Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 171
В частности, полагая an=
1
для каждого n ∈ N, получаем решение
n
2
задачи 12.7.
12.12. Для каждого n ∈ N положим
⎧
⎪
0, при 0 t
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2n(n +1)t −2n, при
⎨
(t)=
x
n
⎪
⎪
⎪
− 2n(n +1)t +2n +2, при
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
0, при
Непосредственно из определения функции x
)=1,ρ(xn,xm)=1,n= m.
ρ(0,x
n
n +1
2n(n +1)
1
n
имеем, что
n
Предположимпротивное,т.е.длямножества{x
нечная сеть S = {y
а S — конечно, то существуют функции x
,...,yn}. Так как множество {xn: n ∈ N} бесконечно,
1
и xm, такие, что при n = m
n
выполнены неравенства
ρ(x
n,yl
для одной и той же функции y
) <
2
∈ S. Отсюда, согласно неравенству тре-
l
m,yl
) <
1
,ρ(x
угольника имеем
1
,
n +1
1
t
2n +1
2n +1
2n(n +1)
t
1
,
n
t 2π.
: n ∈ N} существует ко-
n
1
2
,
1=ρ(x
) ρ(xn,yl)+ρ(yl,xm) < 1,
n,xm
что приводит к абсурду.
§13
13.6. Пусть (X, ρ) — компактное МП и f :(X,ρ) → (Y, σ) —непре-
рывное отображение, причем f(X )=Y . Согласно теореме 13.1, пространство (Y, σ) также компактно. Рассмотрим произвольное замкнутое множество A в (X, ρ). В силу теоремы 8.1, подпространство (A, ρ
лу предложения 12.2, (A, ρ) вполне ограничено. Следовательно, (A, ρ
компактное МП. Положим f(A)=B.Ясно,что(B, σ
) полно, а в си-
A
) компактно, а зна-
B
) —
A
чит, оно полно. Теперь, применяя теорему 8.1, заключаем, что множество B
172 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
замкнуто в (Y, σ). Итак, образ любого замкнутого множества в (X, ρ) при
непрерывном отображении f есть множество, замкнутое в (Y, σ),т.е.f —
замкнутое множество.
13.7. Пусть g :(X, ρ) → (Y, σ) — отображение, обратное к f,аA
— произвольное замкнутое множество в (X,ρ).Таккакg
−1
(A) — замкнутое множество в (Y,σ) как образ замкнутого отобра-
то g
жения при замкнутом отображении f (см. задачу 13.6). Отсюда, согласно
теореме 7.2
заключаем, что g — непрерывно, а стало быть, f — гомеомор-
−1
(A)=f(A),
физм.
13.9. Пусть для определенности последовательность (f
(x) f
т. е. f
n
(x) − f(x). Тогда функция gn∈ C(X) при каждом n ∈ N,gn→ 0
= f
n
на X и g
n
(x) при любом n ∈ N илюбомx ∈ X.Положимgn(x)=
n+1
g
. Покажем, что gn⇒ 0. Возьмем произвольное ε.Тогда
n+1
) не возрастает,
n
для любого x ∈X найдется такой номер n(x),что
0 g
n(x)
В силу непрерывности функций g
сти (g
) существует окрестность Uxточки x, такая, что
n
0 g
n
(t)
n
ε
(x)
.
2
и монотонности последовательно-
ε
, (Π
2
1
)
если t ∈ U
и n n(x). Семейство {Ux: x ∈ X} образует открытое покры-
x
тие пространства (X, ρ).Поскольку(X, ρ) — компактное МП, то найдется
конечное множество точек {x
Положив n(ε)=max{n(x
,...,xm}⊂X,таких,что
1
n
U
i=1
. (Π2)
x
i
X =
),n(x2),...,n(xm)}, на основании (Π1) и (Π2)
1
заключаем, что
(t) ε
0 g
n
при всех t ∈ X,еслиn>n(ε), что равносильно равномерной сходимости
последовательности (g
) к 0,азначит,fn⇒ f .
n
Отметим, что теорема Дини устанавливает случай, когда из поточечной
сходимости непрерывных функций следует, что эта сходимость является
равномерной. При этом требование компактности МП существенно (напри-
мер, если f
(x)=
n
убывающая и f
1
, x ∈ (0, 1), то последовательность (fn) монотонно
nx +1
→ 0 поточечно на (0, 1), но равномерной сходимости нет).
n
РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 173
13.11. Для каждой точки x ∈ X выберем такое число ε(x) > 0,что
открытый шар B(x, 2ε(x)) содержится в элементе покрытия A.Открытое
покрытие {B(x, ε(x)) : x ∈ X} имеет конечное подпокрытие, т. е. существует конечное множество точек {x
n
X =
i=1
,...,xn}⊂X,такое,что
1,x2
B(xi,ε(xi)).
Положим ε =min{ε(x
),...,ε(xn)}.Тогдачислоε обладает требуемым
1
свойством.
Докажем теорему 13.3. Пусть ε>0 и δ = δ(ε) —числоЛебега
открытого покрытия {f
ли ρ(x, x
⊂ f
) <δ, то найдется такая точка y ∈ Y ,чтоx∈ BX(x, δ) ⊂
−1
(BY(y,
ε
)),ипотомуσ(f(x),f(x)) <ε.
2
−1
(BY(y,
ε
)) : y ∈ Y } пространства (X, ρ).Ес-
2
§14
14.1. (а) Пусть {K
в (X, ρ),ипустьK =
в (X, ρ). Рассмотрим произвольное открытое покрытие {U
жества K открытыми в (X, ρ) множествами. Так как K
дого i =
из множеств K
1,m,то{Us: s ∈ S} является открытым покрытием каждого
. В силу компактности Ki, согласно теореме 14.1, най-
i
дется конечное подпокрытие {U
l
i
ства K
мейство {{U
тия {U
:
U
i
j=1
: s ∈ S} множества K.
s
⊃ Ki. Отсюда заключаем, что
s,j
: j = 1,li} : i = 1,m} есть конечное подпокрытие покры-
s,j
14.2. (а) Рассмотрим произвольную точку a ∈ A и систему открытых
шаров {B(a, n):n ∈ N}.Ясно,чтоA ⊂
: i = 1,m} — семейство компактных множеств
i
m
Ki. Покажем, что K — компактное множество
i=1
: j = 1,li}⊂{Us: s ∈ S} множе-
s,j
∞
n=1
l
m
i=1
j=1
B(a, n).Еслибымноже-
: s ∈ S} мно-
s
⊂ K для каж-
i
i
U
⊃ K,т.е.се-
s,j
ство A было компактным, то система {B(a, n):n ∈ N} содержала бы
l
конечную подсистему {B(a, n
Полагая n
=max{nk: k = 1,l}, получаем включение A ⊂ B(a, n0),
0
):k = 1,l},такую,чтоA ⊂
k
k=1
B(a, nk).
которое противоречит неограниченности множества A.
174 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
(г) Пусть (xn) — произвольная фундаментальная последовательность
в (X, ρ). Согласно задаче 8.1(а) пункт (ii), она ограничена, т. е. содержится в некотором замкнутом шаре, который по условию компактен. Итак,
в компактном пространстве (B, ρ
торой можно выделить сходящую подпоследовательность (x
x
→ x0∈ B (см. теорему 13.1). Но тогда и сама последовательность (xn)
n
k
сходится к точке x
→ x0∈ X вследствие предложения 8.3.
0,xn
14.3. (а) Рассмотрим последовательность (x
) имеем последовательность (xn),изко-
B
) в (Q,ρ), определенную
n
) в (B, ρB),
n
k
следующим образом:
1
+4+
(x
n−1
2
4
2
x
n−1
=1,xn=
x
0
Ясно, что x
любого n ∈ N. Имеем
> 0 и xn∈ Q для каждого n ∈ N. Покажем, что xn∈ E для
n
1
2
x
n
x
=
4
2
n−1
Отсюда, используя известное неравенство, t +
2
=
n
=
<x1=
n
1
2
x
2+
1
1+
2
x
3
2
) имеем оценку: 2 <x
n
что
x
Так как x
ность (x
∈ Q для каждого n,тоx
n
) убывающая, что вытекает из неравенства
n
x
n+1
x
n
Отсюда имеем, что x
ментов последовательности (x
2
+
2
n−1
2
2
n
),n=1, 2,... .
x
n−1
1
2+
=
2
2
+
2
x
n−1
=2.Значит,x
2
< 1,n=1, 2,... .
2
n
9
2
и x
<
n
< 3. Таким образом, для эле-
4
x
2
2
n−1
.
2
x
n−1
+
2
1
2 при t>0, получаем,
t
2.
2
> 2. Последователь-
n
2
< 3. Принимая во
n
внимание то, что последовательность ограниченная снизу и убывающая,
получаем ее сходимость в R : lim
xn=√2.Но√2 /∈ Q,азначит,√2 /∈ E.
n→∞
Следовательно, множество E замкнуто и ограничено, но не является компактным (на основании теоремы 13.1). Отсюда приходим к выводу, что
требование полноты МП в теореме 14.2 существенно.
14.4. (а) Так как система {G
} есть открытое покрытие множества K ,
n
то из компактности K следует, что найдется конечная подсистема мно-
,G
жеств {G
=max{n
n
1
: i = 1,m} и учитывая возрастание системы {Gn}, имеем вклю-
i
чение K ⊂ G
n
n
0
,...,G
2
.
}⊂{Gn}, покрывающая K. Полагая n0=
n
m
РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 175
(б) Положим X \ Fi= Gi,i∈ N.Тогда{Gi} — возрастающая последовательность открытых множеств. Из равенства
∞
что X =
такой номер i
Gi⊃ K. Отсюда в силу пункта (а) имеем, что существует
i=1
,чтоK ⊂ G
0
. Так как по условию F
i
0
∞
Fi= ∅ следует,
i=1
⊂ K,тоF
i
0
i
0
= ∅.
14.10. (а) Ясно, что ρ(F, K)=δ 0. Так как (см. предложение 1.2)
ρ(F, K)= inf
x∈K
ρ(x, F ),
то функция f(x)=ρ(x, F ), определенная на множестве K, непрерывна.
Поскольку K компактно, то, по теореме 14.4, существует точка x
такая, что f (x
= ∅, получаем x
ρ(F, K)=ρ(F, x
)=δ. Учитывая, что множество F замкнуто и F ∩ K =
0
/∈ F .Поэтомуρ(x0,F) > 0,т.е.δ>0. Таким образом,
0
) > 0.
0
0
∈ K ,
(б) Так как Fr G — замкнутое множество и K ∩Fr G = ∅, то согласно
пункту (а) имеем ρ(K, FrG) > 0.
(в) Так как F — замкнутое множество и x
(см. задачу 7.3). Рассмотрим замкнутый шар
тен в R
множество в R
n
.ПоэтомуK = B(x0,δ+1)∩F = ∅ есть замкнутое ограниченное
n
,азначит,множествоK компактно в Rn,причемx0/∈ K.
Принимая во внимание замкнутость множества {x
ключаем, что, согласно пункту (а), найдется точка x
что ρ(x
ство ρ(x
)=ρ(x0,K) δ +1. Следовательно, справедливо неравен-
0,x1
,F) ρ(x0,K). С другой стороны, для любой точки x ∈ F \ K
0
/∈ F ,тоρ(x0,F)=δ>0
0
B(x0,δ+1), который компак-
} в Rnи x0/∈ K,за-
0
∈ K ⊂ F , такая,
1
имеем
) δ +1 ρ(x0,K).
ρ(x, x
0
Отсюда заключаем, что ρ(x
ным выше неравенством устанавливает соотношение ρ(x
,F) ρ(x0,K), которое вместе с получен-
0
,F)=ρ(x0,K).
0
Теперь, используя пункт (а), получаем, что существует точка x ∈ K ,для
которой выполняется равенство ρ(x
,x)=ρ(x0,F).
0
14.13. (а) Рассмотрим функцию g :(X,ρ) → R, определенную равен-
ством
g(x)=ρ(x, f (x)),x∈ X.
Ясно, что точка x ∈ X является решением уравнения f(x)=x тогда
и только тогда, когда g(x)=0.Предположим,чтотакойточкинесуще-
ствует, т. е. g(x) > 0 для всех x ∈ X. Так как функция g непрерывна, то
ее наименьшее значение положительно (см. следствие 14.1) и достигается
176 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
в некоторой точке x0∈ X, g(x0) g(x) для любого x ∈ X.Нопоусловию
задачи имеем
)) = ρf(x0),f(f(x0))<ρ(x0,f(x0)) = g(x0),
g(f (x
0
что противоречит определению точки x
0
∈ X.
14.14. У к а з а н и е. (а) Пусть E — ограниченное множество
и x
∈ E\ E. Тогда функция f(x)=
0
1
,x∈ E, непрерывна, но не
x − x
0
ограничена. В случае, когда множество E не ограничено, достаточно взять
функцию f(x)=x.
1
(б) Рассмотрим функцию g(x)=
1+(x − x0)
,еслиE — ограничен-
ное множество. Тогда функция g ограничена, 0 <g(x) < 1, и непрерывна,
но не имеет максимума. Если E — не ограниченное множество, то поло-
2
x
жить g(x)=
1+x
.
2
§15
15.1. (а) Пусть f — некоторая функция из C[0, 1], и обозначим че-
Для этого рассмотрим следующую краевую задачу:
x
(t)=f(t), (Π1)
x(0) = 0,x(1) = 0. (Π
Интегрируя дифференциальное уравнение (П
вия (П
Полагая t =1в равенстве (П
),получим
2
x(t)=ct +
) и принимая во внимание второе краевое
3
t
(t − s)f (s)ds. (Π3)
0
) иучитываяусло-
1
условие x(1) = 0,будемиметь
)
2
0=c +
1
(1 −s)f (s)ds.
0
РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 177
Отсюда находим
Подставляя значение c вформулу(П
x(t)=t
0
1
(s −1)f (s)ds.
c =
0
), получим, что
3
1
(s −1)f (s)ds +
t
(t −s)f (s)ds
0
или, в другой записи,
x(t)=
Положим
Тогда фо рмула (П
t
s(t −1)f (s)ds +
0
G(t, s)=
) примет вид
4
x(t)=
s(t −1), при 0 s t,
t(s −1), при t s 1.
1
G(t, s)f(s)ds, (Π5)
0
1
t(s −1)f (s)ds. (Π4)
t
где G(t,s) — функция Грина, непрерывная в квадрате [0, 1] × [0, 1],причем
справедлива оценка |G(t, s)| 1.
Покажем, что функции, представимые в виде (П
), удовлетворяют те-
5
ореме Арцела—Асколи, если |f(x)| 1. Равномерная ограниченность следует из равенства (П
). Для любых точек t1,t2∈ [0, 1] имеем
5
|x(t
) −x(t2)| =
1
1
*
*
*
G(t1,s)f (s)ds −
*
0
1
|G(t1,s) −G(t2,s)||f (s)|ds
0
1
G(t2,s)f (s)ds
0
1
0
*
*
*
*
|G(t1,s) −G(t2,s)|ds.
Так как функция G непрерывна, то для любого ε>0 существует δ>0,
такое, что для всех t
∈ [0, 1], удовлетворяющих условию |t1− t2| <δ,
1,t2
178 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
выполняется неравенство |x(t1) − x(t2)| <εдля каждой функции x ∈ A.
Итак, условия теоремы Арцела—Асколи выполнены, а значит, множество A
предкомпактно в C[0, 1].
15.2. (а) Установим, что множество M = {t
n
: n ∈ N} не является пред-
компактным в C[0, 1], а именно: для M ⊂ C[0, 1] не выполняется теорема
Арцела—Асколи.
Ясно, что M — равномерное ограниченное множество. Покажем, что
оно не будет равностепенно непрерывным. Так как функция t
непрерывна на отрезке [0, 1], то для любого ε ∈ (0, 1) найдется δ>0,
такое, что |t
Положим t
или (1 − t) < 1 − (1 − ε)
большее 1 − (1 − ε)
n
n
− t
| <εдля всех t1,t2∈ [0, 1], для которых |t1− t2| <δ.
1
2
=1.Тогдапривсехt,где1 − t<δ,следует,чтоt>(1 − ε)
1
1
n
1
n
,т.е.вкачествеδ>0 нужно взять число, не
. Это число зависит от n и lim
n→∞
Итак, число δ>0, которое годилось бы для всех функций t
n
равномерно
[1 −(1 − ε)
n
, не существует,
1
n
]=0.
т. е. M не является равностепенно непрерывным.
15.3. (а) Рассмотрим множество функций
x
(t)=B ·sin 2nπt, n ∈ N,t∈ [0, 1].
n
Ясно, что x
принадлежат множеству для любого n ∈ N. Из определения
n
метрики в C[0, 1] при k>nимеем
ρ(x
n,xk
)= max
t∈[0,1]
|xn(t) − xk(t)|
Значит, последовательность (x
*
*
*
x
n
*
) не содержит сходящейся подпоследова-
n
2
1
n+1
− x
k
2
1
n+1
*
*
*
=1.
*
тельности, а следовательно, рассмотренное множество не предкомпактно.
15.9. Покажем, что для Q
извольное ε>0. Тогда найдется такое n
точке x =(ξ
) ∈ Q∞сопоставим точку x0=(ξ1,...,ξ
n
существует конечная ε-сеть. Выберем про-
∞
∈ N,что
0
1
ε
<
n
0
2
n
.Каждой
2
, 0,...) ∈ Q∞.
0
Тогда
1
2
1
k
4
n
1
=
√
3 · 2
0
), то для него существует
1
ε
<
n
n
0
2
.
<
0
2
ρ(x, x
0
)=
k=n0+1
∞
2
ξ
k
Поскольку множество точек x
ное множество в n
конечная
ε
-сеть, которая будет ε-сетью для Q∞.
2
-мерном пространстве R
0
∞
k=n0+1
∈ Q∞вполне ограничено (как ограничен-
0
1
n
Список использованной литературы
Математика, вероятно, никогда не достигла
бы такой степени совершенства, если бы древние
не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за
мнимой бесплодности.
Л. Эйлер
Александров П. С.
1.
М.: Гостехиздат, 1948.
2.
Александров П. С.
М.: Высшая школа, 1979.
3.
Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А.
1977.
4.
Антоневич А. Б., Князев П. Н., Радыно Я. В.
функциональному анализу. – Минск: Вышэйшая школа, 1978.
5.
Архангельский А. В., Пономарев В. Н.
дачах и упражнениях. – М.: Наука, 1974.
6.
Бичегкуев М. С.
Владикавказ: СОГУ, 1993.
7.
Борисович Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н.
Введение в топологию. – М.: Наука, Физматлит, 1995.
8.
Гелбаум Б, Олмстед Дж.
9.
Городецкий В. В., Нагнибида Н. И., Настасиев П. П.
задач по функциональному анализу. – Киев: Выща школа, 1990.
10.
Гудиев А. Х.
СОГУ, 1982.
Введение в общую теорию множеств и функций. –
Введение в теорию множеств и общую топологию. –
Общая топология. – М.: Наука,
Задачи и упражнения по
Основы общей топологии в за-
Метрические пространства: Задачи и теоремы. –
Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967.
Методы решения
Задачник по функциональному анализу. – Орджоникидзе:
180 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
11.
Дьедонне Ж.
Основы современного анализа. – М.: Мир, 1965.
Зорич В. А.
12.
Ч. II, 1984.
Камынин Л. И.
13.
2001. Т. II, 1995.
14.
Канторович Л. В., Акилов Г. П.
1984.
15.
Кириллов А.А., Гвишиани А. Д.
анализа. – М.: Наука, 1979.
16.
Князев П. Н.
1985.
17.
Коллатц Л.
М.: Мир, 1969.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В.
18.
нального анализа. – М.: Наука, 1989.
19.
Краснов М. Л., Киселев А.И., Макаренко Г. И.
ния. – М.: Наука, 1976.
20.
Кудрявцев Л. Д.
школа. Т. I. II, 1988; Т. III, 1989.
Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. Н., Шабунин М. Н.
21.
задач по математическому анализу: Функции нескольких переменных. –
М.: Физматлит, 1995.
Математический анализ: В 2-х ч. – М.: Наука, Ч. I, 1981;
Курс математического анализа. В 2-х ч. – М.: МГУ. Т. I,
Функциональный анализ. – М.: Наука,
Теоремы и задачи функционального
Функциональный анализ. – Минск: Вышэйшая школа,
Функциональный анализ и вычислительная математика. –
Элементы теории функций и функцио-
Интегральные уравне-
Курс математического анализа: В 3-х т.– М.: Высшая
Сборник
22.
Кутателадз е С. С.
Наука, 1983.
23.
Леонтьева Т.А., Панферов В. С., Серов В. С.
действительного переменного.– М.: МГУ, 1997.
24.
Очан Ю. С.
щение, 1981.
Порошкин А. Г.
25.
Основы функционального анализа. – Новосибирск:
Сборник задач по математическому анализу. – М.: Просве-
Функциональный анализ. – М.: Вузовская книга, 2004.
Задачи по теории функций
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]