Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
§1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 31
1.5. Говорят, что метрика ρ на множестве X удовлетворяет ультрамет-
рическому неравенству,если
ρ(x, z) max{ρ(x, y),ρ(y, z)},
где x, y, z — произвольные точки множества X. Полученное пространство (X, ρ) называется ультраметрическим.
Доказать, что в ультраметрическом пространстве справедливы следующие утверждения:
(а) если ρ(x, y) = ρ(y,z),тоρ(x, z)=max{ρ(x, y),ρ(y,z)};
(б) если два шара имеют общую точку, то один из них содержится в другом;
(в) расстояние между двумя различными открытыми шарами радиуса r,
содержащимися в замкнутом шаре радиуса r,равноr.
1.6. Пусть X — множество всевозможных последовательностей на-
туральных чисел x =(n
и k
(x, y) — наименьший индекс, при котором nk= mk. Доказать, что
0
ρ(x, y)=
, ...,nk,...), y =(m1,m2, ...,mk,...)
1,n2
⎧
0, при x = y,
⎨
1
⎩
k0(x, y)
, при x = y,
есть метрика на X, удовлетворяющая ультраметрическому неравенству.
Полученное пространство (X, ρ) является примером ультраметриче-
ского пространства и называется пространством Бэра.
1.7. Показать, что семейство всех непустых подмножеств пространства (X, ρ) c «расстоянием»
ρ(A, B)=inf{ρ(x, y):x ∈ A, y ∈ B},A⊂ X, B ⊂ X,
не является метрическим пространством.
1.8. Пусть A, B, C — непустые множества из пространства (X, ρ).
Доказать справедливость следующих неравенств:
(а) ρ(A ∪ B,C) ρ(A, C );
(б) ρ(A, C) ρ(A, B)+ρ(B, C)+d(B).
1.9. Доказать, что для любого замкнутого шара
неравенство d(
B(x0,r)) 2r.
B(x0,r) справедливо
32 §1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1.10. Пусть x1, x2— произвольные точки пространства (X,ρ),при-
чем x
что B(x
= x2. Покажите, что существует такое положительное число r,
1
,r)B(x2,r)=∅.
1
1.11. (а) Доказать, что если два открытых шара МП имеют общую
точку, то существует шар, лежащий в их пересечении.
(б) Пусть x
чисел r
и r2, удовлетворяющих условию 0 <r1 r2, имеют место вклю-
1
— некоторая точка МП (X, ρ). Показать, что для любых
0
чения:
B(x
) ⊂ B(x0,r2), B(x0,r1) ⊂ B(x0,r2).
0,r1
1.12. Показать, что если x/∈ B(x
ρ(x, B(x
,r), то справедливо неравенство
0
,r)) ρ(x0,x) − r.
0
1.13. Доказать, что объединение двух ограниченных множеств пространства (X,ρ) ограничено. В частности, если A ограничено в (X,ρ),
то какова бы ни была точка x
B(x0,ρ(x0,A)+d(A)).
шаре
∈ X,множествоA содержится в замкнутом
0
1.14. Для любого множества M из пространства (X, ρ) илюбогоr>0
положим
(M)={x ∈ X : ρ(x, M ) <r}.
V
r
Доказать справедливость следующих утверждений:
(а) если B(M,r) — r-шар множества M в пространстве (X, ρ),
то B(M, r)=V
(M);
r
(б) если M , N — непустые множества из (X, ρ) и ρ(M,N)=d, то имеет
место неравенство ρ(V
1.15. Пусть ρ
существуют постоянные c
(M),Vr(N)) d − 2r.
r
и ρ2— две метрики на множестве X . Доказать, что если
1
> 0 и c2> 0,такие,чтодлялюбыхx, y из X
1
выполняются неравенства
(x, y) ρ2(x, y) c2ρ1(x, y), ∀x, y ∈ X, (∗)
c
1ρ1
то ρ
эквивалентно ρ2(т. е. неравенства (∗) являются достаточным условием
1
эквивалентности метрик ρ
и ρ2).
1
Показать, что это условие не является необходимым для эквивалентно-
сти метрик ρ
1
и ρ2.
1.16. Функция ˜ρ: X × X → [0, ∞),гдеX — произвольное множество,
удовлетворяющая для любых x, y, z ∈ X условиям:
˜ρ(x, x)=0; ˜ρ(x, y)= ˜ρ(y, x); ˜ρ(x, y) ˜ρ(x, z)+˜ρ(z, y),
§1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 33
называется псевдометрикой на множестве X . Псевдометрика обладает все-
ми свойствами метрики, кроме свойства ˜ρ(x, y)=0⇒ x = y.
Пара (X, ˜ρ),где˜ρ — псевдометрика на множестве X , называется псев-
дометрическим пространством.
Показать, что если ρ —метрика,а ˜ρ —псевдометриканаX,тоρ
1
= ρ +˜ρ —метриканаX.
1.17. Пусть (G, +) — абелева группа, на которой определена метрика ρ,
инвариантная относительно операции +,т.е.
ρ(x + z,y + z)=ρ(x, y), ∀x, y, z ∈ G.
Пара (G, ρ) называется метрической группой. Показать, что для любых x,
y ∈ G илюбогоk ∈ N справедливы равенства
ρ(x, y)=ρ(θ, x − y); ρ(kx, θ) kρ(x, θ),
где θ — нулевой элемент группы G.
=
§2. Примеры метрических пространств
. . . полет в область абстрактной общности должен исходить из конкретного и частного
и завершается конкретным и частным.
Р. Курант
Приведем примеры наиболее часто встречающихся пространств.
Пример 2.1. Дискретное метрическое пространство (или простран-
ство изолированных точек) — произвольное множество X, для которого
ρ(x, y)=
Пример 2.2. Числовая прямая,илипространство, R —множествовсех
вещественных чисел с евклидовой метрикой ρ:
0, если x = y,
1, если x = y,
ρ(x, y)=|x − y|.
∀x, y ∈ X.
Пример 2.3. Пространство R
n
— множество упорядоченных наборов
из n действительных чисел с евклидовой метрикой ρ:
n
k=1
(ξk− ηk)2,
где x =(ξ
ρ(x, y)=
,...,ξn) и y =(η1,η2,...,ηn).
1,ξ2
Пример 2.4. Пространство m — множество всех ограниченных по-
следовательностей, с расстоянием
|ξn− ηn|,
n
где x =(ξ
) и y =(ηn).
n
ρ(x, y)=sup
§2. ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 35
Пример 2.5. Пространство c — множество всех сходящихся числовых
последовательностей, с расстоянием
ρ(x, y)=sup
где x =(ξ
) и y =(ηn).
n
Пример 2.6. Пространство l
последовательностей x =(ξ
), для которых
n
|ξn− ηn|,
n
(1 p<∞) состоит из всех числовых
p
∞
|ξn|p< ∞, а расстояние
n=1
определяется по формуле
ρ(x, y)=
(В случае p = ∞ полагают l
Пример 2.7. Пространство l
∞
i=1
∞
|ξi− ηi|
:= m.)
1/p
p
, 1 p<∞.
m
(1 p ∞) — множество упорядо-
p
ченных наборов из m действительных (комплексных) чисел с расстоянием
⎧
где x =(ξ
m
⎪
⎪
⎪
⎨
ρ(x, y)=
, ...,ξm) и y =(η1, ...,ηm).
1
⎪
⎪
⎪
⎩
|ξi− ηi|
i=1
|ξi− ηi|, при p = ∞,
sup
1in
1/p
p
, при 1 p<∞,
Пример 2.8. Пространство s — множество всех числовых последова-
тельностей, в котором метрика определяется функцией
∞
где x =(ξ
) и y =(ηn).
n
ρ(x, y)=
n=1
|ξn− ηn|
1
n
2
1+|ξn− ηn|
,
Пример 2.9. Пространство C[a, b] — множество всех непрерывных
действительных функций, определенных на отрезке [a, b],счебышевской
метрикой, которая определяется функцией
ρ(x, y)= max
t∈[a,b]
|x(t) −y(t)|.
36 §2. ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Пример 2.10. Пространство Ck[a, b] —множествоk раз непрерывно
дифференцируемых на отрезке [a, b] функций с расстоянием
k
ρ(x, y)=
i=0
max
t∈[a,b]
|x
(i)
(t) − y
(i)
(t)|.
Пример 2.11. Пространство M [a, b] — множество всех ограниченных
на отрезке [a, b] функций с расстоянием
ρ(x, y)= sup
Пример 2.12. ПространствоL
|x(t) −y(t)|.
t∈[a,b]
[a, b](1 p<∞) — множество непре-
p
рывных на отрезке [a, b] функций с расстоянием
ρ(x, y)=
(Часто полагают, чтоL
[a, b]:=M [a, b].)
∞
Пример 2.13. Пространство W
b
|x(t) −y(t)|pdt
a
l
[a, b] (l ∈ N, 1 p<∞)—множе-
p
1/p
.
ство l раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [a, b] с расстоянием
ρ(x, y)=
Пример 2.14. Пусть (X, ρ
Для любой пары точек z
l
b
k=0
X
=(x1,y1), z2=(x2,y2) декартова произведе-
1
(k)
|x
a
(t) − y
(k)
), (Y, ρY) — два метрических пространства.
(t)|pdt
1/p
.
ния Z = X ×Y положим
ρ
Z(z1,z2
Функция ρ
: Z × Z → [0, ∞) является метрикой на множестве Z и назы-
Z
вается произведением метрик ρ
МП (Z, ρ
) называется произведением пространств (X, ρX) и (Y, ρY).
Z
):=max{ρX(x1,x2),ρY(y1,y2)}.
, ρY, и пишут ρZ= ρX×ρY. Полученное
X
Задачи и упражнения
2.1. Проверить аксиомы метрики в примерах 2.1–2.14 и показать, что
сходимость по метрике в пространствах из примеров 2.2–2.8, 2.14 есть схо-
§2. ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 37
димость покоординатная, а в пространствах C[a, b], Ck[a, b] и M[a, b] —
равномерная сходимость.
2.2. (a) Описать все сходящиеся последовательности в дискретном мет-
рическом пространстве.
(б) Как связаны между собой, относительно отношения включения «⊂», следующие множества дискретного пространства: B(x
B(x
, 1), B(x0, 3), B(x0,
0
1
), B(x0, 2), S(x0,
3
1
), S(x0, 5),гдеx0— произ-
4
1
,
0
2
вольная точка этого пространства? Установить, какие свойства шаров обычной геометрии не выполняются для шаров в дискретном пространстве.
2.3. На множестве R определены функции
),
√
1+x
2
(x − y);
|x − y|
2
1+y
.
2
(а) ρ(x, y)=|sin x −sin y|;(б) ρ(x, y)=cos
(в) ρ(x, y)=arctg|x − y|;(г) ρ(x, y)=
Какие из них являются метриками на R?
2.4. Указать множество в пространстве R, на котором функция
ρ
(x, y)=|tg x − tg y| является метрикой и эквивалентна евклидовой мет-
1
рике (см. пример 2.2).
2.5. Пусть на множестве R
n
(a) ρ
(б) ρ
(x, y)=
p
(x, y)=max{|xi− yi| : i = 1,n};
∞
i=1
n
(в) ˆρ(x, y)=
i=1
1,y2
, ...,yn).
=(y
Доказать, что (а) каждая из функций ρ
вивалентную евклидовой метрике пространства R
= ρ
(x, y);(в)если1 p q,тоρp(x, y) ρq(x, y) для любых то-
∞
чек x, y ∈ R
n
.
Покажите, что функция ρ
ляется метрикой на множестве R
2.6. (а) Изобразить единичный шар с центром в точке (0, 0) в простран-
2
2
ствах R
, l
2
и l
.
p
∞
n
определены функции
1/p
|xi− yi|
1
i
2
p
, 1 p<∞;
|xi− yi|
1+|xi− yi|
, введенная в пункте (а) для p ∈ (0, 1) не яв-
p
n
.
, где x =(x
, ρ∞, ˆρ задает метрику, эк-
p
, ...,xn) и y =
1,x2
n
;(б) lim
p→∞
ρp(x, y)=
38 §2. ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
2
(б) В каждом из пространств R2, l
место таких точек x,чтоρ(x,x
1) x
=(0, 0), x2=(1, 1);
1
2) x
=(0, 0), x2=(
1
3) x
=(1, 3), x2=(−1, 0).
1
1
2
, 1);
)=ρ(x, x2) для следующих случаев
1
2
, l
построить геометрическое
1
∞
(в) Показать, что функция
|y
− y2|, если x1= x2,
ρ
((x1,y1), (x2,y2)) =
1
1
|y
| + |y2| + |x1− x2|, если x1= x2,
1
задает метрику на множестве R
2
, не эквивалентную евклидовой метрике.
2.7. При каких значениях параметра α ∈ R точка x принадлежит ша-
ру B(x
если
,r) в пространстве (X, ρ),если
0
(a) X = R,x=1−α
(б) X = R
2
,x=(1−α, 1+α),x0=(2, 2),r=2.
2.8. Определить расстояние между элементами
(а) x = {(−1)
n
(б) x=
(в) x(t)=
(г) x(t)=4t
1
n +2
2
t
t2− t +1
3
,y(t)=t|t − 2| в пространстве M[0, 3];
2
,x0=3,r=4;
: n ∈ N},y=
: n∈N!,y=
− 1
,y(t)=
1
:n ∈ N!в пространстве m;
n
2
2+n − n
n2− 4
3t
t2− t +1
2
:n ∈N!в пространстве s;
в пространстве C[−4, 5];
(д) x(t)=sint, y(t)=cost в пространствеL
2
(е) x(t)=t
2.9. В пространстве R
(а) A ="(x, y):y =1−sin x,
B =$(x, y):x =
(б) A =$(x, y):y = x
B =$(x, y):(x −3)
+3t, y(t)=t4− 1 в пространстве W
2
найти расстояние между множествами A и B,
3π
#
,
2
√
2y − 5%;
%
2
,
2
+(y −3)2=1%.
π
2
x
π
];
[0,
2
2
2
[1, 2].
3
2.10. (a) Доказать, что если множество ограничено в пространстве
C[a, b], то оно ограничено и в любом пространствеL
[a, b] (1 p<∞).
p
Справедливо ли обратное утверждение?
§2. ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 39
(б)БудутлиэквивалентныминамножествеC[a, b] метрики про-
странствL
[a, b] иL2[a, b]?
1
2.11. (a) Доказать, что если последовательность сходится в прост-
ранcтве C[a, b], то она сходится в любом пространтвеL
[a, b] (1 p<∞).
p
(б) Доказать, что если последовательность сходится в простран-
ствеL
стей (x
[a, b],гдеq>1, то она сходится и вL1[a, b].
q
(в) Пусть c
), xn∈ R,сметрикой
n
— пространство сходящихся к нулю последовательно-
0
ρ(x, y)=sup
Показать, что при любом p 1 каждый элемент пространства l
лежит пространству c
надлежит l
ни при каком p 1.
p
2.12. Пусть (X, ρ
= X × Y . Для любых точек z
ρ
Z(z1,z2
&ρ
Z(z1,z2
Показать, что функции ρ
вивалентны произведению метрик ρ
2.13. Пусть (X × Y, ρ
и (Y, ρ
) (см. пример 2.14), и пусть (x0,y0) — произвольная точка, принад-
Y
|xn− yn|,x=(xn),y=(yn).
n
принад-
,ноэлементx =(1,
0
), (Y,ρY) — произвольные пространства и пусть Z =
X
=(x1,y1) ∈ Z и z2=(x2,y2) ∈ Z положим
1
1
ln2
,...,
1
,...) из c0не при-
lnn
p
)=ρX(x1,x2)+ρY(y1,y2);
)='ρ
и &ρZявляются метриками на множестве Z иэк-
Z
X
2
(x1,x2)+ρ
X
= ρX× ρY(см. пример 2.14).
Z
× ρY) — произведение пространств (X, ρX)
2
(y1,y2).
Y
лежащая множеству X ×Y . Доказать справедливость следующих утверждений:
(а) для любых чисел r
((x0,y0),r) ⊂ BX(x0,r1) ×BY(y0,r2);
B
X×Y
(б) для любого числа r>0 существуют такие числа r
> 0 и r2> 0 существует такое число r>0,что
1
> 0 и r2> 0,
1
что
B
X(x0,r1
) × BY(y0,r2) ⊂ B
((x0,y0),r).
X×Y
2.14. Является ли сходящейся в пространстве (X,ρ) последователь-
ность точек (x
), если (a) X = l2,xn=
n
1
,...,
n
2
n
1
, 0, 0,...;
n
40 §2. ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
(б) X = l3,xn=1,
(в) X = C[0, 1],x
(г) X = C[0, 1],x
(д) X = R,x
2.15. Пусть (X × Y, ρ
и (Y, ρ
). Доказать, что последовательность точек (zn),гдеzn=(xn,yn)
Y
(t)=tn− t2n;
n
(t)=
n
=1+
n
1
2
X
1
n+1
t
n +1
1
+
3!
, 0, 0,...;
n
−
+ ... +
,...,
1
2!
× ρY) — произведение пространств (X, ρX)
для каждого n ∈ N,сходитсяв(X ×Y, ρ
=(x
) ∈X ×Y тогда и только тогда, когда xn→ x0в (X, ρX) и yn→ y
0,y0
в (Y, ρY).
n+2
t
;
n +2
1
?
n!
) к некоторому элементу z0=
X×ρY
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]