Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
§3. Структура подмножеств
метрического пространства
Структура вещи — совсем не что-то такое,
что мы могли бы «изобрести». Мы можем лишь
выводить ее на свет терпеливо, смиренно; знакомясь с ней, ее раскрывать.
А. Гротендик
Точка x
ства A ⊂ X, если существует такое число r>0,чтоB(x
пространства (X, ρ) называется внутренней точкой множе-
0
,r) ⊂ A.
0
Множество A ⊂ X называется открытым в пространстве (X, ρ),если
каждая точка из A является внутренней. Таким образом, то, что A —открытое множество пространства (X, ρ), означает, что с каждой точкой x
связано положительное число r, для которого из условий ρ(x
∈ A
0
,x) <r,
0
x ∈ X , следует включение x ∈ A.
Пустое множество ∅ (вообще не содержит точек и поэтому может
считаться удовлетворяющим определению открытого множества) и само
множество X являются открытыми множествами в пространстве (X, ρ).
Свойства открытых множеств в МП описывает
Теорема 3.1. В произвольном МП справедливы следующие утверждения:
(а) любой открытый шар является открытым множеством;
(б) объединение любого семейства открытых множеств откры-
то;
(в) пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
Открытой окрестностью,илипростоокрестностью, непустого мно-
жества A ⊂ X (точки x
ство в пространстве (X, ρ), содержащее множество A (точку x
что r-шар B(A, r) множества A (открытый шар B(x
ностью множества A (точки x
∈ X) будем называть любое открытое множе-
0
,r))являетсяокрест-
).
0
0
). Очевидно,
0
42 §3. СТРУКТУРА ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
З а м е ч а н и е 3.1. Из определения окрестности точки и утверждения
(а) теоремы 3.1 получаем, что x
— внутренняя точка множества A,если
0
для нее существует окрестность, содержащаяся в A.
Теорема 3.2. Для любого непустого множества A из пространства
(X, ρ) и любого числа r>0 множество
(A)={x ∈X : ρ(x, A) <r}
V
r
является окрестностью A.
Непосредственно из определения множества V
ние A ⊂ V
извольная точка множества V
где r
(A). Покажем, что множество Vr(A) открыто. Пусть x0— про-
r
= r − ρ(x0,A), и произвольную точку y ∈ B(x0,r0). Используя
0
(A). Рассмотрим открытый шар B(x0,r0),
r
(A) имеем включе-
r
неравенство
|ρ(x
,A) − ρ(y, A)| ρ(x0,y)
0
из предложения 1.3 и определение числа r
, получаем, что
0
ρ(y, A) ρ(x
Отсюда заключаем, что B(x
0,r0
,y)+ρ(x0,A) <r.
0
) ⊂ Vr(A),т.е.множествоVr(A) открыто.
Внутренняя точка множества X \ A называется внешней точкой мно-
жества A.Ясно,чтоточкаx
в (X, ρ) тогда и только тогда, когда ρ(x
Точка x
пространства (X, ρ) называется точкой прикосновения мно-
0
жества A ⊂ X ,еслиρ(x
∈ X является внешней для множества A
0
,A)=0. Совокупность всех точек прикосно-
0
,A) > 0.
0
вения множества A ⊂ X в пространстве (X, ρ) называется замыканием
множества A и обозначается символом
A,т.е.
A := {x ∈X : ρ(x, A)=0}.
Так как ρ(x, A)=0для любой точки x ∈ A, то заключаем, что A ⊂
A,
т. е. каждая точка множества A является для него точкой прикосновения.
Точка прикосновения множества A может не принадлежать A.Например, если A =(0, 1) — интервал числовой прямой R,тоточки0 и 1 являются
точками прикосновения для A (в пространстве R), причем они не принадлежат ему.
Теорема 3.3 . Пусть x
x
/∈ A. Тогда пересечение V ∩ A множества A с любой окрестностью V
0
точки x
есть бесконечное множество.
0
— точка прикосновения множества A и пусть
0
§3. СТРУКТУРА ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 43
Предположим противное, и пусть V ∩ A = {x1,x2, ...,xn} —конечное множество. По предположению, число
=min{ρ(x0,xk):k = 1,n} > 0.
r
0
Тогда, в силу открытости V, найдется такое число 0 <r<r
,r) ⊂ V и B(x0,r) ∩ A = ∅,т.е.ρ(x0,A) > 0, а это противоречит
B(x
0
,чтошар
0
условию теоремы.
Непосредственно из определения замыкания множества и теоремы 3.3
следует
Предложение 3.1. Имеют место следующие утверждения:
(а)(x
(б)(x
(б) Для каждого n ∈ N существует точка x
что ρ(x
∈ A) ⇐⇒ (∀r>0,B(x0,r) ∩A = ∅);
0
∈ A) ⇐⇒ (∃{xn: n ∈ N}⊂A : xn→ x0при n →∞).
0
1
) <
n,x0
. По произвольно заданному числу ε>0 выберем n
n
∈ A такая,
n
так, чтобы ε<1.Тогдаρ(xn,x0) <εпри всех n>n0,т.е.xn→ x
при n →∞.
Предложение 3.2. Для любой точки x
∈ X илюбогомножестваA
0
из пространства (X, ρ) справедливо равенство
,A)=ρ(x0, A).
ρ(x
0
0
0
Непосредственно из определения расстояния от точки x
ства A и включения A ⊂
A имеем неравенство
ρ(x
, A) ρ(x0,A). (3.1)
0
С другой стороны, для любого ε>0 существует такая
ε
.
2
Учитывая, что
такая точка a
, aε) <ρ(x0, A)+
ρ(x
0
aεявляется точкой прикосновения множества A,тонайдется
∈ A,чтоρ(aε, aε) <
ε
ρ(x
) ρ(x0, aε)+ρ(aε,aε) <ρ(x0, A)+ε.
0,aε
ε
.Следовательно,
2
aε∈ A,что
до множе-
0
Отсюда, с учетом произвольного выбора числа ε>0, заключаем, что
,A) ρ(x0, A). (3.2)
ρ(x
0
Из полученных неравенств (3.1) и (3.2) следует справедливость нашего
предложения.
44 §3. СТРУКТУРА ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Следствие 3.1. Пусть A, B — произвольные множества из простран-
ства (X, ρ). Тогда справедливы равенства
ρ(A, B)=ρ(A,
B)=ρ(A, B)=ρ(A, B).
Непосредственно из предложений 1.2 и 3.2 имеем
ρ(A, B)= inf
x∈A
ρ(x, B)= inf
ρ(x, B)=ρ(A, B),
x∈A
и первое равенство доказано.
Аналогично устанавливается справедливость остальных равенств.
Точка x
ства A ⊂ X ,еслиx
любого числа r>0 множество B(x
всех предельных точек множества A называется производным множеством
(или производной) множества A и обозначается A
пространства (X,ρ) называется предельной точкой множе-
0
∈ A \{x0} (т.е. согласно предложению 3.1.(а), для
0
,r) ∩ (A \{x0}) = ∅). Совокупность
0
.
Из определения предельной точки и предложения 3.1. (б) следует следующий критерий принадлежности точки производному множеству: точка x
гда, когда существует последовательность точек (x
что x
→ x0,гдеxn∈ A \{x0} для всех n ∈ N и xn= xmдля всех n = m.
n
∈ A= ∅ тогда и только то-
0
) множества A такая,
n
Каждая предельная точка множества является его точкой прикосновения. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. При этом справедливо
Предложение 3.3. Для любого множества A из МП (X, ρ) имеет
место равенство
A = A ∪A.
Если x
окрестность точки x
Следовательно,
как A ⊂
A и A⊂ A) получаем справедливость требуемого равенства.
Точка x
жества A ⊂ X, если существует открытый шар B(x
что B(x
0,r0
∈ A,толибоx0∈ A,либоx0/∈ A, и тогда произвольная
0
содержит точку из A, отличную от x0,т.е.x0∈ A.
0
A ⊂ A ∪ A. Отсюда и из включения A ∪ A⊂ A (так
пространства (X, ρ) называется изолированной точкой мно-
0
),такой,
0,r0
) ∩ A = {x0}. Множество, состоящее из изолированных то-
чек, называется дискретным.
Ясно, что совокупность всех изолированных точек множества A сов-
падает с множеством A \A
Очевидно, что если x
.
— изолированная точка множества A,тоx0∈ A.
0
Следовательно, с учетом определения предельной точки, заключаем, что
§3. СТРУКТУРА ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 45
замыкание A множества A состоит из точек трех типов: изолированные
точки множества A; предельные точки множества A, принадлежащие A;
предельные точки множества A, не принадлежащие A.
Множество A ⊂ X называется замкнутым в пространстве (X, ρ),если A =
что A
A. Например, из определения производной множества A имеем,
— замкнутое множество.
Замкнутое множество в МП характеризует
Теорема 3.4. Множество A ⊂ X замкнуто в пространстве (X,ρ)
тогда и только тогда, когда его дополнение X \ A открыто.
Пусть A — замкнутое множество и x
Тогда из соотношения x
ся такое ε>0,чтоB(x
/∈ A, согласно предложению 3.1.(а), найдет-
0
,ε) ∩ A = ∅,т.е.ρ(x0,A)=ε>0.По-
0
кажем справедливость включения B(x
ное, т. е. существует элемент y ∈ B (x
ство ρ (x
Следовательно, B(x
,y) ρ (x0,A)=ε, которое противоречит тому, что y ∈ B(x0,ε).
0
,ε) ⊂ X \ A,азначит,множествоX \ A —открыто.
0
— произвольная точка из X \A.
0
,ε) ⊂ X \ A. Допустим против-
0
,ε) ∩ A. Тогда имеем неравен-
0
Обратно, пусть X \ A — открытое множество. Тогда для любой точ-
∈ X \ A существует такое число ε>0,чтоB(x0,ε) ⊂ X \ A.
ки x
0
Следовательно, для каждой точки y ∈ A имеем неравенство ρ(x
т. е. ρ(x
т. е. имеем включение
равенство A =
,A) ε,значит,x0/∈ A. Таким образом, если x0∈ A,тоx0/∈ X \A,
0
A ⊂ A. Отсюда, учитывая то, что A ⊂ A, получаем
A.
,y) ε,
0
Непосредственно из теоремы 3.4 получаем, что пустое множество ∅
и само множество X являются замкнутыми в (X, ρ).
Следствие 3.2. Пересечение любого семейства и объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
Точка x
пространства (X,ρ) называется граничной точкой множе-
0
ства A ⊂ X, если она является точкой прикосновения множеств A и X \A.
Совокупность всех граничных точек множества A называют границей мно-
жества A иобозначаютFr A,т.е.Fr A :=
A ∩ (X \ A).
Из этого определения следует, что характеристическое свойство граничной точки множества состоит в том, что в любой ее окрестности имеются как точки этого множества, так и точки, ему не принадлежащие, а с учетом предложения 3.1 имеем
Предложение 3.4. Условие x
ствует последовательность (x
последовательность (˜x
) из A,сходящаясякx0.
n
∈ Fr A эквивалентно тому, что суще-
0
) из X \A,сходящаясякx0, и существует
n
46 §3. СТРУКТУРА ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Пусть выполнено условие x0∈ Fr A. Тогда для любого r>0
,r) ∩A = ∅ и B(x0,r) ∩(X \ A) = ∅.Положимr = rn,гдеr0→ 0.
B(x
0
В результате получим последовательности (x
такие, что x
Обратно, если x
→ x0и ˜xn→ x0.
n
→ x0,xn∈ A,иxn→ x0, xn∈ X \A, то из определе-
n
),xn∈ A,и(˜xn),xn∈ X \A,
n
ния предела последовательности следует, что любой открытый шар B(x
содержит как точку x
,такиточкуxnпри достаточно большом n = n(r).
n
Отсюда и из определения Fr A следует, что x ∈ Fr A.
Задачи и упражнения
3.1. (а) Пусть M — произвольное непустое подмножество МП (X, ρ),
для которого Int M = ∅. Доказать, что для любой точки x
ствует такое число ε>0, что справедливо включение
(б) Доказать, что множество A = {x ∈ C [a, b]:|x(t)|<x
(t) — фиксированная функция из C[a, b], является открытым множе-
где x
0
∈ Int M суще-
0
B(x0,ε) ⊂ M .
(t),t∈[a, b]},
0
ством в пространстве C[a, b].
(в) Пусть A —открытоемножествов(X, ρ) и {x
зать, что множество A \{x
,...,xn} также открыто.
1
,...,xn}⊂X.Пока-
1
3.2. Пусть A — произвольное непустое множество в пространстве (X, ρ)
ипусть0 <r
. Показать, что множества
1<r2
0
,r)
{x ∈ X : ρ(x, A) >r
}, {x ∈ X : r1<ρ(x, A) <r2}
1
открыты, а множества
{x ∈ X : ρ(x, A) r
{x ∈ X : r
ρ(x, A) r2}, {x ∈ X : ρ(x, A)=r1}
1
}, {x ∈ X : ρ(x, A) r2},
1
замкнуты в пространстве (X, ρ).
3.3. Доказать, что (а) любое подмножество дискретного пространства
(см. пример 2.1) является одновременно открытым и замкнутым; (б) в ультраметрическом пространстве любой открытый (замкнутый) шар является
одновременно открытым и замкнутым множеством, причем выполнено равенство B(x
,r)=B(x, r) для любой точки x ∈ B(x0,r).
0
3.4. Доказать, что конечное множество открыто в МП тогда и только
тогда, когда каждая его точка является изолированной.
3.5. На множестве X заданы две метрики ρ
янная c>0, такая, что ρ
(x, y) cρ2(x, y) для любых x, y ∈ X. Доказать,
1
, ρ2и существует посто-
1
§3. СТРУКТУРА ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 47
что любое множество, открытое в пространстве (X, ρ1), будет открытым
и в пространстве (X, ρ
3.6. Доказать, что если ρ
).
2
и ρ2—метрикинамножествеX, удовлетво-
1
ряющие неравенствам (∗) из задачи 1.15, то совокупности всех замкнутых
множеств пространств (X, ρ
3.7. (а) Пусть в пространстве R
) и (X, ρ2) совпадают.
1
2
заданы два множества
!
A =(x, y): y =sin
1
, 0 <x
x
1
,B= {(0,y):−1 y 1}.
π
Доказать, что A
= A ∪ B.
Замыкание множества A носит специальное название — польский от-
резок.
(б) Найти множества A
(в) Пусть (x
) — последовательность в (X, ρ) и xn→ x.Прикаком
n
условии точка x есть предельная точка множества значений {x
последовательности (x
и A в пространстве R,еслиA = {6}∪(3, 5].
)?
n
1,x2
,...}
(г) Построить пример множества в МП, состоящего из изолированных
точек и имеющего непустое множество предельных точек.
3.8. Доказать следующее утверждение: если x
множества A, то любая окрестность точки x
содержит бесконечно много
0
—предельнаяточка
0
точек множества A.
3.9. Доказать следующие свойства диаметра:
(а) A ⊂ B ⇒ d(A) d(B);
(б) d(A)=d(
A);
(в) если A ∩B = ∅,тоd(A ∪ B) d(A)+d(B).
3.10. Пусть F
в пространстве R
такие, что ρ(x
3.11. Указать в пространстве R
, F2— замкнутые непустые ограниченные множества
1
n
. Доказать, что существуют точки x1∈ F1и x2∈ F2,
)=ρ(F1,F2).
1,x2
2
(или в пространстве R) два непустых
замкнутых непересекающихся множества A и B,таких,чтоρ(A, B)=1,
но не существует таких точек a ∈ A и b ∈ B,чтоρ(a, b)=1
3.12. Доказать, что если F — ограниченное замкнутое непустое мно-
жество в пространстве R
выполняется равенство ρ(x
n
,тосуществуютточкиx1, x2∈ F ,такие,что
)=d(F).
1,x2
48 §3. СТРУКТУРА ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
3.13. Указать в пространстве C[a, b] ограниченное замкнутое непу-
стое множество F , для которого не существует точек x
что ρ(x
1,x2
)=d(F ).
, x2∈ F ,таких,
1
3.14. Доказать, что в МП для любых непустых непересекающихся замкнутых множеств существуют непересекающиеся окрестности.
3.15. Пусть
— семейство всех непустых замкнутых ограниченных
подмножеств пространства (X, ρ). Доказать, что функция
ρ
H(F1,F2
является метрикой на
)=max{ sup
x∈F
. Построенное МП (,ρH) называется простран-
ρ(x, F2), sup
1
ρ(F1,x)},F1,F2∈,
x∈F
2
ством замкнутых ограниченных подмножеств пространства (X, ρ),а
ρ
— метрикой Хаусдорфа.
H
3.16. Доказать следующие утверждения:
(а) если E — замкнутое ограниченное множество в пространстве R
и y =supE,тоy ∈ E;
(б) всякое непустое открытое множество в пространстве R представ-
ляет собой объединение не более чем счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
3.17. Пусть (X, ρ
), (Y,ρY) — произвольные МП и (Z, ρZ) — про-
X
изведение этих пространств (см. пример 2.14). Доказать, что (а) множество W ⊂ Z открыто в пространстве (Z,ρ
гда для любой точки (x
чек x
(б) если x
∈ X и y0∈ Y , соответственно, такие, что (x0,y0) ∈ U × V ⊂ W ;
0
— предельная точка множества A ⊂ X , y0—предельнаяточка
0
множества B ⊂ Y ,то(x
) ∈ W существуют окрестности U и V то-
0,y0
) — предельная точка множества A×B ⊂ X×Y ;
0,y0
) тогда и только тогда, ко-
Z
(в) обратное утверждение к предыдущему пункту неверно.
3.18. Доказать, что если (X, ρ) — произвольное МП, то диагональ
:= {(x, y) ∈ X ×X : x = y}
Δ
X
множества X × X = X
2
замкнута в пространстве (X × X, ρ × ρ).
3.19. Пространство (X, ρ) называется связным, если из всех множеств
пространства (X, ρ) только пустое множество ∅ исамоX одновременно
открыты и замкнуты. В противном случае оно называется несвязным.
Доказать, что пространство (X, ρ) связно тогда и только тогда, когда
не существует двух открытых (или замкнутых) непустых множеств A и B
в пространстве (X, ρ),таких,чтоX = A ∪ B и A ∩ B = ∅.
§4. Операторы взятия внутренности,
замыкания и граничный оператор
Определение по существу сводится к тому,
что вместо какой-то комбинации старых символов используется один новый символ.
Г. Штейнгауз
Пусть A — произвольное множество в пространстве (X, ρ). Внутрен-
ностью (или открытой частью) множества A в пространстве (X, ρ) на-
зывается совокупность всех внутренних точек множества A;этомножество
обозначается Int A или, подробнее, Int
имеем
Int A := ∪{U —открыто: U ⊂ A}.
Так как объединение любого семейства открытых множеств открыто (см. теорему 3.1(б)), то получаем, что внутренность множества представляет собой
наибольшее открытое множество, содержащееся в A. Очевидно, что множество A открыто тогда и только тогда, когда A =IntA.
Отображение A → Int A, в силу которого каждому множеству A ⊂ X
сопоставляется его внутренность Int A в пространстве (X, ρ), называется
оператором взятия внутренности.
A. Отсюда, с учетом замечания 3.1,
X
Теорема 4.1. Оператор Int обладает следующими свойствами:
(а)IntX = X;
(б)IntA ⊂ A;
(в)(A ⊂ B) ⇒ (Int A ⊂ Int B) — свойство монотонности;
(г)Int(A ∩B)=IntA ∩ IntB;
(д) Int(Int A)=IntA.
(г) Из очевидных включений
Int
A ∩ Int B ⊂ A, Int A ∩ Int B ⊂ B,
50 §4. ОПЕРАТОРЫ ВЗЯТИЯ ВНУТРЕННОСТИ, ЗАМЫКАНИЯ И ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР
имеем
Int A ∩ Int B ⊂ A ∩B.
Так как левая часть последнего соотношения — открытое множество, то
Int A ∩ Int B ⊂ Int(A ∩ B). (4.1)
С другой стороны, из свойства монотонности оператора Int получаем
Int(A ∩ B) ⊂ Int A, Int(A ∩ B) ⊂ Int B.
Отсюда следует
Int(A ∩ B) ⊂ Int A ∩Int B. (4.2)
Из включений (4.1) и (4.2) получаем требуемое равенство.
Отображение A →
его замыкание
A в пространстве (X, ρ), называется оператором замыкания.
A, сопоставляющее каждому множеству A ⊂ X
Согласно теореме 3.4 и определении множества Int A имеем
A = ∩{F ⊂ X : F = F,F ⊃ A}.
Так как пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто (следствие 3.2), то получаем, что замыкание
A множества A является
наименьшим замкнутым множеством, содержащим A.
Теорема 4.2. Оператор замыкания обладает следующими свойствами:
(а)
∅ = ∅;
(б) A ⊂
(в)(A ⊂ B) ⇒ (
(г)
(д)
A;
A ⊂ B) — свойство монотонности;
A ∪ B = A ∪ B.
(A)=A;
(г) Из очевидных включений
A ⊂ A ∪B, B ⊂ A ∪ B
и монотонности оператора замыкания
A ⊂ A ∪B, B ⊂ A ∪ B
получаем
A ∪ B ⊂ A ∪ B. (4.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]