Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
0.2. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ 11
значениями в Y ) и пишут f : X → Y или Xf−→ Y , а отношение Γ ⊂ X ×Y
(обозначаемое более подробно Γ
Γ
:= {(x, y) ∈ X ×Y :(x ∈ X ) ∧ (y = f(x))}.
f
)—графиком отображения f ,т.е.
f
Область определения D(Γ
ния отображения f (обозначается D(f )), а область значений Im(Γ
шения Γ
— множеством значений отображения f (обозначается Im(f)).
f
) отношения Γfназывается областью определе-
f
) отно-
f
В тех случаях, когда в качестве области определения и множества значений отображения выступают множества определенной природы, вместо
термина «отображение» используют другие (например, если отображение
определено на некотором числовом множестве и действует в числовое множество, то вместо «отображение» обычно используют термин «функция»).
Рассмотрим произвольное отображение f : X → Y .Пустьx ∈ X и y —
тот единственный элемент из Y , при котором (x, y) ∈ Γ
. Тогда элемент y
f
называется значением отображения f вточкеx или образом элемента x
при отображении f и обозначается y = f (x), а элемент x — прообразом
элемента y при отображении f. В этом случае говорят, что f отобража-
ет (или преобразует) x в y, и пишут f : x → y,илиx →
f
y, или более
подробно f : X x → f (x) ∈ Y .
Образом множества A ⊂ X при отображении f : X → Y называется
множество
f(A):={y ∈ Y : ∃x (x ∈ A) ∧ (y = f (x))} = {f(x):x ∈ A}.
Отображение f : X → Y называется сюръективным (или отображением на), если f(X )=Y ; инъективным,еслиизf(x
= x2; биективным, если оно сюръективно и инъективно.
что x
1
Рассмотрим биективное отображение f : X → Y .Тогдаможноопределить отображение f
ложим f
−1
(y)=x,т.е.элементуy ∈ Y ставится в соответствие тот
−1
следующим образом: если f (x)=y,топо-
)=f(x2) следует,
1
элемент x ∈ X , образом которого при отображении f является элемент y. В силу сюръективности f такой элемент x ∈ X найдется, а ввиду
инъективности f он единственный. Следовательно, определено отображе-
−1
ние f
: Y → X , называемое обратным отображением кисходномуотоб-
ражению f .
Непосредственно из построения обратного отображения f
что оно является биективным. Кроме того, обратное к нему отображение
−1)−1
(f
: X → Y совпадает с отображением f : X → Y ,т.е.(f−1)−1= f.
−1
вытекает,
12 §0. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Прообразом множества B ⊂ Y при отображении f : X → Y называ-
ется множество
−1
f
(B):={x ∈ X : ∃y (y ∈B) ∧ (y = f(x))} = {x ∈ X : f (x) ∈ B},
или в другой записи
−1
(B):=prX(Γf∩ (X ×B)).
f
Из последнего равенства и определения образа множества A ⊂ X
при отображении f : X → Y имеем
f(A)={y ∈ Y : A ∩ f
Пусть f : X → Y и A
множеств X и Y , соответственно. Тогда справедливы следующие формулы:
(а) f (A
(а
(б) f (A
(б
(в) f (A
(г) (A
(д) f
(д
(е) f
(е
(ж) f
(з) (B
(и) A ⊂ f
(к) f (f
A
)=f(A1)f(A2);
1
2
A
i∈I
1
A
i∈I
\ A2) ⊂ f (A1) \f (A2);
1
⊂ A2) ⇒ (f(A1) ⊂ f (A2));
1
(B
1
i∈I
(B
1
i∈I
=
i
i∈I
) ⊂ f (A1)f(A2);
A
2
⊂
i
i∈I
)= f−1(B1)f−1(B2);
B
2
B
=
i
)=f−1(B1)f−1(B2);
B
2
B
=
i
(B1\ B2)=f−1(B1) \f−1(B2);
⊂ B2) ⇒ (f−1(B1) ⊂ f−1(B2));
1
−1
(f(A));
−1
(B)) = Bf(X ) ⊂ B;
) f
) f
) f
) f
−1
−1
−1
−1
−1
(л) f (A)B = f(Af
(м) (f (A) ⊂ B) ⇔ (A ⊂ f
−1
({y}) = ∅} = prY(Γf∩(A ×Y )).
, Bi(i ∈ I) — произвольные подмножества
i
f(Ai);
f(Ai);
f−1(Bi);
i∈I
f−1(Bi);
i∈I
−1
(B));
−1
(B)),
0.2. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ 13
причем, если f — инъективное отображение, то включения (б), (б)и(в)
превращаются в равенства:
fA
1
f
A
i∈I
f(A
\ A2)=f(A1) \f (A2).
1
= f(A
A
2
=
i
i∈I
)f(A2);
1
f(Ai);
Для отображения f : X → Y имеют место следующие утверждения:
−1
(а) (f — сюръективно) ⇔ (f(f
(б) (f — инъективно) ⇔ (f
(в) (f — биективно) ⇔ (f
(B)) = B для любого B ⊂ Y );
−1
(f(A)) = A для любого A ⊂ X );
−1
(f(A)) = A и f (f−1(B)) = B для любых
множеств A ⊂ X и B ⊂ Y ).
Говорят, что отображение f : X → Y постоянно,еслиf(x
для любых x
Отображение I
, x2∈ X.
1
: X → X , определенное равенством IX(x)=x для
X
)=f(x2)
1
всех x ∈ X , называется тождественным отображением множества X.
Если заданы отображения f : X → Y и g : Y → Z, то можно построить
новое отображение
g ◦ f : X → Z,
значения которого на элементах множества X определяются формулой
(g ◦f)(x):=g(f (x)).
Построенное отображение g ◦ f называется композицией отображений f
и g. Операция композиции ассоциативна, т. е. если f : X → Y , g : Y → Z ,
h: Z → W , то справедливо равенство
h ◦ (g ◦f )=(h ◦ g) ◦ f.
Отметим, что даже в том случае, когда обе композиции g ◦ f и f ◦ g
определены, вообще говоря,
g ◦ f = f ◦ g.
Пусть в композиции f
ее обозначают f
n
и называют n-й степенью отображения f .
◦ ... ◦f1все члены одинаковы и равны f,тогда
n
14 §0. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Если A ⊂ X, то отображение f : X → Y порождает отображение g: A → Y по правилу g(x)=f(x) для всех x ∈ A, которое называется сужением отображения f на множество A и обозначается сим-
волом f |
, а отображение f называется продолжением отображения g
A
на множество X. При этом имеют место формулы, относящиеся к образам
и прообразам при сужениях:
(f|
)(B)=f (B),B⊂ A;(f |A)−1(C)=A ∩f−1(C),C⊂ Y.
A
Отображения π
картовом произведении X × Y и определенные формулами π
и π
(x, y)=y, называются отображениями проектирования на сомножи-
Y
: X × Y → X и πY: X × Y → X, заданные на де-
X
(x, y)=x
X
тели X и Y .
Пусть заданы отображения g
ражение g: X → Y
× Y2, определенное условием g(x)=(g1(x),g2(x))
1
: X → Y1и g2: X → Y2. Тогда отоб-
1
для каждого x ∈ X, называется диагональным произведением отображений g
Ясно, что g
ражение f : X
=(f
изведением f
и g2, которые принято называть компонентами отображения g.
1
Если заданы отображения f
1(x1
= π
1
−1
g
(B1× B2)=g
1
◦g и g2= π
Y
1
g(A) ⊂ g
−1
(B1) ∩g
1
× X2→ Y1× Y2, определяемое по формуле f(x1,x2)=
◦ g и имеют место следующие формулы:
X
1
(A) × g2(A), где A ⊂ X ;
1
−1
(B2), где B1⊂ Y1и B2⊂ Y2.
2
: X1→ Y1и f2: X2→ Y2,тоотоб-
1
),f2(x2)), обозначается через f1× f2и называется прямым про-
и f2,асамиf1и f2— сомножителями этого произведения.
1
Из этого определения получаем соотношения:
× A2)=f(A1) × f (A2), где A1⊂ X1и A2⊂ X2;
f(A
1
−1
f
(B1× B2)=f
−1
(B1) × f
1
Прямое произведение f = f
нальное произведение отображений f
−1
(B2), где B1⊂ Y1и B2⊂ Y2.
2
× f2может быть истолковано как диаго-
1
: X1×X2→Y1и f
Y
1
: X1×X2→Y2,
Y
2
где
f
:= π
:= π
◦ (f1× f2):=f1◦ π
Y
1
◦ (f1× f2):=f2◦ π
Y
2
f
Пусть {A
Y
1
Y
2
: s ∈ S} — некоторое семейство множеств. Множество всех
s
функций f, действующих из S в
бого s ∈ S, обозначается ×
As(или∞×
s∈S
s∈S
: X1× X2→ Y1,
X
1
: X1× X2→ Y2.
X
2
As,таких,чтоf(s) ∈ Asдля лю-
Aiв случае последовательности
i=1
0.3. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ЛЕММА ЦОРНА 15
множеств A1, A2, ...) и называется декартовым произведением семейства
множеств {A
: s ∈ S}.Дляf ∈×
s
координатой функции f . Элемент декартова произведения ×
ордината которого есть точка x
символом {x
} или {xs: s ∈ S}.
s
Asточка f(s) ∈ Asназывается s-ой
s∈S
∈ As, будет обозначаться в дальнейшем
s
As, s-я ко-
s∈S
0.3. Упорядоченные множества и лемма Цорна
Отношение R вмножествеX , т. е. подмножество R произведения X ×X, называется симметричным,еслиR = R
ным,еслиR ∩R
если Δ
X
⊂ R.
−1
⊂ ΔX; транзитивным,еслиR ◦R ⊂ R; рефлексивным,
−1
; антисимметрич-
Отношение R вмножествеX называется отношением порядка,если
оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично, т. е. для любых элементов x, y, z ∈ X выполнены следующие условия:
(а) рефлексивность: (x, x) ∈ R;
(б) транзитивность:(x, y) ∈ R∧(y,z) ∈R⇒(x, z) ∈ R;
(в) антисимметричность:(x, y) ∈ R∧(y,x) ∈ R⇒x = y.
Отношение порядка R обозначают также символом ивместо
(x, y) ∈ R пишут x y.Приэтом,еслиx y, то говорят, что y ма-
жорирует x, а элемент x минорирует
y.
Отношение порядка , вообще говоря, не позволяет сравнивать любые два элемента, поэтому его также называют отношением частичного
упорядочивания,аисходноемножествоX с заданным в нем отношением
порядка — частично упорядоченным множеством иобозначают(X, ).
Элемент x из (X, ) называется мажорантой,иливерхней границей
(соответственно, минорантой,илинижней границей), множества A ⊂ X,
если a x (соответственно, x a) для любого a ∈ A.МножествоA ⊂ X
называется ограниченным сверху (снизу)в(X, ), если оно обладает хотя
бы одной мажорантой (минорантой). Наибольшим (наименьшим)элементом множества A ⊂ X называется такой элемент a ∈ A, который служит
мажорантой (минорантой) A и обозначается max
мент x
жества A ⊂ X и обозначается inf
∈ X (x0∈ X ) называется точной нижней (верхней) гранью мно-
0
(X,)
A (sup
(X,)
A (min
(X,)
A), если он служит наи-
большей минорантой (наименьшей мажорантой) для A,т.е.x
0
(x
=sup
A) означает, что
(X,)
(X,)
=inf
0
A). Эле-
(X,)
A
16 §0. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
(i) x0— миноранта (x0— мажоранта) множества A;
(ii) x x
(x0 x) для любой миноранты (мажоранты) x множества A.
0
Элемент x ∈ X называется максимальным в (X, ), если из неравен-
ства x y, y ∈ X,следуетравенствоx = y.Элементz ∈ X называется
минимальным в (X, ), если из неравенства y z, y ∈ X следует равен-
ство z = y.
Отношение L вмножествеX называется отношением линейного по-
рядка, если оно обладает следующими свойствами:
(а) если (x, y) ∈ L и (y, z) ∈ L,то(x, z) ∈ L;
(б) если (x, y) ∈ L, то соотношение (y,x) ∈ L не имеет места;
(в) если x = y,толибо
(x, y) ∈ L,либо(y,x) ∈ L.
Из свойства (в) получаем, что в отличие от отношения порядка линейный порядок позволяет сравнивать между собой любые (различные)
элементы из X.
Отношение линейного порядка L будем обозначать символом <.
Множество X вместе с некоторым отношением линейного порядка <
называется линейно упорядоченным множеством, и пишут (X, <).
Пусть множество X линейно упорядочено отношением <, тогда, поло-
жив для любых x, y ∈ X
x y в том и только в том случае, когда x<yили x = y,
получим некоторый порядок в множестве X. Следовательно, каждое линей-
но упорядоченное множество можно рассматривать как некоторое частично
упорядоченное множество.
Если для любой пары x, y элементов подмножества A частично упорядоченного множества X имеет место одно из соотношений x y или y x,
то, полагая
x<yв том и только в том случае, когда x y и x = y,
получим некоторый линейный порядок на A. При этом говорят, что A —
линейно упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества X .
З а м е ч а н и е 0.3.1. В множестве действительных чисел R отношение называется
неравенством, а отношение < — строгим неравенством.
0.4. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 17
Для любой пары чисел a, b ∈ R,гдеa<b, приведем обозначения и названия
для перечисленных ниже подмножеств из R:
(a, b)={x ∈ R : a<x<b} — интервал ab;
[a, b]={x ∈ R : a x b} — отрезок или сегмент ab;
(a, b]={x ∈ R : a<x b} — полуинтервал ab,содержащийчислоb;
[a, b)={x ∈ R : a x<b} — полуинтервал ab,содержащийчислоa.
Интервалы, отрезки или полуинтервалы называются числовыми промежутками,илипростопромежутками. При этом множества вида
(a, +∞)=(a, ∞)={x ∈ R : a<x};
[a, +∞)=[a,
∞)={x ∈ R : a x};
(−∞,a)={x ∈ R : a>x};
(−∞,a]={x ∈ R : a x},
атакже(−∞, ∞)=R называются неограничеными промежутками.Упо-
требление символов +∞ и −∞ связано с неограниченностью множества R
сверху (sup R = ∞) и снизу (inf R = −∞).
При доказательстве многих утверждений, касающихся некоторого множества объектов, возникает естественным образом некоторая частичная
упорядоченность, что дает возможность применить одну из основополагающих теорем теории множеств, известную как
Лемма Цорна. Если каждое линейно упорядоченное подмножество
частично упорядоченного множества (X, ) имеет мажоранту (миноранту), то в X существует максимальный (минимальный) элемент.
Частично упорядоченное множество (I,) называется направленным,
если для любых i, j ∈ I существует такой элемент k ∈ I ,что
i k, j k,
т. е. для любого двухэлементного множества из I существует мажоранта.
Обобщенной последовательностью вмножествеY называется отобра-
жение, действующее из направленного множества (I,) в Y .
0.4. Отношение эквивалентности
Отношение E ⊂ X × X называется отношением эквивалентности
вмножествеX, если оно удовлетворяет следующим условиям:
(E1) рефлексивность: (∀x ∈ X):(x, x) ∈ E (т. е. Δ
X
⊂ E);
18 §0. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
(E2) симметричность: (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ E (т. е. E = E−1);
(E3) транзитивность: (x, y) ∈ E,(y, z) ∈ E (т. е. E ◦ E = E).
Ecли E — отношение эквивалентности в X, то, очевидно, его область
определения D(E) совпадает с X. Вследствие этого отношение эквивалентности в X называют также отношением эквивалентности на X.
Элементы x, y ∈ X называются эквивалентными,если(x, y) ∈ E.При
этом часто употребляют запись x ∼ y (mod E) или, если это не может
вызвать недоразумений, просто x ∼ y.
Пусть E — отношение эквивалентности на множестве X и x — произ-
вольный элемент из X.Тогдамножество
= {y ∈ X :(x, y) ∈ E}
[x]
E
называется классом эквивалентности (или классом смежности)элементаx
по отношению E. Другими словами, [x]
есть E-образ одноэлементного
E
множества {x}.
Теорема 0.4.1. Пусть E — отношение эквивалентности на X.Тогда
классы эквивалентности обладают следующими свойствами:
(а) (∀x ∈ X):[x]
(б) (∀x
(в) X =
∈ X):[x1]E∩ [x2]E= ∅ ⇒ [x1]E=[x2]E;
1,x2
[x]E.
x∈X
E
= ∅;
(а) Из рефлексивности отношения E следует, что для каждого x ∈ E
справедливо x ∈ [x]
(б) Если [x
этому будем считать, что x
и возьмем произвольный элемент y ∈ [x
,x) ∈ E, (x2,y) ∈ E в силу симметричности E имеем (x,x2) ∈ E,
(x
2
(x
,y) ∈ E.Значит,(x, y) ∈ E. Теперь, принимая во внимание включе-
2
ние x ∈ [x
получаем (x
из [x
1]E
,y) ∈∈E,т.е.y ∈ [x1]E.Таккакy — произвольный элемент
1
, то установлено включение [x2]E⊂ [x1]E.
2]E
Аналогично рассуждая получаем, что [x
равенство [x
1]E
,т.е.[x]E= ∅.
E
∩[x2]E= ∅ и x1= x2, то утверждение тривиально. По-
1]E
= x2. Зафиксируем элемент x ∈ [x1] ∩ [x2]
1
]. Тогда из соотношений
2
,т.е.(x1,x) ∈ E, согласно транзитивности отношения E,
⊂ [x2]E. Итак, имеет место
1]E
⊂ [x2]E.
(в) Так как для любого элемента x ∈ X справедливо включение
x ∈ [x]
,то{x}⊂[x]E.Значит,
E
X =
x∈X
{x}⊂
[x]E.
x∈X
0.4. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 19
С другой стороны, учитывая соотношение [x]E⊂ X , получаем обратное
включение:
Следствие 0.4.1.
Следствие 0.4.2.
[x]E⊂ X . Следовательно, X =
x∈X
Если
Если
x1∈ [x]
x1/∈ [x]
E
E
,то
,то
[x1]=[x].
[x1] ∩ [x]E= ∅.
x∈X
[x]E.
Из утверждений (б) и (в) теоремы 0.4.1 имеем, что всякое отношение
эквивалентности на множестве X определяет разбиение множества. Справедливо обратное: всякое разбиение {A
: s ∈ S} множества X задает
s
некоторое отношение эквивалентности E на X, определенное условием
((x, y) ∈ E) ⇐⇒ (x, y ∈ A
для некоторого s ∈ S).
s
Объединение классов эквивалентности по E всех точек множества
A ⊂ X называется насыщением множества A по E и обозначается [A]
т. е.
[A]=
[x]E.
x∈A
E
В случае, когда [A]=A,множествоA называется насыщенным.
Согласно следствию 0.4.1, примером насыщенного множества является
каждый класс эквивалентности, а именно: имеет место равенство
[[x]
]E=[x]E. (7.1)
E
Далее, непосредственно из определения насыщенного множества и теоремы 0.4.1 (а), следует справедливость включения
A ⊂ [A]
,
для любого множества A ⊂ X .
Пусть X — произвольное непустое множество и E — отношение эк-
вивалентности на X. Множество, элементами которого служат классы эквивалентности по отношению E, называется фактор-множеством X по E
и обозначается X/E.
Отображение p : X → X/E, которое каждому элементу x ∈ X ставит
в соответствие класс эквивалентности [x]
∈ X/E, называется фактор-
E
отображением (или каноническим отображением) X на X/E.Отметим,
что p является однозначным отображением.
Теорема 0.4.2. Пусть E — отношение эквивалентности на X и p —
фактор-отображение X на X/E.Тогда
((x, y) ∈ E) ⇐⇒ (p(x)=p(y)).
20 §0. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
(⇒) Включение (x, y) ∈ E (или, по-другому, y ∈ [x]E) равносильно,
согласно следствию 0.4.1, равенству [x]=[y],т.е.p(x)=p(y).
(⇐)Еслиp(x)=p(y),т.е.[x]=[y],тоy ∈ [x]
, что означает включе-
E
ние (x, y) ∈ E.
Из свойств классов эквивалентности и определения отображения p имеем:
(а) ∀x ∈ X : x ∈ p(x);
(б) ∀x, y ∈ X : x ∈ p(y) ⇒ y ∈ p(x);
(в) ∀x, y, z ∈ X : y ∈ p(x),z ∈ p(y) ⇒ z ∈ p(x).
Пусть A — произвольное непустое подмножество множества X .Тогда
из определения насыщения и образа множества при отображении p : X →
→ X/E имеем
p(A)=p(
{x})=
x∈A
x∈A
p(x)=
[x]E=[A]E.
x∈A
Итак, образ каждого множества A ⊂ X совпадает с насыщением этого
множества [A]
по E, в частности, p([x]E)=[x]E.
E
0.5. Мощность множества
Множества X и Y называются равномощными (или эквивалентными
с точки зрения теории множеств), если существует биективное отображение X на Y . Легко видеть, что отношение равномощности между множествами рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением
эквивалентности.
Напомним две известные теоремы из теории множеств (см. например, [1], гл. III, §6):
Теорема Кантора – Бернштейна. Если в множестве X существует
подмножество X
, равномощное Y ,авY существует подмножество Y0,
0
равномощное X ,томножестваX и Y равномощны.
Теорема о сравнении мощностей. Для произвольных двух множеств X и Y либо существует X
ствует Y
⊂ Y , равномощное X .
0
⊂ X , равномощное Y , либо суще-
0
Пусть X , Y — два произвольных множества. Если множества X и Y
равномощны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность или од-
но и то же кардинальное число. Таким образом, каждому множеству X
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]