Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
§13. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 121
13.6. Доказать, что непрерывное отображение компактного пространства в произвольное МП является замкнутым отображением.
13.7. Пусть f :(X, ρ) → (Y,σ) — непрерывное инъективное отображе-
ние компактного пространства (X, ρ) на пространство (Y, σ). Доказать, что
отображение является гомеоморфизмом.
13.8. Пусть (X, ρ) — компактное МП и f — отображение (X, ρ) всебя
такое, что ρ(f (x),f(y)) ρ(x, y) для всех x, y ∈ X . Показать, что то-
гда f —изометрия(X, ρ) на (X,ρ). Будет ли отображение f изометрией,
если ρ(f(x),f(y)) ρ(x, y) для всех x, y ∈ X?
13.9. Доказать (теорема Дини): если монотонная последовательность
непрерывных функций f
:(X,ρ) → R, определенных на компактном про-
n
странстве (X, ρ), сходится поточечно на X к непрерывной функции f
на (X, ρ), то эта последовательность сходится равномерно на пространстве (X, ρ).
13.10. Непустое семейство
ства (X, ρ) называется центрированным,еслиF
каждой конечной системы индексов {s
= {Fs: s ∈ S} множеств простран-
, ...,sn}⊂S.
1,s2
∩ ... ∩ F
s
1
= ∅ для
s
n
Доказать, что МП компактно в том и только в том случае, если каждое
центрированное семейство замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение.
13.11. Доказать, что для любого открытого покрытия
={At: t∈T }
компактного пространства (X, ρ) существует такое число ε>0,чтопокрытие {B(x, ε):x ∈ X} вписано в
существует шар B(x, ε),такой,чтоB(x, ε) ⊂ A
,т.е.длякаждогоиндексаt0∈ T
(теорема Лебега о по-
t
0
крытии компактного пространства).
Всякое положительное число ε, удовлетворяющее теореме Лебега, на-
зывается числом Лебега покрытия
.
Используя теорему Лебега о покрытиях, доказать теорему 13.3.
13.12. Пусть (X, ρ) — компактное пространство и N (ε) —наименьшее
число элементов, которое может иметь ε-сеть пространства (X, ρ).Тогда
число log
Система множеств {A
диаметр каждого из этих множеств не меньше ε имножестваA
N(ε)=H (ε, X) называется ε-энтропией пространства (X, ρ).
2
: i = 1,k} в (X, ρ) называется ε-различимой,если
i
попарно
i
не пересекаются. Наибольшее число элементов, из которых может состоять
ε-различимая система в (X, ρ), обозначается через K(ε),ачислоlog
K(ε)=
2
= G(ε,X) называется ε-емкостью пространства (X, ρ).
Доказать, что для всякого ε>0 выполняется неравенство H (2ε, X)
G(ε, X ).
§14. Компактные и предкомпактные
множества
Для понятий, которые кажутся близкими
к чувственной интуиции, соответствующие математические объекты, в сущности, очень отличаются от того, что мы о них думаем.
Ж. Дьедонне
Множество M ⊂ X называется компактным в пространстве (X,ρ),
если подпространство (M,ρ
Теорема 14.1. Для компактности множества M ⊂ X в простран-
стве (X, ρ) необходимо и достаточно, чтобы каждое покрытие множества M открытыми в (X, ρ) множествами содержало конечное подпокрытие.
Необходимость.ПустьM — компактное множество
в (X, ρ) и {U
: s ∈ S} — произвольное его покрытие открытыми в (X, ρ)
s
множествами, т. е. M ⊂∪{U
дого s ∈ S. В силу теоремы 5.1, имеем, что {V
покрытие множествами из (M, ρ
что найдется конечное подпокрытие {V
система {U
покрытия {U
,...,U
s
1
: s ∈ S}.
s
} будет служить конечным подпокрытием исходного
s
n
Достаточность.Пустьвыполненоусловиетеоремы
: s ∈ S} — произвольное открытое покрытие пространства (M, ρM).
и {V
s
Из теоремы 5.1 имеем, что для каждого V
ство U
в (X,ρ),такое,чтоVs= M ∩ Us.Ясно,что{Us: s ∈ S} об-
s
разует покрытие пространства (M, ρ
ми. По условию, существует конечное подпокрытие {U
гда {V
пространство (M,ρ
,...,V
s
1
} — конечное подпокрытие покрытия {Vs: s ∈ S},поэтому
s
n
) — компактно.
M
) — компактное МП.
M
: s ∈ S}.ПоложимVs= M ∩ Usдля каж-
s
). Из компактности (M,ρM) получаем,
M
,...,V
s
1
s
) открытыми в (X,ρ) множества-
M
: s ∈ S} —открытое
s
}⊂{Vs: s ∈ S},атогда
s
n
найдется открытое множе-
,...,U
s
1
s
}.То-
n
§14. КОМПАКТНЫЕ И ПРЕДКОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 123
Предложение 14.1. Пусть M ⊂ A ⊂ X.МножествоM компактно
в пространстве (X, ρ) в том и только том случае, когда оно компактно
в подпространстве (A, ρ
A
).
З а м е ч а н и е 14.1. Из предложения 14.1 имеем, что свойство
множества быть компактным не зависит от пространства, в которое оно
положено.
Предложение 14.2. (а) Пусть {F
тых множеств в пространстве (X, ρ).МножествоF =
в пространстве (X, ρ) тогда и только тогда, когда все множества F
,...,Fn} — семейство замкну-
1,F2
n
Fkкомпактно
k=1
k
ком-
пактны.
(б) Любое компактное множество в ПМП замкнуто.
(в) В компактном пространстве всякое замкнутое множество ком-
пактно.
(б) Пусть M — компактное множество в (X, ρ),т.е.МП(M,ρ
M
компактно. Тогда, в силу теоремы 13.1, оно полно, а из теоремы 8.1 имеем,
что M — замкнутое множество в (X, ρ).
(в) Согласно теореме 13.1, компактное МП (X, ρ) является вполне ограниченным, а тогда множество M ⊂ X также вполне ограничено (см. предложение 12.2). С учетом замкнутости множества M , из теоремы 8.1 имеем,
что (M, ρ
иполноеМП,т.е.(M,ρ
) — ПМП. Таким образом, (M, ρM) есть вполне ограниченное
M
) — компактное МП.
M
Теорема 14.2. Для того, чтобы множество в ПМП было компактным,
необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и вполне ограниченным.
Из теоремы 14.2, в частности, получаем следующее утверждение:
множество пространства
n
R
компактно тогда и только тогда, когда оно огра-
под-
ничено и замкнуто.
Предложение 14.3. Всякое непустое компактное множество в пространстве R ограничено и имеет наименьший и наибольший элементы.
Допустим, что M — непустое компактное множество в R.Тогда
в силу частного случая теоремы 14.2 имеем, что множество M ограничено,
т. е. существуют a =infM , b =supM.
Из определения чисел a и b, для каждого числа n ∈ N найдутся такие
точки x
∈ M и yn∈ M , что выполняются следующие неравенства
n
a x
<a+
n
1
,b−
n
1
<y
b.
n
n
)
124 §14. КОМПАКТНЫЕ И ПРЕДКОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Отсюда, при n →∞, получаем: xn→ a, yn→ b. Теперь, учитывая замкну-
тость множества M ,имеем,чтоa ∈ M и b ∈ M .
Множество M ⊂ X называется предкомпактным (или относитель-
но компактным) в пространстве (X, ρ), если его замыкание
M компактно
в пространстве (X, ρ).
Свойства предкомпактных множеств в МП характеризует
Предложение 14.4. (а) Любое подмножество предкомпактного мно-
жества предкомпактно.
(б) Предкомпактное множество вполне ограничено.
(в) Вполне ограниченное множество в полном пространстве предком-
пактно.
(г) Объединение двух предкомпактных множеств предкомпактно.
(а) Пусть A ⊂ M ⊂ X ,гдемножествоM предкомпактно. Тогда мно-
жество
предложения 14.2(в), заключаем, что оно компактно в (
A замкнуто в компактном пространстве (M,ρM).Отсюда,сучетом
M,ρM),авсилу
предложения 14.1(б), оно будет компактным в (X, ρ).Значит,множествоA
предкомпактно в (X, ρ).
(б) Если множество M предкомпактно в (X, ρ), то из компактности
подпространства (
M,ρM), в силу теоремы 13.1, получаем, что (M,ρM) —
вполне ограничено, а тогда M как подмножество вполне ограниченного
пространства (см. предложение 12.2(а)) также вполне ограничено.
(в) Пусть множество A вполне ограничено в ПМП (X, ρ).Тогда(вси-
A, ρ
лу теоремы 8.1) (
что пространство (
) есть ПМП, а из предложения 12.2(б) заключаем,
¯
A
A, ρ
) вполне ограничено. Таким образом, согласно лем-
¯
A
ме 13.1, имеем, что множество A предкомпактно.
(г) Утверждение вытекает из предложения 14.2(а).
Теорема 14.3 (критерий Хаусдорфа). Подмножество M полного
пространства (X, ρ) предкомпактно тогда и только тогда, когда оно
вполне ограничено (или другими словами: для предкомпактности подмножества M полного пространства (X, ρ) необходимо и достаточно, чтобы при любом ε>0 существовала конечная ε-сеть для множества M
в (X, ρ)).
Грубо говоря, критерий Хаусдорфа о предкомпактности подмножества
ПМП устанавливает, что предкомпактное множество можно представлять
как «приближенно конечномерное» множество в том смысле, что для всякого ε>0 имеется конечное множество точек x
точка M лежитнедальшечемнаε от одной точки x
, ...,xn,такое,чтокаждая
1
.
i
§14. КОМПАКТНЫЕ И ПРЕДКОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 125
Аналогом теоремы Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции на отрезке [a, b] множества R (см., напри-
мер, [20], т. 1, стр. 193) является следующая
Теорема 14.4. Если f :(X, ρ) → R — непрерывная действительная
функция, определенная на компактном множестве M ⊂ X МП (X, ρ),
то она ограничена на M и принимает на нем наибольшее и наименьшее
значения, т. е. множество f(M ) ограничено в пространстве R и существуют две точки a, b ∈ M, такие, что
f(a)=min
f(x),f(b)=max
x∈M
x∈M
f(x).
Из теоремы 13.2(а) следует, что множество f (M ) компактно в про-
странстве R, а тогда, согласно предложению 14.3, множество f (M) имеет
наименьший и наибольший элементы.
Пусть p =min
f(x), q =max
x∈M
f(x),ипустьa ∈ M и b ∈ M таковы,
x∈M
что f (a)=p, f (b)=q. Так как для каждой точки x ∈ M справедливо
включение f (x) ∈ f(M ),то
f(a) p f(x) q f (b).
Отсюда видно, что f является ограниченной функцией и в точке a принимает наименьшее значение, а в точке b — наибольшее значение на множестве M .
Следствие 14.1. Если f — заданная на компактном подмножестве K
пространства (X, ρ) непрерывная и положительная функция, то существует число c>0, такое, что f(x) c для всех x ∈ K.
Так как f
теоремы 14.4, найдется точка a ∈ K , в которой f (a)= inf
(x) > 0 для любого x ∈ K (по условию), то, в силу
f(x).Следова-
x∈K
тельно, f (x) f(a)=c>0 при любом x ∈ K.
Задачи и упражнения
14.1. Доказать следующие утверждения:
(a) объединение конечного числа компактных множеств компактно
(в частности, множество, состоящее из конечного числа точек, компактно);
(б) пересечение любой совокупности компактных множеств компактно.
14.2. (а) Доказать, что любое неограниченное множество A ⊂ X про-
странства (X, ρ) не компактно.
126 §14. КОМПАКТНЫЕ И ПРЕДКОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА
(б) Показать, что пересечение компактного и замкнутого множеств компактно. Будет ли объединение компактного и замкнутого множеств компактным?
(в) Пусть множество K ⊂ X компактно в (X,ρ). Доказать, что для
n(ε)
) <ε.
i
Ki,гдеKi— непустые
i=1
любого ε>0 имеет место представление K =
компактные подмножества K диаметра d(K
(г) Доказать, что всякое МП, все замкнутые шары которого компактны,
полно.
14.3. (а) Пусть Q — множество всех рациональных чисел с метри-
(x, y)=|x −y|. Показать, что множество E = {x ∈ Q :2<x2< 3}
кой ρ
Q
замкнуто и ограничено, но не компактно в (Q,ρ
).
Q
(б) Доказать, что множество
{t · x(t):x ∈ C[0, 1], |x(t)| 1}
является замкнутым ограниченным, но не компактным в пространстве C [0, 1].
(в) Показать, что множество последовательностей (x
, удовлетворяющих условию
стве l
2
∞
) в простран-
n
|xn|2 1,
n=1
является замкнутым и ограниченным в l
(г) Показать, что граница любого ограниченного множества в простран-
n
стве R
компактна.
, но не компактным.
2
14.4. Пусть K — компактное множество в (X, ρ).Доказатьследующие
утверждения:
(а) если K ⊂
открытых множеств в (X, ρ), то найдется такой номер n
(б) если {F
в (X, ρ) с пустым пересечением и F
такой номер i
∞
Gn,где{Gn} — возрастающая последовательность
n=1
} — убывающая последовательность замкнутых множеств
i
,чтоF
0
i
0
= ∅.
⊂ K для каждого i ∈ N, то существует
i
,чтоK ⊂ G
0
;
n
0
14.5. Пусть A, B — непустые множества из пространств (X, ρ) и (Y,σ),
соответственно. Доказать, что множество A ×B компактно в произведении
пространств (X × Y, ρ × σ) тогда и только тогда, когда множество A компактно в (X, ρ),амножествоB —в(Y,σ).
§14. КОМПАКТНЫЕ И ПРЕДКОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 127
14.6. Пусть {Ai: i ∈ N} — убывающая последовательность компактных
множеств в (X, ρ) ипустьK =
∞
Ai. Доказать, что
i=1
(а) множество K не пусто;
(б) для любого ε>0 существует такой номер n
⊂ B(K, ε) при i>n0((B(K, ε) — ε-шар множества K);
A
i
(в) множество K состоит из единственной точки, если d(A
= n(ε),что
0
) → 0 при
i
i →∞.
14.7. (а) Пусть A — компактное множество в пространстве (X, ρ).До-
казать, что для любой окрестности U множества A существует такое число r>0,чтоr-шар B(A, r) ⊂ U.
(б) Доказать, что компактное множество нельзя изометрически отобра-
зить на его собственное подмножество.
(в) Пусть {G
множеств и
го ε>0 существует номер n
включение Fr G
: k ∈ N} — возрастающая последовательность открытых
k
= ∪{Gk: k ∈ N} — компактно. Доказать, что для каждо-
= n(ε),такой,чтоприn>n0имеет место
⊂ B(Fr G, ε),гдеB(FrG, ε) — шаровая окрестность Fr G.
n
0
14.8. Пусть f :(X, ρ) → (Y, σ) — непрерывное отображение компакт-
ного пространства (X, ρ) в пространство (Y, σ). Доказать, что для каждого
множества A ⊂ X справедливо равенство f(
A)=f(A).
14.9. Доказать, что проектирование p :(X × Y, ρ × σ) → (Y, σ) явля-
ется замкнутым отображением, где (Y,σ) — произвольное пространство,
а (X, ρ) — компактное пространство.
14.10. (а) Пусть множество F ⊂ X замкнуто, а множество K ⊂ X —
компактно в пространстве (X, ρ),ипустьF ∩ K = ∅. Доказать, что то-
гда ρ(F, K) > 0, причем существует точка x
равенство ρ(F, K)=ρ(F, x
),причемρ(F, x0) > 0.
0
(б) Пусть G —открытоемножествовR
жество множества G. Показать, что тогда ρ(K, Fr G) > 0,еслиFr G = ∅.
(в) Пусть F — замкнутое множество в R
что существует точка x ∈ F , такая, что ρ(x
(г) Пусть F — замкнутое, а K — компактное множества в простран-
n
стве R
и x
Доказать, что существуют точки x
. Доказать, что если F ∩ K = ∅,тосуществуютточкиx0∈ F
∈ K ,такие,чтоρ(F, K)=ρ(x0,x1) > 0.
1
14.11. Пусть K
, K2— компактные множества из пространства (X, ρ).
1
∈ K1и x2∈ K2,такие,чтовыполняется
1
∈ K, для которойвыполняется
0
n
,аK — компактное подмно-
n
иточкаx0/∈ F . Показать,
,F)=ρ(x0,x).
0
равенство
ρ(x
)=ρ(K1,K2).
1,x2
128 §14. КОМПАКТНЫЕ И ПРЕДКОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА
14.12. Пусть (X, ρ), (Y, σ) — произвольные пространства, а отображение f :(X,ρ) → (Y, σ) такое, что сужение f на любом компактном множе-
стве из (X, ρ) непрерывно. Доказать, что тогда f ∈ C (X, Y ).
14.13. (а) Пусть (X, ρ) — компактное МП, а отображение f ∈ C(X, X)
такое, что ρ(f (x),f(y)) <ρ(x, y) для всех x, y ∈ X и x = y. Доказать, что
найдется такая точка x
(б) Пусть (X, ρ) — компактное МП и отображение f ∈ C(X, R).Доказать, что для любого a ∈ R прообраз множества f
множество типа G
∈ X ,чтоf (x0)=x0.
0
.
δ
−1
([a; ∞)) — компактное
14.14. Пусть E — не компактное множество в пространстве R.Показать
справедливость следующих утверждений:
(а) существует неограниченная функция, непрерывная на E;
(б) существует ограниченная функция, непрерывная на E,неимеющая
максимума;
(в) если, кроме того, множество E ограниченно, то существует непрерывная на E функция, не являющаяся равномерно непрерывной.
14.15. Установить, что пересечение любой совокупности предкомпакт-
ных множеств предкомпактно.
14.16. Пусть A, B — множества из пространств (X, ρ) и (Y,σ),соот-
ветственно. Доказать, что декартово произведение A ×B множеств A ⊂ X
и B ⊂ Y предкомпактно в произведении пространств (X × Y, ρ × σ) тогда
и только тогда, когда множество A предкомпактно в (X, ρ),амножествоB —
в (Y, σ).
14.17. Показать, что образ предкомпактного множества при непрерывном отображении может не быть предкомпактным.
14.18. Доказать, что если для любого ε>0 множество M простран-
ства (X, ρ) имеет компактную ε-сеть, то множество M компактно в (X, ρ).
14.19. Установить справедливость следующего утверждения: образ
предкомпактного множества при равномерно непрерывном отображении
предкомпактен.
14.20.
Доказать (теорема Бореля—Лебега): для того чтобы множе-
ство M было предкомпактно в пространстве R, необходимо и достаточно,
чтобы оно было ограничено.
14.21. МП (X,ρ) называется локально компактным,еслиукаждой
точки множества X существует окрестность, замыкание которой компактно. Множество M ⊂ X называется локально компактным подмножеством
пространства (X, ρ), если подпространство (M,ρ
) локально компакт-
M
ное МП.
§14. КОМПАКТНЫЕ И ПРЕДКОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 129
Доказать следующие утверждения:
(a) пространство R
n
— локально компактно (но не компактно);
(б) каждое открытое и замкнутое множество в локально компактном
пространстве также локально компактно;
(в) пересечение двух локально компактных множеств из локально ком-
пактного пространства также локально компактно.
14.22. Пусть множество M состоит из функций, определенных на от-
резке [0, 1] и удовлетворяющих условию Липшица с фиксированной константой k (см. задачу 10.6) и метрикой ρ, индуцированной из пространства C[0, 1]. Доказать, что пространство (M, ρ
) локально компактно.
M
§15. Критерии предкомпактности
в конкретных пространствах
Частное вечно подчиняется общему, общее
же все время подлаживается к частному.
И. Гете
В математическом анализе очень часто встречается задача о предкомпактности того или иного множества, рассматриваемого в некотором заданном МП. Поэтому большой интерес представляют легко применимые критерии предкомпактности множеств в некоторых пространствах, позволяющие
узнавать такие множества. Это позволяет также сделать более прозрачным
важное понятие компактности.
Семейство отображений
мерно ограниченным на множестве X, если множество
V = {y ∈ Y : ∃f ∈
= {f :(X, ρ) → (Y,σ)} называется равно-
, ∃x ∈ X, y = f(x)}
значений функций семейства
Для семейства
ограничено в (Y,σ).
числовых функций f :(X, ρ) → R это означает
существование такого числа c ∈ R,чтодлявсехf ∈ F ивсехx ∈ X
выполняется неравенство |f (x)| c.
Семейство отображений
= {f :(X, ρ) → (Y, σ)} называется рав-
ностепенно непрерывным на множестве X, если для любого ε>0 су-
ществует δ>0,такое,чтодлявсехf ∈
которых ρ(x
) <δ, выполняется неравенство σ(f(x1),f(x2)) <ε.
1,x2
ивсехточекx1,x2∈ X,для
Ясно, что каждое отображение f, входящее в состав равностепенно
непрерывного семейства
, равномерно непрерывно.
С помощью равностепенной непрерывности и равномерной ограниченности устанавливается критерий предкомпактности множества в пространстве C [a, b], известный как
Теорема Арцела – Асколи. Для того чтобы множество M ⊂ C[a, b]
было предкомпактно в пространстве C[a, b], необходимо и достаточно,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]