Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
§7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 81
7.20. Пусть (M,ρM) — подпространство пространства (X,ρ) идля
непрерывного отображения f :(M, ρ
рывное отображение g :(X, ρ) → (Y, σ),чтоg|
) → (Y,σ) существует такое непре-
M
= f. Тогда говорят, что f
M
непрерывно продолжается на пространство (X, ρ). Отображение g вэтом
случае называется непрерывным продолжением отображения f на (X, ρ).
Доказать, что если A — замкнутое подмножество пространства (X, ρ),
то для любого непрерывного отображения f :(A, ρ
) → R илюбойметри-
A
ки ρ на пространстве (X, ρ) формула
-
⎧
g(x)=
⎪
⎨
inf
f(a)+
a∈A
⎪
⎩
f(x), если x ∈ A,
ρ(x, a)
ρ(x, A)
− 1., если x ∈ X \ A,
определяет непрерывное продолжение отображения f на (X, ρ).
7.21. Пусть f — изометрия пространства (X, ρ) на (Y, σ). Показать, что
(а) f является взаимно однозначным и равномерно непрерывным отоб-
ражением;
(б) обратное отображение f
−1
также является изометрией этих про-
странств.
§8. Полные метрические пространства
О глубине идеи, заложенной в формулировке
нового математического понятия, можно судить
лишь впоследствии по тому, насколько искуссно удается использовать это понятие.
Е. Вигнер. Этюды о симметрии
Последовательность (x
) точек пространства (X, ρ) называется фунда-
n
ментальной последовательностью (или последовательностью Коши,или
последовательностью, сходящейся в себе), если она удовлетворяет условию
Коши
ρ(xi,xj)=0,
lim
i→∞,j→∞
которое означает, что для любого числа ε>0 существует такой номер k
что для всех номеров i и j, удовлетворяющих условию i k
, j kε,
ε
ε
справедливо неравенство
ρ(x
) <ε. (∗)
i,xj
Усл ов ие (∗) можно сформулировать в следующем виде: для любо-
го ε>0 существует такой номер n
, что для всех номеров i>nεивсех
ε
целых неотрицательных чисел p имеет место неравенство
ρ(x
) <ε. (∗∗)
i,xi+p
Для того чтобы убедиться в равносильности условий (∗) и (∗∗),доста-
точно положить p = i −j,еслиi j,иp = j −i,еслиj i.
Предложение 8.1. Любая сходящаяся последовательность является
фундаментальной последовательностью.
Из последнего предложения заключаем, что понятие фундаментальной
последовательности есть более общее понятие, чем сходящаяся последовательность (т. е. существуют фундаментальные последовательности, которые
не являются сходящимися).
,
§8. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 83
Предложение 8.2. Пусть (xn) — фундаментальная последовательность в (X, ρ). Тогда для любой последовательности (ε
подпоследовательность (x
ρ(x
), удовлетворяющая условию
k
n
,x
k
n
) <εn,n=1, 2,... .
k
n+1
), εn> 0, найдется
n
В силу фундаментальности последовательности (x
> 0 ∃kn: ρ(xm,x
∀ε
n
Полагая в последней формуле m = k
что (x
) — требуемая последовательность.
k
n
) <εn, ∀m, m kn.
m
, m= k
n
при m>m, заключаем,
n+1
Предложение 8.3. Если фундаментальная последовательность (x
имеет сходящуюся подпоследовательность (x
последовательность (x
) сходится к x0: xn→ x0.
n
), x
k
n
Пусть ε>0. Тогда существует натуральное число n
что ρ(x
i,xj
следует, что найдется такой номер n1,чтоρ(x
Полагая n
ε
) <
=max{n0,n1} при kn n n2,получим
2
для любых i,j n0. С другой стороны, из x
2
k
ε
,ρ(x
ρ(x
n,xk
n
) <
2
,x0) <
k
n
,x0) <
n
ε
2
) имеем:
n
→ x0,тоисама
k
n
0
k
ε
при n n1.
2
.
n
,такое,
→ x
n
Отсюда, в силу неравенства треугольника, имеем
ρ(x
n,x0
Это означает, что x
) ρ(xn,x
→ x0при n →∞.
n
)+ρ(x
k
n
,x0) <ε, n>n2.
k
n
МП называется полным (сокращенно ПМП), если в нем любая фундаментальная последовательность сходится к некоторой точке этого пространства. При этом если (X, ρ) —ПМП,тометрикаρ называется полной.
С учетом предложения 8.1 можно сказать, что МП является полным,
если в нем имеется тождественность между фундаментальными и сходящимися последовательностями, или, другими словами, последовательность
будет сходящейся в ПМП тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
З а м е ч а н и е 8.1. Важность понятия полноты проистекает из того, что нет необходимости в отыскании предела для последовательности,
достаточно показать, что она фундаментальна.
)
0
84 §8. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Полноту пространства характеризует
Теорема Кантора. МП (X, ρ) полно тогда и только тогда, когда
каждая убывающая последовательность (F
мкнутых множеств в (X, ρ), таких, что lim
пересечение ∩{F
: n ∈ N} = ∅.
n
), F
n
d(Fn)=0, имеет непустое
n→∞
⊂ Fn, непустых за-
n+1
Пусть (X, ρ) —ПМПи(F
) — последовательность непустых замкну-
n
тых множеств в (X, ρ),таких,что
lim
d(Fn)=0,F
n→∞
Выберем точку x
тельности (x
шения d(F
n
), начиная с n-го, содержатся в множестве Fn. Из соотно-
k
) → 0 при n →∞получаем, что (xk) — фундаментальная
∈ Fk, k =1, 2,.... Тогда все члены последова-
k
последовательность и, в силу полноты (X, ρ), существует точка x
что x
номера n ∈ N. Следовательно, ∩{F
→ x0. Так как множества Fnзамкнуты, то x0∈ Fnдля каждого
k
n
⊂ Fn,n∈ N. (8.1)
n+1
: n ∈ N} = ∅.
0
∈ X ,
Обратно, пусть в пространстве (X, ρ) выполнено условие теоремы
) — фундаментальная последовательность в (X, ρ).Положим
и (x
n
F
= {xn,x
n
Учитывая, что множества F
влетворяют соотношениям (8.1), имеем ∩{F
∈ Fn, для любого n ∈ N, которая является пределом
последовательности (x
0
ким образом, (x
→ x0∈ X . Отсюда, согласно предложению 8.3, окончательно получа-
и x
n
k
n
),гдеx
k
n
) есть подпоследовательность последовательности (xn)
,...},n=1, 2,....
n+1
являются замкнутыми в (X, ρ) иудо-
n
∈ Fnдля каждого n =1, 2, ....Та-
k
n
: n ∈ N} = ∅,т.е.суще-
n
ем, что (X, ρ) —ПМП.
Следствие 8.1. Пространство R (т. е. множество всех действитель-
ных чисел R с евклидовой метрикой ρ(x, y)=|x − y|) является полным.
(Для доказательства достаточно воспользоваться замкнутостью отрезка [a,b] в пространстве R и теоремой Кантора о стягивающейся системе
отрезков (см., например, [13], [27]).)
Теорема 8.1. Пусть (X, ρ) — ПМП. Для того чтобы подпростран-
ство (A, ρ
) пространства (X, ρ) было полным, необходимо и достаточно,
A
чтобы множество A было замкнутым в (X, ρ).
§8. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 85
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть подпространство (A, ρA) полно и x —
произвольная точка множества
A.Длякаждогочислаn ∈ N положим
F
= A ∩ BX(x, n−1),
n
где B
теоремы Кантора. Следовательно, в силу полноты подпространства (A, ρ
имеем:
ипотому
(x, n−1) — открытый шар в пространстве (X, ρ).
X
Ясно, что последовательность (F
∞
Fn= ∅. Так как справедливо включение
n=1
) из (A, ρA) удовлетворяет условию
n
A ⊂ A, т. е. имеет место равенство A = A.
∞
Fn⊂{x},тоx ∈ A,
n=1
)
A
Достаточность.ПустьмножествоA ⊂ X замкнуто в ПМП
(X, ρ),т.е.A =
что каждая последовательность Коши в подпространстве (A, ρ
A. Из определения индуцированной метрики ρAимеем,
) является
A
последовательностью Коши и в пространстве (X, ρ). Следовательно, в силу
полноты (X, ρ) она будет сходится к некоторой точке x ∈ X,авсилу
замкнутости множества A получим, что x ∈ A.
З а м е ч а н и е 8.2. Отметим, что при доказательстве необходимости теоремы 8.1 не использовали полноту пространства (X, ρ), т. е. доказано более
сильное утверждение: если подпространство (A, ρ
Теорема 8.2. Если (Y, σ) —ПМП,тоC
Пусть (f
) — последовательность Коши в пространстве Cb(X, Y )
n
(X, Y ) —ПМП.
b
(см. теорему 7.5). Тогда последовательность (f
) пространства (X, ρ)
A
(x)) является фундамен-
n
тальной последовательностью в полном пространстве (Y, σ) для любой
точки x ∈ X и, следовательно, имеет в нем предел. Тем самым определено отображение f :(X,ρ) → (Y,σ), которое каждой точке x ∈ X ставит
в соответствие lim
fn(x) ∈ Y . Так как последовательность (fn) равномер-
n→∞
но сходится на пространстве (X, ρ) к f , то, в силу теоремы 7.6(б), получаем,
что f — ограниченное и непрерывное отображение, т. е. f ∈ C
(X, Y ).
b
Теорема 8.3 (теорема Куратовского). Каждое МП изометрично подпространству ПМП.
Пусть (X, ρ) — произвольное МП. Зафиксируем некоторую точку a ∈ X. Поставим в соответствие каждой точке x ∈ X функцию f
которая определена на множестве X и задана формулой
f
(z)=ρ(z, x) − ρ(z,a),z∈ X. (8.2)
x
,
x
86 §8. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Так как |fx(z)| ρ(a, x),тоfx∈ Cb(X, R) для любого x ∈ X,
(X, R) — ПМП, в силу следствия 8.1 и теоремы 8.2, с метрикой
где C
b
ˆρ(f,g)=sup{|f (x) − g(x)| : x ∈ X }. (8.3)
Докажем равенство
ˆρ(f
)=ρ(x, y) для всех x, y ∈ X. (8.4)
x,fy
Для любого z ∈ X имеет место неравенство
f
(z) − fy(z)=ρ(z, x) − ρ(z,a) − ρ(z, y)+ρ(z,a) ρ(x, y).
x
Из условия симметрии вытекает, что
|f
(z) −fy(z)| ρ(x, y).
x
Отсюда, в силу (8.3), получаем
ˆρ(f
) ρ(x, y). (8.5)
x,fy
С другой стороны, так как
f
(y) − fy(y)=ρ(y, x) − ρ(y, a)+ρ(y,a)=ρ(x, y),
x
то из определения метрики ˆρ заключаем, что
ˆρ(f
) ρ(x, y),x,y∈ X. (8.6)
x,fy
Из неравенств (8.5) и (8.6) следует справедливость (8.4), т.е. изометричность (X, ρ) и подпространства функции из ПМП C
(X, R),представи-
b
мых в виде равенства (8.2).
Задачи и упражнения
8.1.(а) Установить следующие свойства фундаментальной последова-
тельности (x
):
n
(i) для любого положительного числа ε найдется элемент x
ментальной последовательности (x
B(x
,ε) находятся все элементы xnэтой последовательности с но-
n
0
мерами n, удовлетворяющими условию n n
), такой, что в открытом шаре
n
(или другими словами:
0
n
0
для любого ε>0 найдется элемент фундаментальной последователь-
ности x
, такой, что вне открытого шара B(x
n
0
,ε) лежит не более
n
0
чем конечное число элементов этой последовательности);
фунда-
§8. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 87
(ii) фундаментальная последовательность является ограниченной;
(iii) любая подпоследовательность фундаментальной последовательности
фундаментальна.
(б) Пусть (x
), (yn) — две произвольные фундаментальные последова-
n
тельности в пространстве (X, ρ). Показать, что последовательность чисел
),гдеan= ρ(xn,yn) для каждого n ∈ N, сходится (в пространстве R).
(a
n
(в) Пусть (x
) — фундаментальная последоватнльность в МП (X, ρ).
n
Доказать, что для любой точки x ∈X существует конечный предел
ρ(xn,x)=r(x),
lim
n→∞
причем функция r :(X, ρ) → R неотрицательна и непрерывна.
(г) Для того чтобы последовательность точек z
=(xn,yn) в произве-
n
дении пространств (X × Y, ρ × σ) была фундаментальной последовательностью, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (x
фундаментальной в (X, ρ),а(y
8.2. Пусть (x
= {xk,x
и G
k
) — последовательность точек пространства (X, ρ)
n
, ...}, k ∈ N. Доказать, что (xn) — фундаментальная
k+1
последовательность тогда и только тогда, когда lim
) —в(Y,σ).
n
k→∞
d(Gk)=0.
) была
n
8.3. Приведите пример последовательности, которая фундаментальна
в пространстве (R,ρ
),гдеρ1(x, y)=|arctg x − arctg y|,ноневпростран-
1
стве R.
8.4. Пусть (x
ва, что ρ(x
n,yn
фундаментальна, причем y
) — фундаментальная последовательность, а (yn) тако-
n
) → 0, то в этом случае последовательность (yn) также
→ y тогда и только тогда, когда xn→ y.
n
8.5. Доказать, что
(a) пространство C[a, b] с чебышевской метрикой (пример 2.9) полно;
(б) пространствоL
[a, b] неполно (пример 2.12);
p
(в) множество всех непрерывных функций на числовой прямой R
сметрикой
max
ρ(x, y)=
∞
n=1
1
n
2
·
1+ max
[−n,n]
[−n,n]
|x(t) −y(t)|
|x(t) − y(t)|
является полным (обозначается C(R));
88 §8. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(г) множество функций, удовлетворяющих условию Гельдера степени
α>0 на отрезке [a, b] (если существует постоянная c>0,чтодля
всех t
− t
2
∈ [a, b], выполняется неравенство |x(t1) −x(t2)| c|t1−
1,t2
|α)сметрикой
ρ(x, y)= sup
является полным пространством. Оно называется пространством
Гельдера и обозначается H
8.6. Пусть {(X
|x(t) −y(t)|+
atb
+sup
at1<t2b
):i ∈ N} — семейство пространств с метриками ρi,
i,ρi
|[x(t2) −y(t2)] − [x(t1) −y(t1)]|
α
α
[a, b].
|t2− t1|
ограниченными числом 1. Доказать, что декартово произведение семейства
множеств {X
полно тогда и только тогда, когда каждое из пространств (X
Выведите отсюда, что пространства l
: i ∈ N} (см. пункт 0.2) с метрикой
i
∞
ρ(x, y)=
1
· ρi(xi,yi),x=(xi),y=(yi),xi,yi∈ Xi,
i
2
i=1
(1 p ∞), Rnполные.
p
i,ρi
) полно.
8.7. (a) Проверить, что МП, изометричное ПМП, является полным.
(б) Приведите пример двух гомеоморфных МП, когда одно из них пол-
ное,адругоенет.
8.8. (a) Пусть (X, ρ
ли (X, ρ
) полным?
2
(б) Что можно утверждать о полноте пространств (X, ρ
=
1, 5)—метрикииззадачи1.4?
) —ПМПиметрикаρ1эквивалентна ρ2.Будет
1
),гдеρi(i =
i
(в) Является ли дискретное МП полным?
8.9. (a) Пусть M — счетное подмножество пространства l
,состоящее
1
из элементов вида
, 1+
1
+
,
2
2
, n ∈ N, имеет пустое пересечение.
n
x
=(0, 0, ...,0
n
Доказать, что M замкнуто в пространстве l
ность замкнутых шаров
B
n−1
x
M
n
1
, 0,...).
n
и убывающая последователь-
1
§8. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 89
(б) Построить в пространстве R последовательность вложенных друг
в друга замкнутых непустых множеств с пустым пересечением.
8.10. Доказать, что
(a) множество натуральных чисел N сметрикой
⎧
1
1+
, если n = m,
n + m
0, если n = m,
ρ(n, m)=
⎨
⎩
является ПМП;
(б) последовательность замкнутых вложенных шаров
Bn, 1+
2n
1
n∈N, не имеет общей точки в ПМП (N,ρ) (см. пункт (а)).
8.11. Пусть (X, ρ) — полное пространство с ограниченной метрикой ρ,
U — собственное непустое открытое множество в (X, ρ) и функция g зада-
ется формулой
g(x)=
1
ρ(x, X \ U )
,x∈ U.
Доказать, что функция
ρ
(x, y)=ρ(x, y)+|g(x) − g(y)|,x,y∈ U
U
является полной метрикой на множестве U .
8.12. Пусть (X, ρ) — ограниченное полное пространство, и пусть G —
совокупность всех взаимно однозначных и взаимно непрерывных отображений (X, ρ) на (X, ρ).ВведемнаG функцию
σ(f
)=sup$ρ (f1(x),f2(x)) + ρf
1,f2
1
−1
(x),f
−1
(x): x ∈ X%.
2
Доказать, что σ — полная метрика на G.
8.13. Пусть (X,ρ) — ПМП и отображение f ∈ C(X). Доказать, что
если(F
из (X, ρ),таких,чтоd(F
) — убывающая последовательность непустых замкнутых множеств
n
) → 0 при n →∞, то справедливо равенство
n
f
∞
n=1
∞
F
f(Fn).
=
n
n=1
,
8.14. Доказать, что если любая последовательность точек простран-
ства (X, ρ) содержит фундаментальную подпоследовательность, то пространство (X, ρ) сепарабельно.
§9. Теорема Бэра о категории
«Серьезность» теоремыкроется не в прак-
тических следствиях из нее (обычно они ничтожны), а в значимости математических
идей, между которыми устанавливается взаимосвязь.
В теории полных пространств важную роль играет следующая
Г. Харди
Теорема 9.1. Если (X,ρ) —ПМПи(G
непустых открытых всюду плотных подмножеств пространства (X, ρ),
то множество G =
∞
Gnнепустоивсюдуплотнов(X, ρ).
n=1
) — последовательность
n
Заметим, что, согласно теореме 6.2(а), всюду плотное множество
имеет непустое пересечение с любым открытым множеством (шаром). Рассмотрим шар B(x
ство G
открыто и непусто. В непустом открытом множестве B(x1,
1
выберем шар B(x2,r2),гдеr2<
в пересечении B(x
те получим убывающую последовательность замкнутых шаров (
для которых выполнены включения
B(xk,
) ⊂ G1, который существует в силу того, что множе-
1,r1
r
1
. Аналогично, выберем шар B(x3,r3)
r
2
,
) ∩ G3, причем возьмем r3<
2
4
r
k
) ⊂ B(x
2
k,rk
4
) ⊂ B(x
k−1
r
k−1
),k =2, 3,...,
,
2
r
2
ит.д.Врезульта-
8
r
2
B(xk,
1
)∩G
r
k
)),
2
и их радиусы стремятся к нулю. Согласно теореме Кантора, существует
r
точка x
∈ X , такая, что x0∈ B(xk,
0
построения шаров B(x
) заключаем, что x0∈ G,т.е.G = ∅.
k,rk
k
) для любого k =1, 2,...,авсилу
2
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]