Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
М. С. Бичегкуев
МЕТРИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА
ТЕОРИЯ, ЗАДАЧИ, РЕШЕНИЯ
Учебное пособие
УДК 515.124
ББК 22.152.1+22.162
Интернет-магазин
— физика
— математика
— биология
— нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Бичегкуев М. С.
Метрические пространства: Теория, задачи, решения. — Москва–Ижевск:
Институт компьютерных исследований,
НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2019. — 192 с.
Книга содержит изложение основ теории метрических пространств, а также
разнообразные задачи, иллюстрирующие и дополняющие сущность рассматриваемых понятий.
Пособие предназначено для студентов математических специальностей вузов
при изучении курсов математического анализа, теории функций и функционального
анализа.
ISBN 978-5-4344-0617-8
c
М. С.Бичегкуев, 2019
c
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2019
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.152.1+22.162
Памяти моего отца посвящается
Введение
Плодотворная концепция заключается
в широком обобщении, ограниченном удачной
конкретизацией.
Дж. Литлвуд
При теоретико-множественном подходе к изучению геометрических
фигур исследуется взаимное расположение составляющих их точек, фундаментальной характеристикой которого является расстояние между точками.
Численная мера (м е т р и к а), характеризующая различие этих точек, обладает свойствами (а к с и о м ы м е т р и к и), аналогичными свойствам расстояния между двумя точками на плоскости. Такой подход к обобщению понятия расстояния и приводит к понятию м е т р и ч е с к о г о п р о с т р а н с т в а.
Первое определение метрического пространства, сохранившееся по существу до настоящего времени, было дано (1906) французским математиком
М о р и с о м Ф р е ш е в работе «О некоторых положениях функционального исчисления» и явилось ярким примером применения аксиоматического метода. Сам термин «метрическое пространство» впервые использовал
Ф е л и к с Ха у с д о р ф в своей известной книге «Теория множеств».
Язык метрических пространств, соединяющий в себе наглядность с математической строгостью, широко применяется во многих разделах математики и теоретической физики.
Пособие состоит из 16 параграфов, которые начинаются с изложения
теоретического материала. В конце каждого из них (кроме §0) с решениями
и указаниями приводятся задачи и упражнения по данной теме, содержащие необходимый материал для усвоения теории. При составлении задач
использовались учебники и задачники, указанные в списке использованной
литературы.
4ВВЕДЕНИЕ
Несколько слов об обозначениях. Через N, Z, Q, R, C обозначаются,
соответственно, множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Для сокращения записи будем пользоваться
символами математической логики ∧, ∨, ⇒, ⇔ для обозначения связок
«и», «или», «влечет»или«следует», «равносильно». Кванторы ∀ и ∃ име-
ют обычный смысл: «для любого»и«существует». Символ «:=»будет
обозначать равенство по определению, где двоеточие ставится со стороны
определяемого объекта.
Для удобства ссылок в каждом параграфе приводится своя нумерация
теорем и задач (например, теорема 5.1 означает теорему 1 из §5). Начало
и конец доказательства утверждений будем обозначать знаками , ,соот-
ветственно, а знак , поставленный сразу после него, указывает на то, что
доказательство нужно провести самостоятельно.
Автор сердечно благодарен профессорам А. Г. Баскакову, А. Е. Гутману
и Е.М. Семенову, чьи критические замечания и полезные советы способствовали существенному улучшению содержания книги. За неоценимую помощь при оформлении рукописи хочу поблагодарить С. Д. Иванова
и М.А.Шпакова.
§0. Сведения из теории множеств
Никто не может изгнать нас из рая,
который создал нам Кантор.
Д. Гильберт
Этот параграф посвящен краткому обзору системы теоретико-множественных терминов и обозначений, используемых при изложении дальнейшего материала.
0.1. Множества и отношения
Почти все встречающиеся в математике объекты основаны на понятии
множества, являющегося первоначальным и интуитивно ясным. А именно, множество следует представлять как совокупность объектов произвольной природы, называемых его элементами. Руководствуясь соображениями
удобства, заглавными буквами латинского и греческого алфавитов будем
обозначать множества, а их элементы — строчными буквами.
Выражения «x принадлежит множеству A», или «x есть элемент множества A», или «x есть точка из A» имеют одинаковый смысл и могут быть
представлены символически как x ∈ A,где∈ есть знак принадлежности.
Его отрицание изображается символом /∈; выражение «x не принадлежит A»
записывается: x/∈ A.
Множества часто задаются определяющим их свойством. В соответствии с этим запись {x ∈ X : ϕ(x)} обозначает множество всех тех элементов x из X , для которых выполнено условие ϕ(x).
Если любой элемент множества A является элементом множества B,
то говорят, что A является подмножеством множества B,илиA включено
(или содержится)вB,илиB содержит A, и пишут A ⊂ B или B ⊃ A.
Включение обладает следующими свойствами:
⊂ A (т.е. всякое множество есть подмножество самого себя);
(а) A
(б) если A ⊂ B и B ⊂ C ,тоA ⊂ C.
Множество, содержащее лишь один элемент x, обозначается символом {x}.
6 §0. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Равенство двух множеств A = B равносильно тому, что справедливы
включения A ⊂ B и A ⊃ B,т.е.
(A = B) ⇐⇒ ((A ⊂ B) ∧ (A ⊃ B)).
Если A ⊂ B и A = B, то говорят, что A есть собственное подмножество B, и пишут A B.
Единственное множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ∅.Длялюбогомно-
жества A выполнено соотношение ∅ ⊂ A (так как пустое множество не
содержит ни одного элемента, который не принадлежал бы любому другому множеству). Если множество содержит хотя бы один элемент, то оно
называется непустым.
Пусть A и B — произвольные множества, тогда
объединением множеств A и B называется множество
A ∪ B := {x :(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)};
пересечением множеств A и B
называется множество
A ∩ B := {x :(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)};
разностью множеств A и B называется множество
A \B := {x :(x ∈ A) ∧ (x/∈ B)};
симметрической разностью множеств A и B называется множество
A B := (A \ B) ∪ (B \ A)=(A ∪ B) \ (A ∩ B).
Множества A и B называются непересекающимися (или дизъюнктными), если A ∩B = ∅.
Если A ⊂ X,томножествоX \ A называется дополнением множества
A относительно X . Очевидно, что дополнением пустого множества
является все множество X, и обратно.
Для подмножеств A и B множества X справедливы следующие соотношения:
(а) X \(X \A)=A;
(б) A ⊂B ⇔ X \B ⊂ X \A;
(в) A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ X \ B ⇔ B ⊂ X \A;
(г) A ∪ B = X ⇔ X \ B ⊂ A ⇔ X \ A ⊂ B.
0.1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ 7
Операции объединения и пересечения множеств коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны:
A ∪ B = B ∪ A;(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪C);
A ∩ B = B ∩ A;(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩C);
A ∩ (B ∪ C )=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C );
A ∪ (B ∩ C )=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Множества, элементами которого являются множества, называются семействами,иликлассами, множеств, а их элементы называются элемента-
ми семейства. При этом говорят, что {A
: i ∈ I} (или {Ai}
i
)естьиндек-
i∈I
сированное семейство множеств, если каждому элементу i из множества I,
называемого индексным множеством, поставлено в соответствие множество A
то будем также пользоваться записью i =
. Если индексное множество I совпадает с множеством {1, 2, ...,n},
i
1,n(вместо i ∈ I), где черта свер-
ху означает, что индекс i пробегает значения от 1 до n.
Семейство всех подмножеств множества X будем обозначаеть симво-
(X). Запись A ∈(X) означает, что A есть элемент семейства под-
лом
множеств множества X, т. е. является подмножеством множества X ,изна-
чит, можно также записать, что A ⊂ X. Ясно, что соотношения X ∈
и ∅ ∈
(X) верны всегда.
(X)
Объединением (или соответственно, пересечением) семейства множеств {A
: i ∈ I} называется множество
i
Ai= ∪{Ai: i ∈ I} := {x : ∃i0∈ I, x ∈ A
i∈I
}
i
0
Ai= ∩{Ai: i ∈ I} := {x : x ∈ Aiдля всех i ∈ I}.
i∈I
Семейство {A
ства X ,если
такой, что x
Покрытие {A
крытия {A
i
Покрытие {A
i∈I
∈ A
0
: i ∈ I} множества X,еслиI⊂ I и A
: i ∈ I}⊂(X) называется покрытием множе-
i
Ai= X (т. е. для каждого x0∈ X существуетиндекс i0∈ I,
).
i
0
: i ∈ I} множества X называется подпокрытием по-
i
: i ∈ I } множества X называется разбиением множе-
i
= Aiдля всех i ∈ I.
i
ства X , если все его элементы не пусты и попарно не пересекаются.
В теории множеств важную роль играют формулы де Моргана:ес-
ли X — некоторое множество и {A
: i ∈ I}⊂(X), то имеют место
i
следующие утверждения:
8 §0. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
(а) дополнение объединения множеств Aiравно пересечению их дополнений
X \∪{A
(б) дополнение пересечения множеств A
: i ∈ I} = ∩{X \Ai: i ∈ I};
i
равно объединению их до-
i
полнений
X \∩{A
: i ∈ I} = ∪{X \Ai: i ∈ I}.
i
Пусть X и Y — заданные непустые множества. Рассмотрим произвольные элементы x ∈ X, y ∈ Y и связанные с ними множества {x}, {y}, {x, y}.
Двухэлементное множество {{x}, {x, y}} называется упорядоченной парой
(или просто парой) спервымэлементомx и вторым элементом y иобо-
значается символом (x, y). Термин «первый» для элемента x ∈ X, x = y,
оправдывается тем, что {x}∈{{x}, {xy}},а{y} /∈{{x}, {x, y}}.
Основное свойство, характеризующее понятие упорядоченной пары,
устанавливает
Теорема 0.1.1. Для того, чтобы выполнялось равенство (x
=(x
), необходимо и достаточно, чтобы x1= x2и y1= y2.
2,y2
Н е о б х о д и м о с т ь. Допустим, что (x
1,y1
)=(x2,y2).Непо-
1,y1
)=
средственно из определения упорядоченной пары имеем
{x
}∈(x1,y1), {x2,y2}∈(x1,y1),
2
откуда возможны следующие случаи:
(1) {x
(3) {x
Из (1) следует, что {x
равенства x
. Если выполняется (3), т. е. x2= x1= y2, то, учитывая (x1,y1)=
= y
1
=(x
2,y2
если{ x
= x2= y1, откуда вытекает, что {x2,y2} = {x2,y1},т.е.y2=
1
), получаем {x2,y1} = {x1,y2}. Следовательно, y1= y2. Наконец,
} = {x1,y1},то{x2} = {x1}, и случай (4) сводится к случаю (1).
2,y2
} = {x1};(2){x2}∈{x1,y1};
2
}∈{x1};(4){x2,y2} = {x1,y1}.
2,y2
} = {x2,y2},азначит,y1= y2. В случае (2) имеем
2,y1
Д о с т а т о ч н о с т ь вытекает из очевидной цепочки равенств
(x
)={{x1}, {x1,y1}} = {{x2}, {x2,y2}} =(x2,y2)
1,y1
и определения упорядоченной пары.
Декартовым произведением множеств X и Y называется множество
упорядоченных пар (x, y):
X ×Y := {(x, y):(x ∈ X) ∧ (y ∈ Y )}.
0.1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ 9
При этом множество X называют первым множителем,аY — вторым
множителем.Элементx упорядоченной пары (x, y) ∈ X × Y называется
первой координатой,аy — второй координатой. Ясно, что если X ×Y = ∅,
то это соотношение эквивалентно тому, что X = ∅ или Y = ∅.
Пусть {A
: s ∈ S}⊂(X) и {Bt: t ∈ T }⊂(Y ),гдевсе
s
рассматриваемые подмножества непустые. Тогда из определения декартова
произведения вытекают следующие его свойства:
(а) (A
(б) (A
(в) (A
(г) (A
× B) ∪ (A2× B)=(A1∪ A2) ×B;
1
× B1) ∩(A2× B2)=(A1∩ A2) × (B1∩ B2);
1
\ A2) ×B =(A1× B) \(A2× B);
1
⊂ A2,B1⊂ B2) ⇒ (A1× B1⊂ A2× B2);
1
(д) A ×B =(A × Y ) ∩(X × B);
(е) (X × Y ) \ (A ×B)=((X \A) × Y ) ∪(X × (Y \ B));
(ж) (A
(з)
(и)
Декартово произведение конечного семейства множеств {A
× B1= A2× B2) ⇒ (A1= A2,B1= B2);
1
s
s
As×
As×
t
Bt=
Bt=
t
(As× Bt);
s,t
(As× Bt).
s,t
: s = 1,k}
s
определяется по индукции формулой
A
1
При этом, если A
× A2× ... × Ak=(A1× ... × A
= A для любого i = 1,k, то пишут
i
A × A × ... × A
k раз
= Ak.
k−1
) ×Ak.
Всякое подмножество R декартова произведения X × Y двух множеств X и Y называется отношением между множествами X и Y ,
априX = Y называется отношением вмножествеX.ЕслиR ⊂ X ×Y —
отношение, то соотношение (x,y) ∈ R (часто пользуются и другим обозначением: xRy) выражается с помощью слов: (элемент) y соответствует
(элементу) x по (или «посредством», или «относительно») R.
Если R ⊂ X × Y — некоторое отношение, то проекции R на множества X и Y определяются формулами
pr
R := {x ∈ X : ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ R},
X
pr
R := {y ∈ Y : ∃x ∈X, (x, y) ∈ R}
Y
и называются, соответственно, областью определения отношения R (обозначается D(R)), областью значений отношения R (обозначается Im(R)).
Ясно, что R ⊂ pr
R × prYR.
X
10 §0. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Тождественным,илидиагональным, отношением во множестве X на-
зывается множество
:= {(x, x):x ∈ X}⊂X × X.
X
Отношение
−1
R
:= {(y,x):(x, y) ∈ R}⊂Y × X
называется обратным отношением к отношению R ⊂ X ×Y .
Композицией отношений S ⊂ X × Y и R ⊂ Y × Z называется множе-
ство
R ◦ S := {(x, z):∃y ∈ Y, (x, y) ∈ S, (y, z) ∈R}⊂X × Z.
Для произвольного отношения R имеют место включения
−1
R ◦ R
⊃
,R−1◦ R ⊃
Im(R)
D(R)
.
Пусть R, S, T — некоторые отношения. Тогда имеют место следующие
равенства
(а) D(R
(б) (R
−1
)=Im(R), Im(R−1)=D(R);
−1)−1
= R;
(в) R ◦ (S ◦ T )=(R ◦ S) ◦T ;
(г) (R ◦ S)
−1
= S−1◦ R−1.
0.2. Отображения множеств
Пусть X , Y — произвольные множества. Отношение Γ ⊂ X ×Y назы-
вается функциональным, если оно удовлетворяет следующим условиям:
(i) D(Γ) = X;
(ii) [(x, y
Таким образом, каждое функциональное отношение Γ ⊂ X ×Y порождает
соответствие f = f
ственный) элемент y ∈ Y , а именно тот, при котором пара (x, y) принадлежит Γ. При этом полученное соответствие f = f
ражением множества X вмножествоY (или функцией на множестве X со
) ∈ Γ] ∧ [(x, y2) ∈ Γ] ⇒ y1= y2.
1
,сопоставляющеекаждомуx ∈ X определенный (един-
Γ
принято называть отоб-
Γ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]