Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
4.2 Общие теоремы теории удара
e
10 k
QQ S−=
∑
1
Q
0
Q
e
k
S
∑
e
k
S0=
∑
10
QQ=
e
1x 0 x kx
QQ S−=
∑
e
kx
S0=
∑
1x 0x
QQ=
4.2.1 Теорема об изменении количества движения системы при ударе
Изменение количества движения системы за время удара равно сумме всех
внешних импульсов ударных сил, действующих на систему:
, (4.4)
где
– количество движения системы после удара;
– количество движения системы до удара;
– сумма внешних импульсов ударных сил.
Если геометрическая сумма всех внешних импульсов ударных сил равна нулю
(
), то количество движения системы за время удара не изменится, т.е.
В проекциях на любую неподвижную координатную ось, например ось х,
уравнение (4.4) примет вид:
. (4.5)
неподвижную ось, например ось х, равна нулю (
движения системы на эту ось за время удара не изменится, т.е.
. (4.6)
Если сумма проекций всех внешних импульсов ударных сил на какую-либо
), то проекция количества
. (4.7)
101
4.2.2 Теорема об изменении главного момента количества движения системы
e
O O Ok
K(u) K( ) M(S)−=
∑
v
O
K (u)
O
K( )v
e
Ok
M (S )
∑
e
Ok
M (S ) 0=
∑
OO
K(u) K( )= v
e
x x xk
K(u) K( ) M(S )−=
∑
v
при ударе
Изменение главного момента количества движения системы
относительно какого-либо неподвижного центра за время удара равно сумме
моментов внешних импульсов ударных сил относительно того же центра:
, (4.8)
где
– главный момент количества движения системы относительно центра О
после удара;
– главный момент количества движения системы относительно центра О
до удара;
– сумма моментов внешних импульсов ударных сил относительно
центра О.
Если сумма моментов внешних импульсов ударных сил относительно какоголибо неподвижного центра О равна нулю (
), то главный момент
количества движения системы относительно этого же центра за время удара не
изменится, т.е.
. (4.9)
В проекциях на любую неподвижную ось х равенство (4.8) примет вид
Если сумма моментов внешних импульсов ударных сил относительно какой-
. (4.10)
102
либо неподвижной оси х равна нулю (
e
xk
M (S )
∑
xx
K(u) K( )= v
u
k =
v
0k1≤≤
), то главный момент количества
движения системы относительно этой же оси х за время удара не изменится, т.е.
. (4.11)
4.3 Коэффициент восстановления при ударе о неподвижную поверхность
При прямом ударе тела о неподвижную поверхность величина k, равная
отношению модуля скорости тела в конце удара к модулю скорости в начале удара,
называется коэффициентом восстановления:
. (4.12)
Коэффициент восстановления изменяется в пределах
и определяется
опытным путем. В случае, если k = 0, удар называется абсолютно неупругим, если k
= 1 – абсолютно упругим. В практических расчетах коэффициент восстановления
обычно принимают зависящим только от материала соударяющихся тел, однако, как
показывают опытные данные, коэффициент восстановления зависит также от
соотношения масс соударяющихся тел и их формы.
4.4 Прямой центральный удар двух тел
Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их
соприкосновения называется линией удара.
на линии удара (рисунок 24).
Удар называется центральным, если центры масс соударяющихся тел лежат
Центральный удар называется прямым, если скорости центров масс
103
соударяющихся тел в начале удара направлены по линии удара.
1
m
2
m
1
v
2
v
1
u
2
u
12
>vv
12
uu<
e
k
S0=
∑
1x 0x
QQ=
1122 1122
m m mu mu+=+vv
k
21
12
uu
k−=
−vv
х
х
Линия удара
Обозначим массы соударяющихся тел через
масс до удара –
и
и
(рисунок 24,а), а в конце удара –
, скорости их центров
и
(рисунок 24,б).
а) б)
Рисунок 24
Очевидно, что в рассматриваемом случае при ударе должны выполняться два
условия:
и
.
Ударные силы, действующие между телами, будут внутренними, т.е. сумма
внешних импульсов ударных сил равна нулю:
(4.6) примет вид:
или
Коэффициент восстановления
в случае прямого центрального удара двух
тел определяется выражением:
. В результате уравнение
,
. (4.13)
. (4.14)
104
Из (4.14) следует, что коэффициент восстановления при прямом центральном
1
u
2
u
k0=
11 22
12
12
mm
uu
mm
+
= =
+
vv
k1=
21 2
11
12
11 2
22
12
2m ( )
u,
mm
2m ( )
u.
mm
−
= −
+
−
= +
+
vv
v
vv
v
u)−(v
1k
1k
−
+
22
12
01 11 22
1km m
T T ( u) ( u)
1k 2 2
−
−= − + −
+
vv
ударе двух тел равен отношению модулей относительной скорости тел после
удара и до удара.
Для определения скоростей тел после удара
систему уравнений (4.13) и (4.14).
В случае абсолютно неупругого удара (
В случае абсолютно упругого удара (
):
и
необходимо решить
):
. (4.15)
(4.16)
4.5 Теорема Карно
Потерянной скоростью называется разность скоростей тела
после удара.
Изменение кинетической энергии системы при упругом ударе равно
умноженной на коэффициент
кинетической энергии, которую имела бы
система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями:
, (4.17)
до удара и
105
где
0
T
1
T
k1=
01
TT=
z
( )
e
z1 0 zk
J M (S )
ωω
−=
∑
z
J
2
кг м⋅
1
ω
рад / с
0
ω
рад / с
A
S
B
S
- кинетическая энергия системы в начале удара;
– кинетическая энергия системы в конце удара.
Выражение (4.17) носит название теоремы Карно.
Частичная потеря кинетической энергии при неупругом ударе объясняется
остаточной деформацией и нагреванием соударяющихся тел.
Из (4.17) следует, что при абсолютно упругом ударе (
кинетической энергии не происходит (
).
) потери
4.6 Удар по твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси
(рисунок
25). Внешний ударный импульс, приложенный к телу в некоторой его точке,
вызывает появление в опорах тела дополнительных ударных реакций, которые
могут вызвать повреждение опор. Сформулируем условия, при которых опорные
устройства вращающегося тела не испытывают действия ударных сил.
Теорема об изменении главного момента количества движения системы (4.10)
в рассматриваемом случае примет вид
, (4.18)
где
– момент инерции тела относительно оси вращения z,
– угловая скорость тела после удара,
– угловая скорость тела до удара,
;
.
;
Для того чтобы при ударе по телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси z,
ударные импульсы в подшипниках
и
(рисунок 25) обращались в нуль,
должны быть удовлетворены следующие условия:
1 Внешний ударный импульс должен быть перпендикулярен к плоскости,
проходящей через ось вращения z и центр тяжести тела С.
106
2 Ось вращения тела z должна быть главной осью инерции в точке
S
xz yz
JJ0= =
z
C
J
OD
mx
=
⋅
S
O C xC zC D z y х В
А
пересечения ее с плоскостью, перпендикулярной к оси вращения и содержащей
точку приложения ударного импульса
, т.е.
3 Точка приложения D ударного импульса S должна отстоять от оси вращения
z на расстоянии
. (4.19)
Точка D, в которой приложен внешний ударный импульс
ударных опорных реакций, называется центром удара.
.
при отсутствии
Рисунок 25
107
5 Динамика плоского движения
12 n
F ,F ,...,F
11
Cx y
11
Cx y
5.1 Дифференциальные уравнения плоского движения тела
Рассмотрим движение твердого тела, масса которого распределена
симметрично относительно плоскости Оxy. Предположим, что все внешние силы
, приложенные к телу, действуют в этой же плоскости, а начальные
скорости точек этого тела ей параллельны. При этих условиях тело будет совершать
плоскопараллельное движение, для изучения которого достаточно рассмотреть
движение плоской фигуры, полученной сечением тела плоскостью Оxy (рисунок 26).
Начало системы координат
помещено в центре масс тела – точке С.
Рисунок 26
Разложим плоское движение тела на поступательное движение вместе с
подвижной системой отсчета
и вращательное движение вокруг оси,
перпендикулярной плоскости Оxy и проходящей через центр масс С.
Как известно из кинематики уравнения плоского движения тела имеют вид:
108
C1
C2
3
x f ( t ),
y f (t ),
f ( t ).
ϕ
=
=
=
(5.1)
e
Ck
Ma F=
∑
M
C
a
e
k
F
∑
e
C kx
e
C ky
Mx F ,
My F .
=
=
∑
∑
e
C
Ck
dK
m (F )
dt
=
∑
C
K
Основными задачами динамики плоского движения твердого тела являются
определение сил по заданным уравнениям движения в форме (5.1) (первая задача
динамики) и определение уравнений движения (5.1) по заданным силам (вторая
задача динамики).
Воспользуемся теоремой о движении центра масс:
, (5.2)
где
– масса тела;
– вектор ускорения центра масс;
– главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу.
Проецируя векторное равенство (5.2) на оси координат x и y, получим:
(5.3)
Для составления дифференциального уравнения вращательной части
движения воспользуемся теоремой об изменении главного момента количества
движения системы:
где
– главный момент количества движения твердого тела относительно оси,
, (5.4)
109
перпендикулярной плоскости движения тела и проходящей через центр масс С;
e
Ck
m (F )
∑
CC
KI
ω
=
C
I
e
C
Ck
d(I )
m (F )
dt
ω
=
∑
C
I const=
d
dt
ω
εϕ
= =
e
C Ck
I m (F )
ϕ
=
∑
e
C kx
e
C ky
e
C Ck
Mx F ,
My F ,
I m ( F ).
ϕ
=
=
=
∑
∑
∑
– сумма моментов всех внешних сил относительно оси, проходящей
через центр масс С и перпендикулярной плоскости движения тела.
Как известно, момент количества движения твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, определяется соотношением:
, (5.5.)
где
– момент инерции тела, относительно оси проходящей через центр масс С и
перпендикулярной плоскости движения тела;
ω – угловая скорость тела.
С учетом (5.5) формула (5.4) примет вид:
. (5.6)
Для твердого тела
, тогда с учетом, что
дифференциальное уравнение вращательной части плоского движения:
. (5.7)
Уравнения (5.3) и (5.7) называются дифференциальными уравнениями
плоского движения твердого тела:
, получим
(5.8)
110