Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные задачи динамики твердого тела. Учебное пособие.pdf
m
p
B
q
Q
2
mp l
2
B2
q
mp l sin( pt ) x
Q ( t ) mp l sin( pt )
x
βδ
β
δ
+
= = +
B
q
Q (t)
2
p
p const=
s(t)
А
l
φ
c O
Рисунок 17
Вынужденные колебания, вызываемые вращающимся эксцентриком (рисунок
18). Пусть с движущимся поступательно телом массой M скреплен эксцентрик,
имеющий массу
скоростью
выразим
. Обозначив через ϕ угол отклонения эксцентрика от вертикали,
через проекцию на горизонталь центробежной силы
, эксцентриситет l и вращающийся с постоянной угловой
:
.
Из полученных выражений следует, что при инерционном возмущении
колебаний в отличие от силового и кинематического возбуждения амплитуда
обобщенной силы
пропорциональна квадрату частоты силы
частоту возмущающей силы постоянной
обобщенной силы, обусловленной действием возмущающих сил, независимо от
способа возмущения, можно привести к виду:
. Полагая
, выражение для составляющей
51
B
q0
Q ( t ) Q sin( pt ),
β
= +
0
Q
2 В
q
1
q kq Q ,
a
+=
2
0
sinqk (pqh t),
β
+= +
0
0
Q
ha=
l
m
φ(t)
x
с
где
– некоторый постоянный коэффициент.
Рисунок 18
2.5.2 Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления
При отсутствии сил сопротивления дифференциальное уравнение движения
системы при гармоническом возбуждении в соответствии с (2.27) примет вид:
(2.56)
или
(2.57)
где
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.57) ищем в виде:
52
qqq=+∗
q
12
q C cos kt C sin kt= +
( )
q A sinkt
α
= +
q∗
pk≠
q H sin( pt )
β
∗= +
H
2
q Hp sin( pt )
β
∗=− +
, (2.58)
где
уравнения вида (2.28);
q∗ – частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения
(2.57), определяемое видом его правой части.
вид
или
и частоты собственных колебаний k. Рассмотрим два возможных случая.
– общее решение соответствующего однородного дифференциального
Общее решение однородного уравнения в соответствии с (2.31) и (2.34) имеет
, (2.59)
. (2.60)
Частное решение
зависит от соотношения частоты возмущающей силы p
1. Отсутствие резонанса
Частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения
(2.57) будем искать в виде:
где
– постоянный коэффициент.
Продифференцировав (2.61) дважды по времени, получим
Подставляя (2.61) и (2.62) в уравнение (2.57), получим
.
, (2.61)
. (2.62)
53
22
0
Hp sin( pt ) Hk sin( pt ) h sin( pt ),
β ββ
− ++ += +
( )
22
0
H k p sin( pt ) h sin( pt ).
ββ
− += +
( )
22
0
,Hk p h−=
или
( )
0
22
h
H.
kp
=
−
0
12
22
h
q C cos kt C sinkt sin( pt )
kp
β
=++ +
−
0
12
22
hp
q C k sinkt C k coskt cos( pt )
kp
β
=−+ + +
−
0
22
h
q Asin( kt ) sin( pt )
kp
αβ
= ++ +
−
12
C ,C
0 00
t 0, q( 0 ) q , q( 0 ) q= = =
Откуда следует
(2.63)
B соответствии с (2.59), (2.62) и (2.63) общее решение (2.58) будет иметь вид:
а закон изменения обобщенной скорости по времени:
или с учетом (2.60)
, (2.64)
, (2.65)
. (2.66)
Произвольные постоянные
в уравнения (2.64) и (2.65):
получим, подставив начальные условия:
54
00
01 02
22 22
h hp
q C sin ; q C k cos
kp kp
ββ
=+=+
−−
Отсюда
( )
0 00
10 2
22
22
h q hp
C q sin ; C cos
k
kp
kk p
ββ
=−=−
−
−
A
12
C ,C
22
1
12
2
C
A C C ; arctg
C
α
=+=
p
00
q(0 ) q , q(0 ) q= =
01
h ,p ,
β
k
0
22
h
q sin( pt )
kp
β
= +
−
.
.
через
Постоянные
по формулам:
и α, входящие в (2.66), при необходимости можно определить
.
Как следует из (2.65) и (2.66), в рассматриваемом случае система совершает
сложное движение, состоящее из двух гармонических колебаний с частотами k и p
соответственно. Первое слагаемое с частотой k можно по аналогии со случаем
отсутствия возмущающей силы условно назвать свободными колебаниями, а второе
с частотой
– вынужденными колебаниями. Условность названия «свободные
колебания» связана с тем, что определяющие их произвольные постоянные зависят
не только от начальных условий
возмущающей силы
.
Из-за наличия в реальных системах сил сопротивления, свободные колебания
с частотой
с течением времени затухают, и в дальнейшем система совершает
вынужденные колебания с частотой p, уравнение которых имеет вид:
, но и от параметров
.
55
Отметим особо, что параметры этого движения не зависят от начальных
pk<
pk>
π
вын
A
0
вын
22
h
A
kp
=
−
вын
q A sin( pt )
βγ
= +−
γ
0 npu p k;
npu p k.
γ
π
<
=
>
вын
A
0
вын стат стат
22
22
2
h
11
A АА
kp
p 1z
1
k
= = =
−
−
−
00
стат
2
hQ
A
c
k
= =
условий. Если
по фазе с возмущающей силой, если же
, то установившиеся вынужденные колебания будут совпадать
, то вынужденные колебания будут
находиться с ней в противофазе (сдвинуты по фазе на
возмущающей силе).
Введем в рассмотрение амплитуду вынужденных колебаний
.
Тогда уравнение установившихся вынужденных колебаний можно будет
представить в виде:
по отношению к
:
где
– сдвиг по фазе вынужденных колебаний от колебаний возмущающей силы,
причем
Представим
,
в виде
,
где
– статическое смещение системы от положения равновесия под
действием постоянной силы, совпадающей по величине с ее амплитудой,
56
p
zk=
2
1
1z
η
=
−
вын
A
стат
A
0
Q
pk=
pk=
q Ht cos( pt )
β
∗= +
2
2
sin( ) cos( )q Hp pt Htp pt
ββ
=− +− +
0
2Hp sin( pt ) h sin( pt )
ββ
− += +
0
h
H2p= −
00
ht ht
q cos( pt ) sin( pt )
2p 2p 2
π
ββ
∗=− + = + −
– относительная частота возмущающей силы, называемая также
коэффициентом расстройки.
Величину
называют коэффициентом динамичности.
Коэффициент динамичности показывает во сколько раз амплитуда вынужденных
колебаний
системы
2. Резонанс
при гармоническом воздействии больше статического смещения
от действия постоянной силы
.
. В случае совпадения частоты возмущающей силы с
частотой свободных колебаний (собственной частотой) возникает явление
резонанса, отличительной особенностью которого является нарастание амплитуды
вынужденных колебаний с течением времени.
Будем искать частное решение уравнения (2.57) при
в виде
. (2.67)
Продифференцировав (2.67) дважды по времени, получим
. (2.68)
После подстановки (2.67) и (2.68) в (2.57), получим
,
,
. (2.69)
57
Как следует из (2.69) вынужденные колебания при резонансе происходят с
2
π
2
0
q 2nq k q h sin( pt )
β
++= +
np≠
q
q∗
qqq=+∗
n
нарастающей пропорционально времени амплитудой и запаздывают по фазе от
вынуждающей силы на
.
В реальной колебательной системе всегда присутствуют силы сопротивления,
а при достижении больших размахов колебаний нарушается допущение о малости
колебаний, поэтому амплитуда колебаний при резонансе хотя и достигает больших
значений, но все же не является неограниченно возрастающей.
Резонанс может стать причиной возникновения опасных напряжений в
материале конструкций и, следовательно, причиной их разрушения или сокращения
срока эксплуатации.
2.5.3 Вынужденные колебания при наличии линейного сопротивления
При наличии линейного сопротивления дифференциальное уравнение (2.27)
при гармоническом возбуждении примет вид:
Ограничимся рассмотрением случая отсутствия резонанса, т.е. будем считать,
что
решения
. Общее решение уравнения (2.70) будем искать в виде суммы общего
соответствующего однородного уравнения (2.40) и частного решения
исходного неоднородного уравнения:
Как было показано в подразделе 2.4 общее решение однородного уравнения в
зависимости от соотношения между частотами
. (2.70)
. (2.71)
и k может иметь вид:
58
nt
12
q e ( C cos k t C sink t )
−
∗∗
= +
при
nk<
nt
12
q e (C C t)
−
= +
nk=
22 22
tn nk nktt
12
q e Ce Ce
−−−−
= +
nk>
1
C
2
C
q H sin( pt )
βε
∗= + −
2
q Hp cos( pt ), q Hp sin( pt )
βε βε
∗= + − ∗=− + −
22
0
Hp sin( pt ) 2nHp cos( pt ) Hk sin( pt ) h sin( pt ).
βε βε βε β
− +− + +− + +− = +
00
00
h sin( pt ) h sin( pt )
h sin( pt )cos h cos( pt )sin .
β βεε
βε ε βε ε
+ = + −+ =
+− + +−
; (2.72)
где
,
– постоянные интегрирования.
Частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения
(2.70) будем искать в виде (2.61):
Продифференцировав (2.75) дважды по времени, получим
при
; (2.73)
при
; (2.74)
. (2.75)
Подставляя (2.75) и (2.76) в уравнение (2.70), получим
Преобразуем правую часть полученного уравнения:
После подстановки в предыдущее уравнение и группировки слагаемых
. (2.76)
получим уравнение вида:
59
( )
( )
( )
22
00
H k p h cos sin( pt ) 2nHp h sin cos( pt ) 0.
ε βε ε βε
− − +− + − +− =
( )
22
00
H k p h cos , 2nHp h sin .
εε
−= =
( )
0
2 2 22
h
Н;
k p 4n p
=
−+
22
2np
kp
Н
( )
22
2 2 22
h 2np
q sin pt artg
kp
k p 4n p
β
∗= + −
−
−+
nk<
( )
( )
nt
12
2 2 22
h
q e ( C cosk t C sink t) sin pt
k p 4n p
βε
−
∗∗
= + + +−
−+
nk=
( )
( )
nt
12
2 2 22
h
q e ( C C t ) sin pt
k p 4n p
βε
−
= + + +−
−+
nk>
Приравнивая коэффициенты к нулю, придем к соотношениям:
Откуда
(2.77)
tg ;
ε
=
−
(2.78)
Подставляя найденные значения
Общее решение уравнения (3.70) будет иметь вид:
1) при
2) при
и ε, получаем частное решение в виде:
. (2.79)
; (2.80)
3) при
; (2.81)
60