Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
( )
( )
22 22
nt t
12
22
tn k n2k
2
h
q e C e C e sin pt
k p 4n p
βε
−−−−
= + + +−
−+
; (2.82)
ε
1
C
2
C
q
∗
0
επ
≤≤
где
– величина, определяемая выражением (2.78);
,
– постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Структура полученных общих решений (2.80) – (2.72) показывает, что система
совершает сложное движение, но т.к. первое слагаемое с увеличением времени t
стремится к нулю, то определяющим становится последнее слагаемое,
соответствующее
. В этом случае система будет совершать установившиеся
вынужденные колебания.
Полученные результаты позволяют сформулировать основные свойства
установившихся вынужденных колебаний при гармоническом возбуждении.
Во-первых, вынужденные колебания, даже при наличии сил сопротивления,
являются незатухающими и длятся до тех пор, пока действует возмущающая сила.
Во-вторых, амплитуда и частота вынужденных колебаний не зависят от начальных
условий. Наличие сил сопротивления движению приводит к уменьшению
амплитуды вынужденных колебаний. В-третьих, вынужденные колебания
совпадают по частоте и отстают по фазе от возмущающей силы на величину
.
В заключение отметим, что свободное движение, затухающее по истечении
некоторого промежутка времени, возникает каждый раз, когда изменяются
параметры возмущающей силы (амплитуда, частота и т.д.). При этом система
осуществляет плавный переходный процесс от одного установившегося режима
вынужденных колебаний к другому. Для того, чтобы получить уравнение движение
системы во время переходного процесса, требуется определить постоянные
интегрирования в общем решении (2.80) – (2.82) при начальных условиях, равных
значениям отклонения и скорости в момент изменения параметров возмущающей
силы.
61
2.6 Вынужденные колебания в случае периодической возмущающей силы
τ
В
q
Q (t)
В
q
Q (t)
( ) ( )
( )
B
q0 j j
j1
Q ( t ) Q a cos jpt b sin jpt
∞
=
=++
∑
τ
Q(t)
t
τ
Q(t)
t
Рассмотрим случай действия возмущающей силы, являющейся некоторой
периодической функцией времени с периодом
(рисунок 19). Подобные силы часто
встречаются при решении самых различных технических задач.
Рисунок 19
Воспользуемся способом определения периодического решения с помощью ряда
Фурье, который целесообразно применять в тех случаях, когда ряд быстро сходится и
можно ограничиться несколькими первыми членами.
Пусть функция
удовлетворяет условиям Дирихле, т. е. она
ограничена, имеет разрывы первого рода и конечное число экстремумов на
конечном интервале. Тогда
можно разложить в ряд Фурье:
, (2.83)
62
где
2
p
π
τ
=
0jj
b ( j 1,2,3,..Q, )a, .,= ∞
BB B
q q nq0n
00 0
12 2
Q ( t )dt; Q (t )cos( jpt )dt; b Q (t )sin( jpt )dt.Qa
ττ τ
ττ τ
= ==
∫∫ ∫
( )
B
q0j j
j1
Q ( t ) Q Q sin jpt
β
∞
=
=++
∑
j
22
j jj j
j
a
Q a b ; arctg
b
β
=+=
( )
2
0j j
n1
q 2nq k q h h sin jpt
β
∞
=
++=+ +
∑
j
0
0j
Q
Q
h ;h .
aa
= =
– основная частота возмущающей силы.
Постоянные коэффициенты
равны:
Тригонометрический ряд (2.83) можно представить в ином виде:
где введены обозначения
, входящие в (2.83),
, (2.84)
.
Отдельные члены ряда (2.83) или (2.84) называются гармониками j-го
порядка.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (2.70) в
рассматриваемом случае примет вид:
, (2.85)
где
Общее решение уравнения (2.85) можно представить в виде суммы общего
решения однородного уравнения (2.40), характеризующего свободное движение
системы, и частного решения исходного неоднородного уравнения,
характеризующего вынужденные колебания. При установившемся движении
63
практическое значение имеют только незатухающие вынужденные колебания,
( )
j jj
j1
q A sin jpt
βε
∞
=
= +−
∑
j
A
( )
jj
βε
−
( )
j
p jp j 1,2,3,...,= = ∞
( )
j
jj
2 22
2 22 222
h
2njp
A ; tg .
k jp
k jp 4njp
ε
= =
−
−+
( )
jp k j 1,2,3,...,= = ∞
j
jj
h
A;
2nk 2
π
ε
= =
j
A
j
p jp k= =
j
p
определяемые уравнением
, (2.86)
где
и
– соответственно амплитуда и сдвиг фазы вынужденных
колебаний, соответствующие частоте
соотношениями
Если частота одной из гармоник возмущающей силы совпадает с частотой
свободных колебаний системы, т.е.
и определяемые
(2.87)
,
то говорят о наступлении резонанса j-го порядка, а соответствующие частоты
называются критическими. Как следует из (2.87), амплитуда j-той гармоники и
сдвиг фаз получаются равными
Стоит заметить, что вследствие сдвига фаз амплитуда
при резонансе
, а при другом значении частоты
Исследовав выражение для амплитуды гармоники (2.87) на наличие
.
имеет максимум не
.
64
максимума, получаем, что при
2
nk
2
<
j
A
2 В
q
1
q k q Q ( t ),
a
+=
12
q C ( t )coskt C ( t )sinkt= +
1
C (t)
2
C (t)
12
12
dC ( t ) dC (t )
q coskt sinkt C ( t )k sinkt C ( t )k coskt
dt dt
= + −+
максимума
не существует, и,
следовательно, резонанса в этом случае быть не может.
2.7 Вынужденные колебания при произвольной возбуждающей силе
Рассмотрим движение механической системы с одной степенью свободы в
случае действия возбуждающей силы, меняющейся во времени по произвольному
закону.
При отсутствии сил сопротивления дифференциальное уравнение движения
системы (2.27) примет вид
(2.88)
Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных и представим
общее решение дифференциального уравнения (2.88) в виде
где
и
– некоторые функции времени.
Продифференцировав (2.89) по времени, получим
, (2.89)
.
Т.к. мы ввели две неизвестные функции, то можно связать их некоторым
условием, например,
65
12
dC ( t ) dC (t )
coskt sin kt 0
dt dt
+=
. (2.90)
1
C
2
C
12
q C (t)k sinkt C ( t )k coskt=−+
( )
2
12
12
dC (t ) dC ( t)
q k sin kt coskt k C ( t )coskt C ( t )sinkt
dt dt
=−+ − +
B
12
q
dC ( t ) dC (t ) 1
sinkt coskt Q ( t)
dt dt ak
−+ =
dC ( t )
dt
2
dC ( t )
dt
BB
12
qq
dC ( t ) 1 dC ( t ) 1
Q ( t )sinkt; Q (t )coskt
dt ak dt ak
=−=
tt
BB
11 q 2 2 q
00
11
C ( t ) D Q ( )sin k d ; C ( t ) D Q ( )cosk d
ak ak
τ ττ τ ττ
=−=+
∫∫
При этом условии выражение для обобщенной скорости будет иметь такой же
вид, как и в случае постоянных коэффициентов
Продифференцируем (2.91) по времени:
Подставив (2.89) и (2.92) в уравнение (2.88), имеем
и
, т.е.
. (2.91)
. (2.92)
. (2.93)
Решая совместно уравнения (2.90) и (2.93) относительно
получим
Откуда
1
и
,
.
, (2.94)
66
где
τ
( )
B
q21
0
1
q D cos kt D sin kt Q ( t )sink t d
ak
τ
ττ
=++ −
∫
1
D
2
D
0 00
t 0, q( 0 ) q , q( 0 ) q= = =
1 12 2
C (0) D ;C (0) D= =
0
10 2
q
D q ; D
k
= =
12
D , D
( )
B
0
0q
0
q
1
q q coskt sinkt Q ( t )sink t d
k ak
τ
ττ
=++ −
∫
2B
q
1
q 2nq k q Q ( t )
а
++=
– переменная интегрирования.
Подставляя найденные значения (2.94) в решение (2.89), после
преобразований получим
, (2.95)
где
и
движения
– постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий
и не зависящие от параметров возмущающей
силы.
Из (2.94) следует, что
условия в выражения (2.89) и (2.94) получим
С учетом найденных значений постоянных
примет вид
, тогда подставляя начальные
.
общее решение (2.95)
При наличии вязкого сопротивления дифференциальное уравнение движения
(2.27) имеет вид:
Ограничимся наиболее важным для инженерной практики случаем малого
. (2.96)
. (2.97)
67
сопротивления
(n k)<
( )
nt
12
q e C ( t )cos k t C (t )sin k t
− ∗∗
= +
1
C (t)
2
C (t)
22
k kn
∗
= −
( )
nt B
00
0q
0
q nq
1
q e q cosk t sink t Q ( t )sink t d
k ak
τ
ττ
−∗ ∗ ∗
∗∗
+
=++ −
∫
n0=
. Представим решение этого уравнения в виде
, (2.98)
где
и
– некоторые функции времени;
.
Повторяя приведенные выше рассуждения, после преобразований и
подстановки начальных условий найдем
. (2.99)
Нетрудно установить, что при
выражение (2.99) приводится к виду
(2.96).
Полученные результаты можно применять для исследования вынужденных
колебаний систем с одной степенью свободы при действии каких угодно
возмущающих сил, особенно в случае возмущающих сил, резко меняющих величину
и направление, а также заданных графически или численно.
2.8 Основы теории регистрирующих приборов
Рассмотрим принципы работы приборов, предназначенных для регистрации
различных переменных во времени физических величин. Ограничимся случаем,
когда измеряемая величина является периодической или, в частности,
гармонической.
Практически все механические приборы в качестве одного из основных
упругих элементов имеют пружину того или иного типа, деформация которой,
вызываемая воздействием измеряемой величины и определяет показания прибора.
68
Рассмотрим два типа приборов.
n
x1
x
F
Первый тип приборов предназначен для непосредственного измерения
некоторой физической величины. Простейшая схема такого прибора представлена
на рисунке 20, где F – сила, определяемая измеряемой величиной х; x1 = f(x) –
показания прибора, пропорциональные деформации пружины под действием силы
F. Выясним, какие ограничения должны накладываться на измеряемые процессы
для того, чтобы показания прибора соответствовали измеряемым величинам, т.е.
выполнялось условие x1(t) = Ax(t), где А – некоторая постоянная величина.
Рисунок 20
Рассмотрим прибор как некоторую колебательную систему с одной степенью
свободы, подверженную силовому воздействию измеряемой величины. Вследствие
того, что стрелка прибора и некоторые другие его подвижные части обладают
массой, необходимо учитывать инерцию подвижных частей и возникающие при
движении силы вязкого сопротивления.
Величину Д, равную отношению частоты собственных колебаний k к
удвоенному коэффициенту затухания
системы:
, называют добротностью колебательной
69
k
Д
2n
=
Величина, обратная добротности, носит название безразмерного
2n
dk=
вын
A
стат
А
p
k
pk
вын
A
стат
А
η
p
k
pk
коэффициента затухания:
Добротность Д представляет собой коэффициент динамичности при резонансе и
.
.
показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний
превышает статическое смещение
. Как указывалось ранее в пункте 2.5.2 в
при резонансе
реальных колебательных системах при наличии вязкого сопротивления амплитуда при
резонансе имеет конечное значение. Если частота изменения возмущающей силы
значительно меньше частоты свободных колебаний
вынужденных колебаний
динамичности
близок к единице. Если же частота изменения возмущающей силы
близка к статическому смещению
значительно больше частоты свободных колебаний
, т. е.
, т. е.
, то амплитуда
, а коэффициент
, то колебательная
система ведет себя как фильтр, практически не воспринимая возмущения с частотами,
существенно превышающими собственную частоту.
Для того чтобы исключить искажения показаний прибора, необходимо
предусматривать как можно большую его добротность и, как следствие, как можно
меньший безразмерный коэффициент затухания.
Однако если использовать приборы с большой добротностью, то возникающие
свободные колебания будут затухать очень медленно и в значительной степени
искажать показания прибора. Поэтому на практике приходится выбирать достаточно
малые значения добротности, близкие к единице.
Второй тип приборов, используется для замера вибраций подвижных
объектов (железнодорожных вагонов, автомобилей, самолетов и т. д.). Эти приборы
70