Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
§10. ПРИНЦИП CЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 101
10.8. Уравнение Фредгольма называется интегральным уравнением
Вольтерра II рода,еслиядроK(t, s) ≡ 0 при s>t, и имеет вид
t
x(t) −λ
K(t, s)x(s)ds = y(t),a t b.
a
Пусть K ∈ C([a, b] ×[a, b]), y ∈ C[a, b] и
t
f(x)(t)=λ
K(t, s)x(s)d(s)+y(t).
a
Доказать, что
(a) отображение f переводит C[a, b] в C[a, b];
(б) для любых функций x
∈ C[a, b] илюбогоt ∈ [a, b] справедливо
1,x2
неравенство
n
|f
(x1)(t) −fn(x2)(t)|
λ
ncn
(b − a)
n!
n
ρ(x
1,x2
),
где c =max{|K(t, s)| : a s, t b};
(в) уравнение Вольтерра при любом λ имеет единственное непрерыв-
ное решение.
10.9. Нелинейное уравнение вида
b
x(t) −λ
K[t, s, x(s)]ds = y(t),a t b
a
называют интегральным уравнением Урысона.
Пусть y ∈ C[a, b], функция K(t, s, u) ∈ C([a, b] × [a, b]) при каждом
фиксированном u и удовлетворяет условию Липшица по u:
|K(t, s, u
) −K (t, s, u2)| M |u1− u2|,
1
где M — константа, не зависящая от t, s ∈ [a, b].
102 §10. ПРИНЦИП CЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Найти условия на λ, при которых отображение
b
f(x)(t)=λ
K[t, s, x(s)]ds + y(t)
a
будет сжимающим в пространстве C[a, b].
10.10. Уравнение вида
b
x(t) − λ
K(t, s)ψ[x(s)]ds = y(t),a t b
a
называют интегральным уравнением Гаммерштейна.
Пусть K ∈ C([a, b] × [a, b]), y ∈ C[a, b] и функция ψ удовлетворяет
условию Липшица (см. задачу 10.6).
При каких значениях параметра λ из принципа сжимающих отображений следует существование и единственность решения уравнения Гаммерштейна?
10.11. Решить методом последовательных приближений следующие
интегральные уравнения в пространстве C[a, b]:
π
(а) x(t)=
(б) x(t)=t +1+
(в) x(t)=
π
K(s, t)x(t)dt =
(г)
0
1
(д)
K(s, t)x(t)dt=
0
cos(t + s)x(s)ds +2sint;
0
1
3
−1
1
1+x2(s)
t
t−s
e
x(s)ds;
0
ts
ds +1;
1
sin 2x, K (s, t)=
2
1
cos 3x, K(s, t)=
9
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
t(π − s)
⎪
⎨
⎪
s(π − t)
⎪
⎩
2
s
+ t
2
s
2
+ t
2
π
π
2
+
2
+
, 0 t s,
,s t π;
1
− s, 0 t s,
3
1
− t, s t 1.
3
§10. ПРИНЦИП CЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 103
10.12. Решить следующие краевые задачи (предварительно сведя их
к интегральному уравнению)
(а) x
(t)=λx2(t)+y(t),x(0) = 0,x(1) = 0,y∈ C[0, 1];
(t)=−sin x, x(0) = 0,x(0) = a (a>0).
(б) x
§11. Пополнение метрического
пространства
Ценность утверждений математики за-
ключается в их абстрактности и общности.
A. Уайтхед
В этом параграфе описывается конструкция, позволяющая для каждого неполного МП (X, ρ) построить соответствующее ему ПМП (Y,σ)
с помощью присоединения к множеству X «недостающих» элементов, которые являются пределами фундаментальных последовательностей точек
МП (X, ρ), не сходящимися в нем. При этом МП (X, ρ) рассматривается
как подпространство полученного ПМП (Y, σ), что позволяет использовать
все преимущества полноты.
МП (Y,σ) называется пополнением пространства (X, ρ),еслионоудовлетворяет следующим условиям:
(1) (Y,σ) —ПМП;
(2) пространство (Y, σ) содержит подпространство (Y
),изометрич-
0,σY
0
ное пространству (X, ρ);
(3) множество Y
всюду плотно в пространстве (Y, σ).
0
Теорема 11.1. Каждое МП имеет пополнение.
Рассмотрим множество
стей в (X, ρ).Еслиξ =(x
последовательность (ρ(x
,x
n
всех фундаментальных последовательно-
) и η =(x
n
)) будет фундаментальной в силу неравенства
n
) две точки из,точисловая
n
четырехугольника (см. задачу 1.2)
,x
n
) − ρ(x
n
|ρ(x
Поэтому, учитывая полноту пространства R имеем, что существует предел
числовой последовательности (ρ(x
т. е.
,x
)| ρ(x
m
m
,x
n
˜ρ(ξ,η) := lim
n→∞
,x
)+ρ(x
n
m
)), который обозначим через ˜ρ(ξ, η),
n
ρ(x
,x
n
n
,x
).
n
m
). (11.1)
§11. ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 105
Легко видеть, что величина ˜ρ(ξ, η) обладает следующими свойствами:
˜ρ(ξ,η) 0,
˜ρ(ξ,ξ)=0,
˜ρ(ξ,η)=˜ρ(η, ξ),
˜ρ(ξ,η) ˜ρ(ξ, ζ)+˜ρ(ζ, η),
где ξ, η, ζ — произвольные точки множества
. Заметим, что равенство ˜ρ(ξ, η)=0не означает, вообще говоря, что ξ = η,т.е.˜ρ не является
метрикой на
Введем на множестве
.
отношение E = {(ξ,η): ˜ρ(ξ, η)=0}.Этоот-
ношение, в силу приведенных свойств ˜ρ(ξ, η), является отношением эквива-
лентности и, следовательно, разбивает множество
на непересекающиеся
классы эквивалентных фундаментальных последовательностей.
Обозначим через Y =
шению E (см. пункт 0.4). Введем на множестве Y метрику. Если y =[(x
и y
=[(x
)] — классы эквивалентности, содержащие фундаментальные
n
последовательности (x
/E фактор-множество множествапо отно-
) и (x
n
),тоположим
n
σ(y, y
) = lim
n→∞
ρ(xn,x
). (11.2)
n
n
Как было доказано выше, предел в правой части (11.2) существует. Кроме того, он не зависит от выбора последовательностей в классах y и y
Действительно, пусть (˜x
n
) и (˜x
) — другие представители классов y и y,
n
соответственно. Тогда из неравенства четырехугольника
|ρ(x
,x
n
n
) −ρ(˜xn, ˜x
)| ρ(xn, ˜x
n
)+ρ(˜xn,x
n
)
n
следует равенство
lim
n→∞
ρ(xn,x
) = lim
n
n→∞
ρ(˜xn, ˜x
).
n
Далее из свойств величины ˜ρ(ξ,η), определенной равенством (11.1), по-
лучаем, что функция σ удовлетворяет аксиомам метрики. Таким образом,
множество классов эквивалентных фундаментальных последовательностей
из Y сметрикойσ является МП.
Рассмотрим отображение p: X → Y , которое каждой точке x ∈ X ставит в соответствие класс эквивалентности [(x)], содержащий стационарную
последовательность (x). Этот класс будет содержать также все фундаментальные последовательности, сходящиеся к точке x.ПоложимY
= p(X).
0
Тогда функция
σ
([(x)], [(x)]) = ρ(x, x)
Y
0
)]
.
106 §11. ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
определяет метрику, индуцированную метрикой σ на множество Y0.Следовательно, (Y
ние p :(X, ρ) → (Y
Покажем, что Y
некоторый элемент множества Y и (x
из класса y. Тогда для любого ε>0 найдется число k
всех номеров n>k
Рассмотрим элемент y
x
— элемент последовательности (xn) с номером m0>k0. Тогда, пере-
m
0
) — подпространство пространства (Y,σ), а отображе-
0,σY
0
) является изометрией.
0,σY
0
— всюду плотное множество в (Y, σ).Пустьy —
0
и m>k0выполняется неравенство
0
ρ(x
∈ Y0, определенный равенством y0= p(x
0
) — произвольная последовательность
n
n,xm
ε
. (11.3)
) <
2
∈ N,такое,чтодля
0
m
0
),где
ходя в неравенстве
n,xm
0
) <
2
0
ρ(x
ε
,n>k
кпределуприn →∞,получим
0
)
ε
<ε.
2
. Таким обра-
0
)) → 0 при n →∞.Зна-
n
n
n
) —фунда-
σ(y, y
т. е. элемент y является точкой прикосновения множества Y
зом, для каждого элемента y ∈ Y существует последовательность (x
в пространстве (X, ρ), такая, что σ(y, p(x
Y0= Y .
чит,
Остается доказать полноту пространства (Y, σ).Пусть(y
ментальная последовательность в (Y, σ). Возьмем последовательность положительных чисел (ε
в (Y, σ),тодлякаждогоy
(n)
,y
σ(y
) <εn. Из неравенства
n
0
(n)
σ(y
,y
0
следует, что последовательность (y
последовательность точек x
онарных последовательностей (x
(2)
, .... Эта последовательность фундаментальна в (X, ρ),ипоэтомуона
y
0
): εn→ 0. Так как множество Y0всюду плотно
(m)
0
n
∈ Y найдется элемент y
n
) σ(y
(n)
0
<ε
+ εm+ σ(yn,ym)
n
(1)
, x
0
,yn)+σ(ym,y
(n)
) фундаментальна в (Y, σ). Построим
0
(2)
, ... множества X , где каждая из стаци-
0
(1)
), (x
0
(m)
0
(2)
), ... принадлежит классу y
0
(n)
∈ Y0,такой,что
0
)+σ(yn,ym) <
(1)
0
определяет некоторый класс y ∈ Y . Используя неравенство треугольника,
получаем
,y) σ(yn,y
σ(y
n
(n)
0
)+σ(y
(n)
,y) <εn+ σ(y
0
(n)
0
,y).
)
,
§11. ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 107
Отсюда, с учетом соотношения σ(y
что y
→ y в (Y, σ) и полнота пространства (Y, σ) доказана.
n
Теорема 11.2. Пусть (Y
1,σ1
странства (X, ρ).Тогда существует изометрия f :(Y
(n)
,y) → 0 при n →∞, заключаем,
0
) и (Y2,σ2) — любые два пополнения про-
) → (Y2,σ2) та-
1,σ1
кая, что f (x)=x для всех x ∈ X (т. е. изометрия f оставляет на месте
точки из множества X).
Для каждого i =1, 2 обозначим через p
отображение, у которого образ p
ления пополнения, для каждого y
ность (x
= lim
n→∞
ние f : Y
) из (X,ρ),что lim
n
p2(xn) (в (Y2,σ2)). Определим по формуле f(y1)=y2отображе-
→ Y2, которое является изометрией Y1на Y2. Действительно, из
1
(X) всюду плотно в (Yi,σi).Изопреде-
i
∈ Y1существует такая последователь-
1
p1(xn)=y1(в (Y1,σ1)). Положим y2=
n→∞
: X → Yiизометричное
i
непрерывности метрики как функции двух переменных получим равенства
σ
1(y1
где f(y
,y
) = lim
1
n→∞
= lim
n→∞
)=y2и f(y
1
σ1(p1(xn),p2(x
σ2(p2(xn),p2(x
)=y
1
. Отсюда следует, что отображение f : Y1→ Y
2
)) = lim
n
n→∞
)) = σ2(y2,y
n
ρ(xn,x
)=
n
)=σ2(f(y1),f(y
2
)),
1
определено корректно. При этом f является взаимно одназначным соответствием. То, что отображение f оставляет на месте точки из множества X,
непосредственно следует из его определения.
З а м е ч а н и е 11.1. Рассмотрим теорию иррациональных чисел,известную как канторовская теория вещественных чисел. Возьмем неполное
пространство рациональных чисел (Q,ρ
) севклидовойметрикойρ(x, y)=
Q
= |x−y|,ипусть(Y,σ) — его пополнение. «Недостающие» точки простран-
ства (Q,ρ
) назовем иррациональными числами. Иначе говоря, согласно
Q
конструкции, приведенной в доказательстве теоремы 11.1, иррациональным
числом считают класс эквивалентных фундаментальных последовательно-
стей рациональных чисел, не имеющих предела в пространстве (Q,ρ
Q
Например, класс эквивалентных фундаментальных последовательностей,
содержащий последовательность
2
).
x
n
=1+
1
+ ... +
2!
n!
1
,
есть иррациональное число e, а класс, содержащий последовательность рациональных чисел x
=3; x2=3, 1; x3=3, 141; ..., есть иррациональное
1
число число π =3, 1459259 ... (т. е. запись иррационального числа в виде
108 §11. ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
бесконечной непериодической десятичной дроби представляет собой выбор
класса фундаментальных последовательностей).
В множестве действительных (иррациональных и рациональных) чисел введем отношение линейного порядка. Пусть ξ ∈ Y и (x
извольная фундаментальная последовательность точек x
положим ξ
ность (x), x ∈ Q.Еслиξ и ξ
= x, если класс ξxсодержит стационарную последователь-
x
— различные классы, то из определения
x
метрики σ (см. формулу (11.2)) получим, что либо x
n
>x,либоxn<xдля
n
) — про-
n
∈ Q,приэтом
достаточно больших n. В этом случае полагаем ξ>x, а во втором — ξ<x,
при этом результат не зависит от выбора последовательности (x
Если ξ
довательностей (x
либо x
а во втором ξ
, ξ2— два иррациональных числа, то при любом выборе после-
(1)
n
1
<x
(2)
n
1>ξ2
(1)
) из ξ1и (x
n
,либоx
.
(1)
n
(2)
) из ξ2для достаточно больших n имеем
n
(2)
>x
. В первом случае полагаем ξ1<ξ2,
n
).
n
Так как для каждого ξ ∈ Y существует фундаментальная последовательность (x
) точек из (Q,ρQ), такая, что σ(ξ, p(xn)) → 0 при n →∞
n
(т. е. всякое иррациональное число есть предел некоторой последовательности рациональных чисел), то это позволяет определить действия над действительными числами. Рассмотрим для примера сумму действительных
чисел ξ
такие, что σ(ξ
и ξ2.Пусть(ξ
1
,p(x
1
последовательности (ξ
(1)
n
(1)
)) → 0 и σ(ξ2,p(x
n
(1)
n
мент ξ ∈ Y , для которого σ(ξ, p(x
суммой данных чисел ξ
1
), (ξ
)+(ξ
и ξ2.
(2)
) — две последовательности из (Q,ρQ),
n
(2)
) иполноты(Y,σ) имеем, что найдется эле-
n
(1)
n
(2)
)) → 0. Из фундаментальности
n
(2)
+ x
)) → 0. Этот элемент называют
n
Задачи и упражнения
11.1. Доказать, что если (X, ρ) — ПМП, то пополнением подпростран-
ства (A, ρ
), A ⊂ X , является пространство (A, ρA).
A
11.2. Доказать неполноту и построить пополнения следующих про-
странств:
(а) множество R с расстоянием ρ(x, y)=|arctg x − arctg y|;
(б) множество R с расстоянием ρ(x, y)=|e
x
− ey|.
11.3. На множестве {[a, b]:a, b ∈ R,a < b} отрезков пространства R
определим расстояние формулой
ρ([a, b], [c, d]) = |a − c| + |b − d|.
Доказать неполноту и найти пополнение полученного пространства.
§11. ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 109
11.4. Пусть f — изометрическое отображение пространства (X, ρ)
в полное пространство (Y, σ). Доказать, что подпространство(
f(X ),σ
f(X)
пространства (Y,σ) является пополнением пространства (X, ρ).
11.5. Пусть {(X
странств и {(Y
i,σi
):i ∈ N} — семейство неполных метрических про-
i,ρi
):i ∈ N} — соответствующие им пополнения. Доказать,
что произведение пополнений является пополнением произведения этих
пространств.
11.6. Доказать, что если МП сепарабельно, то его пополнение также
сепарабельно.
11.7. На множестве N натуральных чисел будем всевозможными спосо-
бами задавать метрики и строить пополнения. Показать, что в этом случае
будем получать сепарабельные ПМП с бесконечным числом точек.
11.8. На множестве полиномов P [a, b], заданных на отрезке [a, b] чи-
словой прямой R, определим расстояние
)
ρ(x, y)= max
atb
|x(t) −y(t)|.
Показать, что пространство (P [a, b],ρ) — неполно и его пополнением явля-
ется пространство C[a, b].
11.9. Пополнение пространства˜L
пространством Лебега и обозначается L
ство L
[a, b] сепарабельно?
p
11.10. Пополнение пространства W
странством Соболева и обозначается W
многочленов всюду плотно в пространстве W
0
11.11 Пусть l
— пространство, состоящее из финитных последователь-
p
[a, b] (пример 2.12) называется
p
[a, b].Прикакихp простран-
p
l
[a, b] (пример 2.13) называется про-
p
l
[a, b]. Доказать, что множество
p
l
[a, b] (1 p<∞).
p
ностей, т.е. из последовательностей вида
1,ξ2
k
1
|ξi− ηi|p+
i=1
,...,ξ
x =(ξ
где k
— некоторое натуральное число, с метрикой
1
ρ(x, y)=
если y =(η
0
.
ства l
p
1,η2
,...η
, 0, 0,...) и k2 k1. Найти пополнение простран-
k
2
, 0,...),
k
1
k
i=k1+1
1
|ηi|
p
p
,
2
§12. Вполне ограниченные пространства
. . . свойство, общее для слишком многих
обьектов, вряд ли может быть очень интересным, и математические идеи также становятся скучными, если не обладают индивидуальностью в достаточной мере.
Г. Харди
Система подмножеств
покрытием пространства (X, ρ),еслиX ={U
Покрытие
называется открытым (или, соответственно, замкну-
тым), если каждое из множеств U
замкнуто) в пространстве (X, ρ).
Подсистема
крытием покрытия
0
Пространство (X, ρ) называется вполне ограниченным, если для любого
числа ε>0 существует конечное открытое покрытие пространства (X, ρ)
множествами диаметра меньше ε,т.е.длялюбогоε>0 найдется конечное
семейство открытых множеств {U
1,k} и d(U
=
ε
) <εдля любого i = 1,k.
i
Теорема 12.1. Для того чтобы пространство (X, ρ) было вполне огра-
ниченным, необходимо и достаточно, чтобы каждому ε>0 соответствовало конечное множество A
была точка x ∈ X .
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть (X, ρ) — вполне ограниченное
МП и число ε>0. Тогда для каждого n ∈ N найдется конечное семейство
непустых открытых подмножеств {U
n
X = U
∪ U
1
2
Из каждого множества U
ство A
1
n
= {x
n
, ...,x
1
= {Us: s ∈ S} множества X называется
: s ∈ S}.
s
∈открыто (или, соответственно,
s
покрытия
, если сама система
n
∪ ... ∪ U
n
} есть искомое множество (при ε>
k
n
пространства (X,ρ) называется подпо-
образует покрытие (X, ρ).
0
ε
: i = 1,k},таких,чтоX ={U
i
⊂ X, такое, что ρ(x, Aε) <ε, какова бы ни
ε
n
n
,U
, ...,U
1
2
n
,d(U
k
n
n
выберем по одной точке x
i
n
i
) <
n
k
n
1
для 1 i k
n
ε
: i =
i
} МП (X, ρ),такое,что
.
n
n
.Тогдамноже-
i
1
).
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]