Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
§12. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 111
Достаточность.ЕслиA
щее условию теоремы, то система открытых шаров радиуса
принадлежащими множеству A
, представляет собой искомое покрытие
ε
2
— множество, удовлетворяю-
ε
2
ε
с центрами,
2
пространства (X, ρ).
Множество A ⊂ X называется ε-сетью пространства (X, ρ),илиговорят, что множество A — ε-плотно в пространстве (X, ρ), если для любой
точки x ∈ X существует точка a ∈ A, такая, что ρ(x, a) <ε. При этом мно-
жество A называется конечной ε-сетью, если оно состоит из конечного
числа точек.
На основании данного определения теорему 12.1 можно сформулиро-
МП
(X, ρ)
вать в следующем виде:
тогда, когда при любом
ε
-сеть
.
ε>0
вполне ограниченное тогда и только
в пространстве
(X, ρ)
существует конечная
Предложение 12.1. Любое вполне ограниченное МП сепарабельно
и ограничено.
Пусть (X, ρ) — произвольное вполне ограниченное МП. Тогда,
в силу теоремы 12.1, для любого k ∈ N существует конечное подмноже-
ство A
⊂ X,такое,чтоρ(x, Ak) <
k
Положим B = ∪{A
: k ∈ N}. Ясно, что множество B не более чем
k
1
для любого x ∈ X .
k
счетно, причем для каждой точки x ∈ X при любом k ∈ N справедливо
неравенство
ρ(x, B) ρ(x, A
k
) <
1
.
k
Следовательно, ρ(x, B)=0. Отсюда, с учетом произвольного выбора точ-
ки x, получаем равенство X =
Покажем, что пространство (X, ρ) ограничено. Пусть {x
1-сеть пространства (X, ρ) и x
жим d =max{ρ(x
):i = 1,n}. Отсюда для произвольной точки x ∈ X
0,xi
B, что означает сепарабельность (X,ρ).
,...,xn} есть
— фиксированный элемент из (X, ρ).Поло-
0
1
имеем неравенство
) ρ(x, xi)+ρ(xi,x0) < 1+d,
ρ(x, x
0
— центр открытого шара B(xi, 1), который содержит точку x.
где x
i
Непустое множество M ⊂ X называется вполне ограниченным в про-
странстве (X, ρ), если подпространство (M,ρ
) — вполне ограничен-
M
ное МП.
112 §12. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть M — некоторое непустое подмножество пространства (X,ρ)
и ε — произвольно заданное положительное число. Множество A ⊂ X называется ε-сетью для множества M в (X, ρ), если для любой точки x ∈ M
существует a ∈ A,такое,чтоρ(x, a) <ε.
Ясно, что множество M ⊂ X вполне ограничено в пространстве (X, ρ)
тогда и только тогда, когда для него при любом ε>0 в (X, ρ) существует конечная ε-сеть. Следовательно, вполне ограниченное множество есть
множество, к которому можно с любой степенью точности приблизиться
конечными множествами.
Отметим, что если множество A есть конечная ε-сеть множества M ,
то оно не обязано содержаться в M и может даже не иметь с M ни одной
общей точки (см. задачу 12.6(а)).
Примеры вполне ограниченных множеств доставляет
Предложение 12.2. Если (X, ρ) — вполне ограниченное МП, то любое
его подмножество M также вполне ограниченное.
Зафиксируем число ε>0. Согласно теореме 12.1 выберем конечное
множество A = {x
подмножество {x
каждого j =
1,l.Обозначимчерезx
m
1,x2
1
,...,xk},
,...,x
m
ε
-плотное в пространстве (X,ρ).Пусть
2
} множества A такое, что ρ(x
l
,x
1
2
,...,x
точки из множества M ,
l
m
j
,M) <
ε
для
2
подчиненные условиям:
ε
,j=
) <
j
2
} — ε-сеть множества M . Принимая
l
1,l. (12.1)
Покажем, что B = {x
1
ρ(x
,x
,x
m
j
,...,x
2
во внимание определение множества A, для произвольной точки x ∈ M
найдется такое x
Следовательно, полагая x
∈ A,что
i
i
= x
ρ(x, x
для некоторого j l и учитывая неравен-
m
j
ε
. (12.2)
) <
i
2
ства (12.1), (12.2), окончательно получаем
ρ(x, x
) ρ(x, xi)+ρ(xi,x
j
) <ε,
j
т. е. B является конечной ε-сетью для M .
Свойства вполне ограниченных множеств в МП характеризует следующее
§12. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 113
Предложение 12.3. (а) Всякое вполне ограниченное множество является ограниченным множеством.
(б) Если M — вполне ограниченное множество пространства (X, ρ),
то его замыкание
(б) Достаточно заметить, что
стве (M, ρ
M
M также вполне ограниченное в (X, ρ).
ε
-плотное множество в подпростран-
2
) будет ε-плотно в (M,ρM).
Эквивалентное определение вполне ограниченных МП на языке последовательностей дает
Теорема 12.2. МП будет вполне ограниченным тогда и только тогда,
когда каждая последовательность его точек содержит фундаментальную
подпоследовательность.
Пусть (X,ρ) — вполне ограниченное пространство и (x
) — про-
n
извольная последовательность точек в (X, ρ). Зафиксируем произволь-
ε
но ε>0. Тогда в пространстве (X, ρ) существует конечная
,...,an},т.е.
= {a
1
X =
n
i=1
Bai,
Выберем номер i таким, что шар B(a
элементов последовательности (x
ность (x
) последовательности (xn), такая, что x
n
m
). Тогда существует подпоследователь-
n
бого m ∈ N и тем самым удовлетворяет условию d({x
ε
.
2
ε
,
) содержит бесконечно много
i
2
∈ B(ai,
n
m
: m ∈ N}) <ε.
n
m
-сеть A =
2
ε
) для лю-
2
Положим ε =1и из заданной последовательности выделим подпоследовательность
где x
1m
= x
x
для каждого m ∈ N.ТаккакB(ai,
n
m
,...,x1m,...; d({x1m: m ∈ N}) < 1, (12.3)
11,x12
1
) — вполне ограниченное
2
множество (согласно предложнению 12.2), содержащее последовательность
(12.3), то из (12.3) можно выделить подпоследовательность
x
21,x22
,...,x2m,...; d({x2m: m ∈ N}) <
1
.
2
Продолжая этот процесс, для каждого p =1, 2,... получим последователь-
ность
x
p1,xp2
,...,xpm,...; d({xpm: m ∈ N}) <
1
.
p
114 §12. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Составим диагональную последовательность
x
,...,xmm,... . (12.4)
11,x22
Отсюда, в силу диагонального процесса Кантора (см. пункт 0.6), получаем,
что последовательность (12.4) является подпоследовательностью каждой
из построенных последовательностей. Поэтому каково бы ни было ε>0,
выбрав m
m
>m0выполняется неравенство
2
так, чтобы
0
1
<ε, получим, что для любых m1>m0,
m
0
ρ(x
m1m
,x
m2m
1
2
) <
m
1
<ε,
0
т. е. последовательность (12.4) фундаментальна.
Обратно, пусть пространство (X, ρ) не является вполне ограниченным,
т. е. существует такое ε>0, что пространство (X,ρ) не имеет конечной
ε–сети. Пусть x
нию, она не образует ε–сети. Поэтому существует такая точка x
что ρ(x
что ρ(x
1,x2
i,xj
— произвольная точка множества X.Попредположе-
1
2
∈ X,
) ε.Пустьв(X, ρ) уже выбраны такие точки x1,...,xn,
) ε при i = j. Так как множество этих точек не является
ε-сетью для (X, ρ),товмножествеX существует такая точка (обозначим
ее через x
получим последовательность точек x
), что ρ(xi,x
n+1
ρ(x
) ε, i = 1,n. Продолжая этот процесс,
n+1
n,xm
∈ X,таких,что
n
) ε, при n = m.
Ясно, что эта последовательность не содержит фундаментальной подпоследовательности.
Задачи и упражнения
12.1. (a) Пусть
= {As: s ∈ S} и= {Bt: t ∈ T } — открытые
покрытия пространства (X, ρ). Показать, что семейство множеств
∩
= {As∩ Bt:(s, t) ∈ S ×T }
является открытым покрытием пространства (X, ρ).
(б) Пусть (X, ρ), (Y,σ) — два произвольных пространства, и пусть
= {As: s ∈ S},= {Bt: t ∈ T } — открытые покрытия про-
странств (X, ρ) и (Y, σ), соответственно. Показать, что
×
= {As× Bt:(s, t) ∈ S ×T }
§12. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 115
является открытым покрытием произведения пространств (X × Y, ρ × σ).
Семейство множеств
×
называется произведением покрытийи.
12.2. Доказать, что из всякого открытого покрытия сепарабельного МП
можно выделить счетное открытое подпокрытие.
12.3. Доказать, что
(а) все конечные множества в произвольном МП вполне ограничены;
(б) множество ограничено в пространстве R
n
тогда и только тогда,
когда оно вполне ограничено.
12.4. Приведите пример ограниченного, но не вполне ограниченного
пространства.
12.5. Доказать утверждения:
(а) МП (X,ρ) сепарабельно тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует счетная ε-сеть в X;
(б) если в (X, ρ) существует бесконечное несчетное множество непересекающихся шаров фиксированного радиуса ε>0,то(X,ρ) несепара-
бельно.
12.6. Установить справедливость следующих предложений:
(a) если M — множество в пространстве (X, ρ), A —конечнаяε-сеть
множества M в (X, ρ) и M ∩ A = ∅, то существует конечная 2ε-сеть B
множества M , такая, что B ⊂ M ;
(б) если множество в МП имеет для каждого ε>0 конечную ε-сеть,
состоящую только из его точек, то оно вполне ограничено;
(в) если F — замкнутое вполне ограниченное множество в (X, ρ),тодля
n(ε)
любого ε>0 имеет место представление F =
замкнутые множества диаметра d(F
) <ε,содержащиесявF .
i
Fi,гдеFi— непустые
i=1
12.7. Множество
Q
= {x ∈ l2: x =(xn), |xn|
∞
называется гильбертовым кирпичом. Доказать, что Q
ченное множество в пространстве l
.
2
1
,n∈ N}
n
2
— вполне ограни-
∞
12.8. Пусть (X, ρ) — дискретное пространство. Доказать, что множество M ⊂ X вполне ограничено в (X, ρ) тогда и только тогда, когда M —
конечно.
116 §12. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
12.9. Пусть (X, ρ) — вполне ограниченное МП. Доказать, что тогда про-
странство (
,ρH) замкнутых ограниченных подмножеств (см. задачу 3.15)
пространства (X, ρ) также вполне ограничено.
12.10. Доказать, что МП, изометричное вполне ограниченному пространству, является вполне ограниченным.
12.11. Является ли МП, гомеоморфное вполне ограниченному пространству, вполне ограниченным?
12.12. Доказать, что множество {x ∈ C[0, 2π]:|x(t)| 1} не является
вполне ограниченным в пространстве C [0, 2π].
12.13. Доказать, что произведение пространств вполне ограничено тогда и только тогда, когда каждое из них вполне ограничено.
12.14. Доказать, что если (X, ρ) — вполне ограниченное пространство,
то для каждой изометрии f :(X,ρ) → (X, ρ) образ f (X) всюду плотен
в (X, ρ).
12.15. Пусть (X, ρ) — вполне ограниченное пространство и отображение f :(X, ρ) → (X, ρ) удовлетворяет условию ρ(x, y) ρ(f (x),f(y
))
при всех x, y ∈ X. Доказать, что f —изометрия.
12.16. (а) Пусть (X,ρ), (Y,σ) — вполне ограниченные пространства
и отображение f :(X, ρ) →(Y, σ) непрерывно. Доказать, что тогда (X, ˜ρ) —
вполне ограниченное пространство, где
˜ρ(x, y)=ρ(x, y)+σ(f (x),f(y)),x,y∈ X.
(б) Пусть (X, ρ) — вполне ограниченное пространство и отображе-
ние f ∈ C(X, X). Доказать, что пространство (X, ˜ρ),где ˜ρ —метрика,
определенная в задаче 7.9, вполне ограничено.
§13. Компактные пространства
Почти бессмысленно говорить об открытых
пространствах или о замкнутых пространствах,
имеет смысл говорить о компактных метрических
пространствах.
У. Рудин
МП называется компактным, если оно удовлетворяет условию Боре-
ля – Лебега: всякое его открытое покрытие содержит конечное подпокры-
тие, т. е. если {U
ства (X, ρ), то существует конечный набор индексов {s
такой, что X = ∪{U
Лемма 13.1. Если МП полно и вполне ограничено, то оно компактно.
Пусть МП (X, ρ) полно и вполне ограничено. Допустим, что
= {U
: s ∈ S} — произвольное открытое покрытие пространства (X, ρ),
s
никакое конечное подсемейство которого не покрывает (X, ρ).Дляположительного числа
(X, ρ) вполне ограничено, конечная
но, X = ∪{B(x
ров B(x
Для числа
i =
,
i
2
2
1,m}. Среди этих шаров, имеющих непустое пересечение с B
дется по крайней мере один шар B
семейством множеств из
в противном случае нашлось бы конечное подсемейство семейства
крывающее B
: s ∈ S} — произвольное открытое покрытие простран-
s
: k = 1,n}.
s
k
1
,гдеn ∈ N, существует, в силу того, что МП
n−1
2
1
,
): i = 1,k}.ОбозначимчерезB
i
n−1
2
1
), который нельзя покрыть конечным семейством из.
n−1
1
существует конечное покрытие (X, ρ) шарами {B(x
n
. Действительно, поскольку
B
n−1
.
n−1
1
-сеть {x1,...,xk}.Следователь-
n−1
2
, который нельзя покрыть конечным
n
m
⊂
B(x
i=1
1
1
,
),
i
n
2
,...,sn}⊂S,
1,s2
тот из ша-
n−1
n−1
1
,
i
2
,най-
,по-
=
1
):
n
118 §13. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Обозначим через xnцентр открытого шара Bn, n =1, 2,....Таккак
∩ B
B
n
= ∅ для каждого n =2, 3, ...,то
n−1
ρ(x
n−1,xn
)
2
1
n−1
1
+
2
1
<
n
2
n−2
.
Поэтому, если n p q,то
ρ(x
Это значит, что (x
) ρ(xp,x
p,xq
1
<
p−1
2
) — фундаментальная последовательность в (X, ρ) и,
n
следовательно, в силу полноты (X, ρ) сходится к точке x
Пусть s
∈ S — индекс, при котором x0∈ U
0
крытое множество, то существует число r>0,такое,чтоB(x
Из определения точки x
следует, что найдется номер n, для которого
0
ρ(x
n,x0
)+...+ ρ(x
p+1
+ ...+
r
) <
2
) <
q−1,xq
1
q−2
2
1
,
n
2
1
<
<
.
n−2
2
∈ X.
0
.ТаккакU
s
0
r
.
2
s
0
,r) ⊂ U
0
—от-
s
Отсюда для указанного n получаем соотношение
B
⊂ B(x0,r) ⊂ U
n
что противоречит определению шара B
n
.
,
s
0
Лемма 13.2. Если (X,ρ) — компактное МП, то любая последова-
тельность точек из (X, ρ) содержит сходящуюся в нем подпоследовательность.
.
0
Пусть (x
Покажем, что ∩{F
∈ N} = ∅. Тогда, полагая X\F
) — произвольная последовательность в (X, ρ).Положим
n
F
= {xn,x
n
: n ∈ N} = ∅. Предположим противное, т. е. ∩{Fn: n ∈
n
,...},n=1, 2, 3,... .
n+1
= Un, получим, что семейство {Un:
n
n ∈ N} является открытым покрытием пространства (X, ρ), которое, в силу компактности (X, ρ), содержит его конечное подпокрытие {U
=
1,k}. Но это значит, что ∩{F
как если n>max {n
ся в F
для каждого i = 1,k. Таким образом, ∩{Fn: n ∈ N} содержит
n
i
: i = 1,k}, то непустое множество Fnсодержит-
i
: i = 1,k} = ∅, что невозможно, так
n
i
n
: i =
i
§13. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 119
хотя бы одну точку x0,т.е.x0является точкой прикосновения каждой последовательности (x
шаров B(x
,
0
n,xn+1
1
) и в каждом шаре выберем входящую в него точку x
k
чтобы выполнялось условие n
тате получим подпоследовательность (x
как ρ(x
,x0) <εпри любом k
n
k
тельность сходится к точке x
,...),n =1, 2,.... Возьмем последовательность
так,
n
k
k<nk+1
.
0
для каждого k =1, 2,....Врезуль-
) последовательности (xn).Так
n
k
1
, то заключаем, что эта подпоследова-
ε
Из доказанных лемм 13.1 и 13.2 следует критерий компактности МП
на языке последовательностей, а именно: справедлива
Теорема 13.1. МП (X, ρ) компактно тогда и только тогда, когда каж-
дая последовательность точек из (X, ρ) содержит сходящуюся в нем подпоследовательность (или другими словами: МП компактно тогда и только
тогда, когда оно полно и вполне ограничено).
Непосредственно из предложения 12.1 и теоремы 13.1 следует
Предложение 13.1. Компактное МП сепарабельно и ограничено.
Теорема 13.2. Если f — непрерывное отображение компактного про-
странства (X, ρ) на пространство (Y, σ),то(Y,σ) — компактное пространство.
Рассмотрим произвольную последовательность точек (y
странства (Y,σ).Длякаждойточкиy
образов x
следовательность (x
что x
∈ X.Таккак(X, ρ) компактно,то, в силу леммы 13.2, по-
n
→ x0∈ X. Отсюда, с учетом того, что f ∈ C(X, Y ), имеем
n
k
f(x
) содержит подпоследовательность (x
n
n
)=y
k
→ y0= f(x0) ∈ f(X)=Y, k →∞.
n
k
Следовательно, подпоследовательность (y
дится к точке y
∈ Y . Значит, согласно теореме 13.1, пространство (Y,σ)
0
∈ Y возьмем один из его про-
n
) последовательности (yn) схо-
n
k
) про-
n
),такую,
n
k
компактно.
Понятия непрерывности и равномерной непрерывности для отображения f :(X,ρ) → (Y, σ), в случае, когда (X, ρ) — компактное пространство,
равносильны (см. замечание 7.1), а именно: имеет место
Теорема 13.3. Пусть f :(X, ρ) → (Y, σ) — непрерывное отображение
компактного МП (X, ρ) в произвольное МП (Y,σ), тогда оно равномерно
непрерывно на X.
120 §13. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть f :(X, ρ) → (Y,σ) не является равномерно непрерывным,
т. е. существует такое ε>0,чтодлялюбогоδ>0 найдутся точки x, x
∈ X,
для которых выполняются неравенства
) <δ, σ(f(x),f(x)) ε.
ρ(x, x
Рассмотрим числовую последовательность (δ
идлякаждогоδ
что ρ(x
,x
) <δn, σ(f (xn),f(x
n
n
из последовательности (x
что x
→ x0∈ X . Тогда согласно неравенству треугольника имеем
n
k
ρ(x
Таким образом, x
Следовательно, σ(f(x
ству σ(f (x
),f(x
n
выберем соответствующие точки xn,x
n
), выделим подпоследовательность (x
n
,x
) ρ(x0,x
0
n
k
→ x0и в силу непрерывности f получаем, что
n
k
f(x
) → f (x0),f(x
n
k
),f(x
n
k
)) ε, справедливому при любом n.
n
)) ε. В силу компактности (X,ρ)
n
)+ρ(x
n
k
)) → 0, а это противоречит неравен-
n
k
,x
n
k
) → f (x0).
n
k
), (δn) > 0, δn→ 0,
n
) → 0,k→∞.
n
k
n
∈ X,такие,
) такую,
n
k
Задачи и упражнения
13.1. Пусть (X, ρ) — компактное пространство и M —множествовсех
изометричных отображений пространства (X, ρ) всебясметрикой ˆρ(x, y)=
=max{ρ(x(t),y(t)) : t ∈X }. Доказать, что (M, ˆρ) — компактное простран-
ство.
13.2. Доказать, что сепарабельное МП компактно тогда и только тогда,
когда любая последовательность непустых замкнутых множеств, последовательно вложенных друг в друга, имеет непустое пересечение.
13.3. Доказать, что произведение двух пространств компактно тогда
и только тогда, когда каждое из них компактно.
13.4. Пусть (X, ρ) — МП, в котором каждое бесконечное подмножество
имеет предельную точку. Доказать, что пространство (X, ρ) компактно.
13.5. Установить справедливость следующих утверждений;
(а) если пространство (X, ρ) компактно, то существуют такие точ-
ки a, b ∈ X,чтоρ(a, b)=d(X);
(б) если для всякой пары непересекающихся замкнутых множеств A
и B пространства (X, ρ) выполняется неравенство ρ(A, B)
> 0, то про-
странство (X, ρ) компактно.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]