2) (2)
22
22 2 2
q e ( C e C e ) A e sin( k t );
q e ( C e C e ) A e sin( k t ).
α
α
− −−
− −−
= ++ +
= ++ +
В случае большого сопротивления корни характеристического уравнения
(3.47) можно представить в виде:
,
причем
Как следует из (3.51) система будет совершать непериодическое, затухающее
движение.
3 Два корня действительные, два – комплексные.
Тогда главные координаты(3.44) примут вид:
. Главные координаты (3.44) в этом случае примут вид:
(3.51)
В этом случае система будет совершать сложное движение, представляющие
собой наложение затухающих колебаний на апериодическое, затухающее движение.
Т.к., произвольные обобщенные координаты линейно выражаются через главные в
соответствии с (3.27), то в этом случае каждая из обобщенных координат является
линейной комбинацией трех рассмотренных случаев.
93
3.4 Вынужденные колебания системы без учета сопротивления
BB
11 22
Q H sin( pt ); Q H sin( pt )
δδ
= += +
1
H
2
H
11 1 11 1 1
22 2 22 2 2
a q c q H sin( pt ),
a q c q H sin( pt ),
δ
δ
+= +
+
+
=
2
1 11 1
2
2 22 2
q k q h sin( pt ),
q k q h sin( pt ).
δ
δ
+= +
+= +
11 22
11 22
22
12
121
1 22
2
1
HH
k ;k ;h ;h .
cc
aaaa
= = = =
Рассмотрим вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы без
учета сил сопротивления под действием гармонических возмущающих сил.
Получим уравнение движения системы в главных обобщенных координатах. В этом
случае кинетическая и потенциальная энергии определяются выражениями (3.41).
Пусть обобщенные возмущающие силы изменяются по синусоидальному закону
одинаковой частоты и фазы:
,
где
и
– амплитуды обобщенных возмущающих сил;
p – частота возмущающей силы;
δ – начальная фаза возмущающей силы.
Из уравнений Лагранжа (3.2) получим следующую систему уравнений
вынужденных колебаний системы:
или
(3.52)
где введены следующие обозначения:
(3.53)
94
Общее решение системы дифференциальных уравнений (3.52) складывается
BB BB
11 22
q A sin( pt ); q A sin( pt )
δδ
= += +
B
1
A
B
2
A
B 2B B 2B
11 22
q p A sin( pt ); q p A sin( pt )
δδ
=−+=−+
B
1
A
B
2
A
();
();
2 2B
1 11
2 2B
2 22
k pA h
k pA h
−=
−=
( )
( )
;
.
B
1
1
22
1
B
2
2
22
2
h
A
kp
h
A
kp
=
−
=
−
из общего решения системы соответствующих однородных уравнений (3.34) и
частного решения системы исходных неоднородных уравнений. Общее решение
системы (3.34) получено в пункте 3.2.3. Остановимся на определении частного
решения этой системы уравнений, характеризующего вынужденные колебания
системы.
Будем искать частное решение в виде:
, (3.54)
где
и
– постоянные коэффициенты, подлежащие определению.
Продифференцируем (3.54) дважды по времени:
Подставляя (3.54) и (3.55) в уравнения (3.52), получим после преобразований
систему алгебраических уравнений для определения
откуда
. (3.55)
и
:
С учетом найденных значений (3.56) вынужденные колебания определяются
выражениями:
(3.56)
95
( ) ( )
BB
12
22
2
22
12
1
q sin( pt );
hh
kp kp
q sin( pt )
δδ
−−
= += +
.
1
pk=
BB BB
11 22
q A t cos( pt ); q A sin( pt )
δδ
= += +
B
1
A
B
2
A
BB
12
12
22
12
hh
A ; A
2k k p
=−=−
−
B
11
1
11
B
2
2
2
2
ht ht
q cos( pt ) sin( pt );
2
2k 2k
h
q sin( pt ).
kp
π
δδ
δ
=− + =− +−
= +
−
12
kk p= =
Если частота возмущающей силы совпадает с одной из частот собственных
колебаний, например
(резонанс на данной частоте), частное решение для
вынужденных колебаний ищем в виде
где
и
– постоянные коэффициенты, подлежащие определению.
Подставляя (3.57) в систему уравнений (3.52), после преобразований получим:
С учетом (3.58) вынужденные колебания в главных координатах определяются
. (3.57)
. (3.58)
выражениями:
Произвольные обобщенные координаты связаны с главными соотношениями
(3.27), следовательно, при резонансе обе произвольные обобщенные координаты
будут неограниченно возрастать во времени.
В случае совпадения обеих собственных частот с частотой возмущающей
силы
неограниченно увеличиваться во времени. Таким образом, для наступления
(резонанс по обеим координатам), обе главные координаты будут
96
резонанса в системе с двумя степенями свободы достаточно совпадения частоты
( ) ( )
( ) ( )
11 1 11 1 11 1 12 2 12 2 12 2 1
12 1 12 1 12 1 22 2 22 2 22 2 2
aqbqcq aqbqcq Hsin(pt );
aqbqcq aqbqcq Hsin(pt ).
δ
δ
++ + ++ = +
++ + ++ = +
C
1
q
C
2
q
B
1
q
B
2
q
CB CB
111 222
qqq;qqq=+=+
BB
12
q ,q
BB
11 1 1 1
BB
22 2 2 2
q B sin( pt ) D cos( pt ) A sin( pt );
q B sin( pt ) D cos( pt ) A sin( pt ).
δ δ δε
δδδε
= + + + = +−
= + + + = +−
возмущающей силы с одной из двух частот собственных колебаний.
3.5 Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания
Рассмотрим вынужденные колебания системы с линейным сопротивлением
при гармоническом возмущении. Уравнения движения системы в произвольных
координатах примут вид:
(3.59)
Общее решение системы уравнений (3.59) для каждой координаты является
суммой собственных
,
и вынужденных колебаний
,
:
. (3.60)
В зависимости от вида корней характеристического уравнения
соответствующей системы однородных уравнений, получаемой из (3.59) путем
отбрасывания правых частей, общее решение (3.60) будет либо линейной
комбинацией затухающих колебаний и затухающего непериодического движения,
либо каждым из этих движений в отдельности.
Вынужденные колебания
являются частным решением системы
уравнений (3.59), которое следует искать в виде
(3.61)
97
Постоянные
BB
1 2 12
A,A, ,
εε
1212
B ,B ,D ,D
B 22
1
1 11 1
1
B 22
2
2 22 2
2
D
A B D ; arctg ;
B
D
A B D ; arctg .
B
ε
ε
=+=−
=+=−
BB
1 2 12
A,A, ,
εε
1212
B ,B ,D ,D
22
1 11 11 1 11 2 12 12 2 12 1
22
1 11 1 11 11 2 12 2 12 12
22
1 12 12 1 12 2 22 22 2 22 2
22
1 12 1 12 12 2 22 2 22 22
B(c a p ) Db p B (c a p ) D b p H ;
Bb p D (c a p ) B b p D (c a p ) 0;
B(c a p ) Db p B (c a p ) D b p H ;
Bb p D (c a p ) B b p D (c a p ) 0.
−−+−− =
+−++ −=
−−+−− =
+−++ −=
1212
B ,B ,D ,D
BB
1 2 12
A,A, ,
εε
связаны с постоянными
соотношениями:
(3.62)
где
– соответственно амплитуды и сдвиги фаз.
Подставив (3.61) в систему уравнений (3.59), после несложных
преобразований получим систему четырех алгебраических уравнений для
определения неизвестных коэффициентов
:
(3.63)
Решая систему уравнений (3.61), определим постоянные
по формулам (3.62) постоянные
.
, а затем
Как и в случае системы с одной степенью свободы, вынужденные колебания
являются незатухающими гармоническими колебаниями, амплитуда и фаза которых
не зависят от начальных условий, а частота совпадает с частотой возмущающей
силы. При резонансе амплитуды вынужденных колебаний остаются постоянными в
отличие от случая отсутствия сопротивления.
98
4 Теория удара
0
S Fdt
τ
=
∫
S
Hc⋅
F
τ
mu m S−=v
4.1 Основное уравнение элементарной теории удара
Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости
точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом.
Силы, действующие на тела, можно подразделить на силы, изменяющие
скорости точек в течение некоторого конечного промежутка времени, – конечные
силы (например, сила тяжести) и силы, изменяющие скорости точек тела в течение
весьма малого промежутка времени (порядка десятой и менее доли секунды), –
ударные силы.
Ударной называется такая сила, которая действуя в течение ничтожно малого
промежутка времени, достигает при этом настолько больших значений, так что ее
импульс есть величина конечная.
Импульс ударной силы определяется выражением:
, (4.1)
где
Импульсы неударных сил за время удара будут малыми величинами и ими по
– импульс ударной силы,
– ударная сила, Н;
– время удара, с.
Рассмотрим действие ударной силы на материальную точку за время удара.
;
сравнению с ударными можно пренебречь. Тогда, на основании теоремы об
изменении количества движения материальной точки имеем:
, (4.2)
99
где
m
u
v
S
Hc⋅
S
um= +v
2
1
– масса точки, кг;
– вектор скорость точки после удара, м/с;
– вектор скорость точки до удара, м/с;
– суммарный импульс ударных сил,
.
Из выражения (4.2) следует, что изменение количества движения
материальной точки за время удара равно импульсу действующих на точку
ударных сил.
Уравнение (4.2) называется основным уравнением теории удара.
Найдем из уравнения (4.2) скорость материальной точки в конце удара:
. (4.3)
На рисунке 23 показаны скорости точки до и после удара и импульс ударной
силы в соответствии с формулой (4.3). Здесь через 1 обозначена траектория
движения точки до удара, 2 – траектория движения точки после удара.
Рисунок 23
Таким образом, в элементарной теории удара вводятся следующие допущения:
1. Перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь, считая тело
за время удара практически неподвижным.
2. Действием неударных сил за время удара можно пренебречь.
3. Изменения скоростей точек тела за время удара определяются основным
уравнением теории удара (4.2).
100