Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
§4. ОПЕРАТОРЫ ВЗЯТИЯ ВНУТРЕННОСТИ, ЗАМЫКАНИЯ И ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР 51
С другой стороны, из включений A ⊂ A и B ⊂ B вытекает, что A∪B ⊂
A ∪B. Так как множество A ∪B замкнуто, то из определения замыкания
⊂
имеем
A ∪ B ⊂ A ∪ B. (4.4)
Из включений (4.3) и (4.4) следует справедливость равенства (г).
(д) Непосредственно из свойства монотоннности оператора замыкания
имеем:
Пусть x
косновения множества
ка x
шар B(x
A ⊂ (A). Покажем справедливость обратного включения: (A) ⊂ A.
— произвольная точка множества (A),т.е.x0— точка при-
0
A.Значит,влюбомшареB(x0,r) найдется точ-
∈ A (в силу предложения 3.1). Пусть r1= r − ρ(x0,x1). Рассмотрим
1
). Для любого элемента y из B(x1,r1), с учетом неравенства
1,r1
треугольника, имеем
ρ(x
,y) ρ(x0,x1)+ρ(x1,y)=r −r1+ ρ(x1,y) <r.
0
Следовательно, B(x
найдется точка x
Таким образом, в произвольном шаре B(x
т. е. x
∈ A.
0
) ⊂ B(x0,r).Посколькуx1∈ A,товмножествеA
1,r1
, принадлежащая шару B(x1,r1).Тогдаx2∈ B(x0,r).
2
,r) содержится точка из A,
0
Связь оператора взятия внутренности с оператором замыкания уста-
навливает
Теорема 4.3. Для любого множества A из пространства (X, ρ) спра-
ведливо равенство
(X \A).
Из включения X \A ⊂
множество X \
(X \A) открыто, а Int A представляет собой наибольшее
Int A = X \
X \A следует, что A ⊃ X \(X \ A).Таккак
открытое множество, содержащееся в A, то получаем
Int A ⊃ X \
(X \A). (4.5)
Пусть U — произвольное открытое множество в пространстве (X, ρ),
содержащееся в A.ТогдаX \A ⊂X \U . Учитывая свойство монотонности
оператора замыкания и замкнутость множества X \U , имеем
X \A ⊂ X \U = X \U.
Следовательно, справедливо включение
U ⊂ X \
(X \A). (4.6)
52 §4. ОПЕРАТОРЫ ВЗЯТИЯ ВНУТРЕННОСТИ, ЗАМЫКАНИЯ И ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР
Положив U =IntA в соотношении (4.6), получим
Int A ⊂ X \
(X \A). (4.7)
Итак, из включений (4.5) и (4.7) следует справедливость искомого равенства.
Следствие 4.1. Для любого множества A из пространства (X, ρ)
имеет место равенство
A = X \ Int(X \A).
Отображение A → Fr A, сопоставляющее каждому множеству A ⊂ X
множество всех его граничных точек Fr A в пространстве (X, ρ), называется
граничным оператором.
Теорема 4.4. Оператор Fr обладает следующими свойствами:
(а)FrA = X \(Int A ∪ Int(X \A));
(б)FrA =Fr(X \ A);
(в)FrA =
(г)
A = A ∪Fr A;
A \Int A;
(д)IntA = A \ Fr A.
Задачи и упражнения
4.1. Найти в пространстве R замыкание, внутренность и границу сле-
дующих его подмножеств:
{a};(a, b); (a, b]; [a, b); [a, b]; [a, b) ∪{c};[a, b) ∪ (b, c].
4.2. (а) Доказать, что в произвольном МП справедливо включение
B(x0,r) ⊂ B(x0,r). Приведите пример, когда B(x0,r) не совпадает
B(x0,r).
с
(б) Доказать, что в пространстве R
n
для всякой точки x0∈ Rnилюбого
числа r>0 справедливы следующие равенства:
B(x0,r)=B(x0,r)=(B(x0,r));
,r)=Fr(B(x0,r)) = Fr(B(x0,r)).
S(x
0
4.3. Доказать следующие свойства оператора взятия внутренности
и оператора замыкания:
§4. ОПЕРАТОРЫ ВЗЯТИЯ ВНУТРЕННОСТИ, ЗАМЫКАНИЯ И ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР 53
(а) Int(A \ B) ⊂ Int A \ Int B;
A \ B ⊃ A \ B;
(б)
A ∩ B ⊂ A ∩ B;
(в)
(г)
Int(A ∪ B)=Int A ∪Int B.
Приведите примеры множеств в пространстве R, для которых множе-
ства
A \B и A \ B, A ∩ B и A ∩ B, Int(A \ B) и Int A \ Int B различны.
4.4. Доказать свойства граничного оператора Fr :
(а) Fr
A ⊂ Fr A;
(б) Fr( Int A) ⊂ Fr A;
(в) Fr (A ∪ B) ⊂ Fr A ∪ Fr B;
(г) Fr(A ∩ B) ⊂ Fr A ∪ Fr B;
(д) Fr( A \ B) ⊂ Fr A ∪ Fr B;
(е) Fr A =(A ∩
(ж)
Int(Fr A)=A ∩ Int(Fr A)=(Int Fr A) \ A.
(X \A))∪(A \A);
Приведите примеры множеств A и B в пространстве R, при которых
левая и правая части соотношений (а)—(д) различны.
4.5. Установить справедливость следующих утверждений:
(а) если
A ∩B = ∅,тоFr(A ∪ B)=FrA ∪ Fr B;
(б) если A и B — открытые множества, то имеют место включения
(A ∩ Fr B) ∪ (B ∩Fr A) ⊂ Fr(A ∪ B) ⊂
⊂ (A ∩ Fr B) ∪ (B ∩Fr A) ∪ (Fr A ∪ Fr B).
Приведите пример в пространстве R, когда все три множества различ-
ны.
4.6. Доказать, что (а) множество A открыто в пространстве (X, ρ) тогда
и толькотогда, когда A∩Fr A = ∅;(б)множествоA замкнуто в пространстве
(X, ρ) тогда и только тогда, когда Fr A ⊂ A.
4.7. Доказать, что в произвольном МП (X, ρ) для произвольной точки
x
∈ X илюбогочислаr>0 равенство S(x0,r)=Fr(B(x0,r)) будет иметь
0
место тогда и только тогда, когда
B(x0,r)=B(x0,r) (см. задачу 4.2).
4.8. Пусть F —замкнутоеиG — открытое множества из простран-
ства (X, ρ). Доказать справедливость следующих равенств:
(а)
G ∩ A = G ∩ A,
(б) Int((IntA) ∪ F )=Int(A ∪ F ),
(в) Int(
G ∩A)=IntG ∩ Int A,
где A — произвольное подмножество пространства (X, ρ).
54 §4. ОПЕРАТОРЫ ВЗЯТИЯ ВНУТРЕННОСТИ, ЗАМЫКАНИЯ И ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР
4.9. Показать, что производное множество удовлетворяет следующим
соотношениям:
(а) (A ∪B)
(б) A
(в) A
(г)
i
(д)
(е) (A ⊂ B) ⇒ (A
(ж)A \{x
(з) если A —конечно,тоA
4.10. Построить пример множества A в МП, у которого A
A
= A∪B;
\ B⊂ (A \B);
⊃ A⊃ ... ⊃ A
⊂
i
A
i
i
A
i
i
⊂
A
i
}
= A=A ∪{x0}
0
(n)
;
;
i
⊂ B);
⊃ ...;
= ∅.
;
= ∅,аA=
= ∅ .
4.11. Множество A пространства (X,ρ) называется канонически от-
крытым (или, соответственно канонически замкнутым), если A =Int
(или, соответственно A =
Приведите примеры множеств в пространствах R, R
Int A ).
2
и C[a, b], которые
не являются канонически открытыми и канонически замкнутыми.
4.12. Доказать, что дополнение канонически открытого множества ка-
нонически замкнуто, и наоборот.
Приведите пример двух канонически открытых множеств, объедине-
ние которых не является канонически открытым, и пример двух канонически замкнутых множеств, пересечение которых не является канонически
замкнутым.
A
§5. Подпространство метрического
пространства
Всякое рассуждение должно проводиться в определенной, четко ограниченной области предметов, которую следует заранее указать и которая
не может быть всеобьемлющей.
Э. Шредер
Пусть (X, ρ) — произвольное МП и M — некоторое его непустое под-
множество. Для всякой пары точек x, y ∈ M положим
ρ
(x, y):=ρ(x, y). (5.1)
M
Тем самым на множестве M ×M определена функция ρ
которой, очевидным образом, выполнены все аксиомы метрики. Значит, ρ
является метрикой на M и называется индуцированной метрикой на мно-
жестве M из пространства (X, ρ). Полученное МП (M,ρ
подпространством пространства (X, ρ).ЕслиM — открытое (замкнутое)
подмножество в (X, ρ),то(M,ρ
) называется открытым (замкнутым)
M
подпространством.
Открытый шар с центром в точке x
стве (M,ρ
) пространства (X, ρ) будем обозначать символом BM(x0,r),
M
∈ M радиуса r вподпростран-
0
т. е.
B
,r):={x ∈ M : ρM(x0,x) <r}.
M(x0
Отсюда, принимая во внимание определение индуцированной метрики ρ
(5.1), следует
M
Предложение 5.1. Пусть (M,ρ
Тогда для всякой точки x
шар B
где B(x
,r) в (M, ρM) допускает представление
M(x0
B
M(x0
,r) — открытый шар в (X, ρ).
0
∈ M и любого числа r>0 открытый
0
,r)=M ∩ B(x0,r), (5.2)
) — подпространство МП (X, ρ).
M
= ρ
M
) называется
M
*
*
M×M
,для
M
56 §5. ПОДПРОСТРАНСТВО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Для произвольной точки x ∈ BM(x0,r) одновременно выполнены
соотношения: x ∈ M, ρ(x, x
) <r,т.е.x ∈ M ∩ B(x0,r).Значит,справед-
0
ливо включение
B
,r) ⊂ B(x0,r) ∩M. (5.3)
M(x0
Обратно, если x ∈ B(x
имеем, что x ∈ B
M(x0
,r). Отсюда заключаем, что
,r) ∩ M , то из определения шара BM(x0,r)
0
,r) ∩M ⊂ BM(x0,r). (5.4)
B(x
0
Из полученных соотношений (5.3) и (5.4) следует равенство (5.2).
Из определения открытого множества в МП имеем, что множество A ⊂ M открыто в подпространстве (M, ρ
множества M ), если для всякой точки x
такое, что B
M(x0
,r) ⊂ A.
∈ A существует число r>0,
0
) (или относительно
M
Критерии открытости множества в подпространстве устанавливает следующая
Теорема 5.1. Для того чтобы множество A ⊂ M было открыто
в подпространстве (M, ρ
) пространства (X, ρ), необходимо и доста-
M
точно, чтобы существовало такое множество G, открытое в пространстве (X, ρ),чтоA = M ∩ G.
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть множество A открыто в (M, ρ
Тогда для любой точки a ∈ A существует положительное число r
такое, что B
(M,ρ
). Поэтому, принимая во внимание равенство (5.2), имеем
M
(a, ra) ⊂ A,гдеBM(a, ra) — открытый шар подпространства
M
(a, ra):a ∈A} =[∪{B(a, ra):a ∈A}] ∩M.
∪{B
M
Тогда из теоремы 3.1(б) заключаем, что множество G = ∪{B(a, r
> 0,
a
):a∈A}
a
M
открыто в (X, ρ) и A ⊂ G. Следовательно, M ∩ G ⊃ A. С другой стороны,
согласно выбору шара B(a, r
) имеем B(a, ra) ∩M ⊂ A при каждом a ∈ A.
a
Значит, G∩M ⊂ A. Отсюда и из полученного выше включения, M ∩G ⊃ A,
вытекает требуемое равенство: A = M ∩ G.
Достаточность.ЕслиG — открытое множество пространства (X,ρ) и A = M ∩ G,тодлякаждойточкиa ∈ A найдется шар
B(a, r
Итак, для каждой точки a ∈ A нашелся открытый шар B
= B(a, r
открытое множество в (M, ρ
) ⊂ G, в силу очевидного включения A ⊂ G.ТогдаB(a, ra)∩M ⊂ A.
a
) ∩M в (M,ρM),такой,чтоBM(a, ra) ⊂ A, а это значит, что A —
a
).
M
(a, ra)=
M
).
§5. ПОДПРОСТРАНСТВО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 57
Из критерия замкнутости множества в МП (теорема 3.4) и теоремы 5.1
следует
Теорема 5.2. Для того чтобы множество B ⊂ M было замкнутым
в подпространстве (M,ρ
) пространства (X, ρ), необходимо и достаточ-
M
но, чтобы существовало замкнутое множество F пространства (X, ρ),
такое, что B = M ∩F .
Теорема 5.3. Всякое открытое (замкнутое) множество A подпро-
странства (M, ρ
и только тогда, когда подпространство (M, ρ
) открыто (замкнуто) в пространстве (X, ρ) тогда
M
) открыто (замкнуто)
M
в (X, ρ).
Необходимость очевидна, так как множество M само является
открытым множеством в (M,ρ
в (X, ρ) ипустьA ⊂ M — произвольное открытое подмножество в (M,ρ
). Пусть теперь множество M открыто
M
),
M
т. е. A = M ∩G,гдеG — некоторое открытое множество в (X, ρ).Такимобразом, A есть пересечение двух открытых множеств в (X, ρ). Значит, в силу
теоремы 3.1(в), множество A открыто в (X, ρ).
З а м е ч а н и е 5.1. Из доказанных теорем 5.1–5.3 заключаем, что
множество A может быть открытым в подпространстве (M, ρ
открытым в самом пространстве (X, ρ) (например, если (X, ρ) совпадает
с пространством R
то множество A открыто в подпространстве (M, ρ
2
, M = {(x, 0) : x ∈ R} и A = {(x, 0) : x ∈ (c, d)},
),ноневR2). Следо-
M
),небудучи
M
вательно, свойство множества A быть открытым зависит от пространства,
в котором оно содержится. То же верно и в отношении свойства множества
быть замкнутым.
Теорема 5.4. Замыкание
тве (M , ρ
) представимо в виде пересечения замыкания BXмноже-
M
BMмножества B ⊂ M в подпространс-
ства B в пространстве (X, ρ) смножествомM, т. е. справедливо ра-
венство
BM= BX∩M .
Согласно определению замыкания имеем, что
BM= ∩{F —замкнутов(M,ρM):F ⊃ B}.
Так как каждое множество F , замкнутое в подпространстве (M, ρ
),пред-
M
ставимо, в силу теоремы 5.2, в виде
F = F
∩ M,
1
58 §5. ПОДПРОСТРАНСТВО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
где F1— замкнутое множество в пространстве (X, ρ), окончательно получаем:
BM= ∩{F1∩M = F : F1⊃ B} =
= M ∩[∩{F
—замкнутов(X, ρ):F1⊃ B}]=M ∩ BX.
1
Задачи и упражнения
5.1. (а) Пусть
тром в точке x
BM(x0,r)S(x0,r)— замкнутый шар (сфера) с цен-
∈ M радиуса r в подпространстве (M, ρM). Установить
0
справедливость следующих равенств:
BM(x0,r)=B(x0,r) ∩M ,
,r)=S(x0,r) ∩M ,
S
M(x0
где
B(x0,r)S(x0,r)— замкнутый шар (сфера) в пространстве (X, ρ).
(б) Пусть [a, b] и (c, d) — подмножества пространства R. Описать
все замкнутые и открытые множества в подпространствах(c, d),ρ
[c, d],ρ
,гдеa<c<d<b, и указать, какие из этих множеств будут
[c,d]
(c,d)
открытыми (замкнутыми) в пространстве R.
(в) Пусть ([a, b],ρ
) — подпространство пространства R.Найти
[a,b]
замыкание, границу и внутренность множеств [c, d), (c, d), {c}, [c, d ]
(a c<d b) в этом подпространстве.
5.2. Пусть (Z, d) — произведение пространств (X, ρ) и (Y,σ). Доказать,
что для любой пары множеств A ⊂ X и B ⊂ Y имеют место следующие
соотношения:
(а) Int
(б)
(в) Fr
(A × B)=IntXA ×IntYB;
Z
A × BZ= AX× BY;
(A × B)=(AX× FrYB) ∪FrXA ×B
Z
Y
.
Из соотношения (б), в частности, получаем, что для замкнутости множества A ×B в пространстве (Z, d) необходимо и достаточно, чтобы A было
замкнуто в (X, ρ) и B было замкнуто в (Y,σ).
5.3. Пусть A, B — два непустых множества из пространства (X,ρ)
и U — подмножество множества A ∩ B, открытое (или, соответственно,
замкнутое) в подпространствах (A, ρ
жество U открыто (замкнуто) в подпространстве (A ∩ B, ρ
5.4. Пусть B — множество в подпространстве (M,ρ
) и (B,ρB). Показать, что тогда мно-
A
).
A∩B
) простран-
M
ства (X, ρ). Доказать следующие формулы:
,
§5. ПОДПРОСТРАНСТВО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 59
(а) IntMB = M \(M \ B)M= M \(M \ B)X;
(б) Int
(в) Fr
(г) Fr
где Int
M
ства B в подпространстве (M, ρ
B ⊂ IntMB;
X
B = BM∩ (M \B)X;
M
B ⊂ FrXB,
M
B — внутренность множества B ⊂ M,аFrMB — граница множе-
).
M
Приведите примеры множеств, для которых
B = IntMB; FrMB = FrXB.
Int
X
5.5. Доказать, что если множество U открыто (замкнуто) в под-
пространстве (
стве (M, ρ
M,ρM),тоM ∩ U открыто (замкнуто) в подпростран-
).
M
5.6. Приведите пример, когда множество замкнуто в подпространстве,
но не является замкнутым в пространстве.
5.7. Пусть A — фиксированное подмножество пространства (X, ρ).
Каждому множеству B ⊂ A поставим в соответствие множество
F (B)={x ∈ X : ρ(x, B) ρ(x, A \B)},
при этом будем полагать ρ(x, ∅)=∞.
Доказать следующие соотношения:
(а) F(∅)=∅;
(б) F(A)=X ;
(в) B ⊂ F (B);
F (B)=F (B);
(г)
(д) F(B
(е) если A =
(ж) A ∩ F (B)=A ∩
∪ B2)=F(B1) ∪ F (B2),B1⊂ A, B2⊂ A;
1
n
i=1
Bi, то
n
F (Bi)=X;
i=1
BX;
(з) если множество B ⊂ A замкнуто в подпространстве (A,ρ
A ∩ F (B)=B.
), то
A
60 §5. ПОДПРОСТРАНСТВО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
5.8. Аналогично множеству F (B) из задачи 5.7 определим множество
G(B)={x ∈ X : ρ(x, B) <ρ(x, A \ B)}.
Доказать справедливость следующих утверждений:
(а) G(B) —открытоемножествов(X, ρ);
(б) G(A)=X;
(в) G(∅)=∅;
(г) G(B
(д) если
(е) A ∩ G(B)=A \
(ж) если в множестве B ⊂ A открыто в подпространстве (A, ρ
)=G(B1) ∩G(B2),B1⊂ A, B2⊂ A;
1∩B2
n
Bi= ∅, то
i=1
n
G(Bi)=∅;
i=1
(A \ B);
A
то A ∩ G(B)=B.
5.9. Множество M ⊂ X называется связным в пространстве (X, ρ),
если связно пространство (M,ρ
) (см. задачу 3.19). Доказать, что множе-
M
ство M ⊂ X связно в (X, ρ) тогда и только тогда, когда для любой пары
открытых (замкнутых) в (X, ρ) подмножеств U и V , таких, что из условий
M ⊂ U ∪ V, M ∩ U = ∅,M∩V = ∅,следуетM ∩ U ∩ V = ∅.
Открытое связное множество в МП называют областью.
5.10. Установить следующие свойства связных множеств:
),
(a) замыкание связного подмножества в (X, ρ) связно;
(б) объединение любого семейства {M
: t ∈ T } связных подмно-
t
жеств, имеющего непустое пересечение, связно;
(в) если M — связное подмножество в (X, ρ) имножествоN ⊂ X
такое, что M ⊂ N ⊂ M,томножествоN связно;
(г) если M , N — связные подмножества в (X, ρ) и
M ∩N = ∅,топод-
множество M ∪ N связно.
5.11. Доказать, что множество A в пространстве R связно в том и только
в том случае, когда A обладает следующим свойством: (∀ x, y, z ∈ M : x<
<z<y) ⇒ (z ∈ M ).
5.12. Непустое подмножество K пространства (X, ρ) называется ком-
понентой связности пространства (X, ρ), если оно является максималь-
ным связным подмножеством, т. е. оно связно и не содержится в отличном
от себя связном множестве из (X, ρ).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]