Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
§5. ПОДПРОСТРАНСТВО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 61
Доказать следующие свойства компоненты связности:
(а) компонента связности является замкнутым множеством;
(б) компоненты связности либо не пересекаются, либо совпадают;
(в) любое пространство представимо в виде объединения попарно непе-
ресекающихся связных компонент;
(г) пространство связно тогда и только тогда, когда оно состоит из од-
ной компоненты связности.
5.13. Компонентой связности точки x
называется объединение C(x
ства (X, ρ), содержащих точку x
) всех связных подмножеств простран-
0
.
0
∈ X в пространстве (X,ρ)
0
Доказать следующие утверждения:
(а) C(x
причем для любой точки x
/∈ C(x
0
(б) C (x
(в) компонента связности C(x
(X ×Y, ρ
нием C
ки x
0(y0
(г) компонента связности C(x
временно открытом и замкнутом множестве, содержащем x
) — наибольшее связное множество, содержащее точку x0,
0
∈ C(x0) имеем C(x1)=C(x0),аеслиx1/∈
1
),тоC(x1) ∩ C(x0)=∅;
) — замкнутое множество в (X, ρ);
0
× ρY) пространств (X,ρX) и (Y, ρY) совпадает с произведе-
X
) × CY(y0),гдеCX(x0) (CY(y0)) — компонента связности точ-
X(x0
) точки (x0,y0) в произведении
0,y0
) в пространстве (X, ρX) ((Y,ρY));
) точки x0содержится в каждом одно-
0
.
0
§6. Различные классы подмножеств
Математики — как французы: все, что вы им
говорите, они переводят на свой язык, и это тотчас
же становится чем-то совершенно иным.
И. Гете
Множество, представимое в виде пересечения счетного числа открытых множеств пространства (X, ρ), называется множеством типа G
или G
тых множеств пространства (X, ρ), называется множеством типа F
или F
сительно множества X является G
замкнутыми (открытыми) множествами и G
вает
жество типа G
типа F
го числа n рассмотрим окрестность V
му 3.2). Так как при всяком n справедливо соотношение F ⊂ V
ем включение F ⊂∩{V
x ∈∩{V
замкнутости F заключаем, что x ∈ F . Отсюда, с учетом полученного выше
включения, имеем равенство F = ∩{V
типа G
то и является G
есть F
в пространстве (X, ρ),если
-множеством.
δ
Множество, представимое в виде объединения счетного числа замкну-
-множеством. Очевидно, что дополнение к Fσ(Gδ)-множеству отно-
σ
)-множеством в (X, ρ).Связьмежду
δ(Fσ
)-множествами устанавли-
δ(Fσ
σ
Теорема 6.1. Всякое непустое замкнутое множество в МП есть мно-
, а всякое непустое открытое множество — множество
.
σ
δ
Пусть F — замкнутое множество в (X, ρ). Для каждого натурально-
= V
n
: n ∈ N}. С другой стороны, произвольная точка
: n ∈ N} является точкой прикосновения множества F ,авсилу
n
.
δ
n
(F ) множества F (см. теоре-
1
n
: n ∈ N},т.е.F есть множество
n
,тополуча-
n
Пусть U —открытоемножествов(X, ρ).ТогдаX \ U = F замкну-
-множеством. Учитывая, что дополнение к Gδ-множеству
-множество, получаем, что U есть Fσ-множество.
σ
δ
Множество A ⊂ X называется всюду плотным (или просто плотным)
A = X,т.е.есликаждаяточкаизX является
,
δ
,
§6. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ПОДМНОЖЕСТВ 63
точкой прикосновения для A. Очевидно (см. теорему 4.3), что множество A
всюду плотно в (X, ρ) в том и только в том случае, когда Int
A = X .
Множество A ⊂ X называется коплотным (или граничным) в про-
странстве (X, ρ),еслиX \ A всюду плотно в (X, ρ),т.е.IntA = ∅.
Множество A ⊂ X называется нигде не плотным (или разреженным)
в пространстве (X, ρ), если его замыкание
A коплотно в (X, ρ),т.е.IntA =
= ∅.Итак,множествоA нигде не плотно в (X,ρ) тогда и только тогда,
когда его замыкание не содержит никаких непустых открытых множеств
пространства (X, ρ).
Теорема 6.2. Пусть A — множество в пространстве (X, ρ).Тогда
справедливы следующие утверждения:
(а) (A всюду плотно в (X, ρ)) ⇔ (для любого непустого открытого мно-
жества U в (X, ρ) множество A ∩ U = ∅);
(б) (A коплотно в (X, ρ)) ⇔ (для любого непустого открытого множе-
ства U в (X, ρ) множество U ∩ (X \A) = ∅);
(в) (A нигденеплотнов(X, ρ)) ⇔ (для любого непустого открытого
множества U существует непустое открытое множество V ⊂ U,
такое, что V ∩ A = ∅
);
(г) (A нигденеплотнов(X, ρ)) ⇒ (
A — нигде не плотно);
(д) (открытое множество A всюду плотно в (X, ρ)) ⇔ (X \A —нигдене
плотно);
(е) (замкнутое множество F нигденеплотнов(X, ρ)) ⇔ (открытое
множество X \F всюду плотно в (X, ρ)).
(а) Пусть
A = X, и пусть существует открытое непустое множество U,такое,чтоA∩U = ∅.ТогдаA ⊂ X \U . Отсюда в силу замкнутости
множества X \ U имеем включение
A ⊂ X \ U ,т.е.X ⊂ X \ U. Это про-
тиворечит тому, что U = ∅.
Обратно, для произвольной точки x
ности U по условию имеем, что A ∩ U = ∅. Следовательно, x
Значит, в силу произвольного выбора точки x
т. е. X =
A.
∈ X и произвольной ее окрес-
0
получаем, что A ⊃ X,
0
0
∈ A.
(в) В силу определения нигде не плотного множества для любого непустого открытого множества U имеем: (X \
=(X \
A) ∩U, получаем, что V ⊂ U и V ⊂ X \A ⊂ X \A,т.е.V ∩A = ∅.
A) ∩ U = ∅.ПоложивV =
64 §6. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ПОДМНОЖЕСТВ
Обратно, допустим, что U =IntA = ∅. По условию, существует
такое непустое открытое подмножество V множества U,чтоV ∩ A = ∅.
Но тогда V ∩
A = ∅, что невозможно в силу определения множества U.
МП называется сепарабельным,если в нем существует счетное и всюду
плотное подмножество, или другими словами: в (X, ρ) существует последовательность точек (x
найдется элемент x
неравенство ρ(x, x
Семейство {G
), такая, что для любого ε>0 илюбогоx ∈ X
n
последовательности (xn), для которого выполняется
n
0
) <ε.
n
0
: t ∈ T } непустых открытых множеств в (X, ρ) назы-
t
вается базой пространства (X, ρ), если любое непустое открытое множество в (X, ρ) можно представить в виде объединения некоторого подсемейства {G
: t ∈ T0}, T0⊂ T , семейства {Gt: t ∈ T }. Ясно, что совокупность
t
всех открытых шаров с центром во всевозможных точках из X является
базой МП (X, ρ).
Предложение 6.1. Семейство {G
жеств G
когда для любой точки x
такой индекс t
⊂ X будет базой пространства (X, ρ) тогдаитолькотогда,
t
∈ T ,чтоx0∈ G
0
0
∈ X и любой ее окрестности V существует
t
: t ∈ T } непустых открытых мно-
t
⊂ V .
0
Необходимость непосредственно следует из определения базы.
Для доказательства достаточности рассмотрим произвольное открытое множество U в (X, ρ) и x — некоторую точку множества U . Тогда по условию
найдется такой индекс t(x) ∈ T ,чтоx ∈ G
но, U ⊂∪{G
ства {G
: x ∈ U }семейства {Gt: t ∈ T }, а это значит, что {Gt: t ∈ T } —
t(x)
: x ∈ U}⊂U ,т.е.U есть объединение подсемей-
t(x)
⊂ U . Следователь-
t(x)
база пространства (X, ρ).
Теорема 6.3. МП сепарабельно тогда и только тогда, когда оно обладает счетной базой.
Допустим, что (X, ρ) — сепарабельное МП и M = {a
} —счетное
n
всюду плотное подмножество в (X, ρ). Рассмотрим семейство открытых
1
,
шаров {B(a
):n, m ∈ N}. Это семейство счетно (так как множе-
n
m
ство N ×N счетно) и является базой пространства (X, ρ). Действительно,
для любой точки x ∈ X икаждогоr>0 существуют натуральное число m
иэлементa
и ρ(x, an) <
y ∈ B(a
1
,
n
m
∈ M (в силу плотности M в (X, ρ)), такие, что
n
1
,т.е.x ∈ B(an,
m
1
). Отсюда для произвольной точки
m
) получим
1
ρ(x, y) ρ(x, a
)+ρ(an,y) <
n
m
1
+
m
2
=
<r.
m
m
1
<
r
2
§6. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ПОДМНОЖЕСТВ 65
Таким образом, для произвольного шара B(x, r) найдется шар B(an,
из рассматриваемого семейства, такой, что B(a
1
,
) ⊂ B(x, r).Отсюда
n
m
m
1
на основании предложения 6.1 заключаем, что семейство открытых шаров {B(a
Обратно, пусть {G
счетное множество M = {a
что множество M всюду плотно в (X, ρ).Пустьx
точка и U
странства имеем, что существует такой элемент G
апотомуa
держит точку из M ,т.е.
1
,
):n, m ∈ N} является базой пространства (X, ρ).
n
m
} — счетная база пространства (X, ρ). Образуем
n
}, выбрав по одной точке an∈ Gn. Покажем,
n
— произвольная ее окрестность. Тогда из определения базы про-
0
∈ U0. Таким образом, каждая окрестность точки x0∈ X со-
n
0
∈ X — произвольная
0
∈{Gn},чтоG
n
0
n
0
M = X.
⊂ U0,
Следствие 6.1. Каждое открытое покрытие сепарабельного МП содержит счетное покрытие.
Пусть U = {U
Тогда каждая точка x ∈ X содержится в некотором U
чим через {G
k
положению 6.1, имеем соотношение x ∈ G
ма множеств {G
мы {G
: k ∈ N} (см. пункт 0.5), причем она образует открытое
k
покрытие (X, ρ). Выберем для каждого G
множеств U
∈ U. В результате получим счетное подпокрытие покры-
α
} — некоторое открытие сепарабельного МП (X, ρ).
α
.Обозна-
α
: k ∈ N} счетную базу МП (X, ρ). Согласно пред-
⊂ Uα. Тогда систе-
: x ∈ X} счетна как подмножество счетной систе-
k(x)
k(x)
одно из содержащих его
k(x)
тия U.
Следствие 6.2. Любое подмножество сепарабельного МП сепарабельно.
)
Пусть (X, ρ) — сепарабельное МП, M ⊂ X,ипусть{G
ная база в (X, ρ). Тогда, в силу теоремы 5.1, {G
база подпространства (M,ρ
). Следовательно, на основании теоремы 6.3
M
∩ M }\{∅} —счетная
n
} —счет-
n
получаем справедливость нашего утверждения.
Объединяя следствия 6.1 и 6.2, получаем
Следствие 6.3. Любое открытое покрытие любого подмножества
сепарабельного МП имеет счетное подпокрытие.
Множество в МП называется множеством первой категории (или то-
щим), если оно представимо в виде счетного объединения нигде не плотных
подмножеств в исходном МП. В противном случае оно называется множеством второй категории.
66 §6. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ПОДМНОЖЕСТВ
Теорема 6.4. Всякое множество первой категории содержится
в некотором F
-множестве первой категории.
σ
Пусть M — произвольное множество первой категории в (X, ρ),
ипустьM ={A
Очевидно, что M ⊂∪{
множеством множества{
6.2.(г), F
-множеством первой категории.
σ
Теорема 6.5. Если дополнение к F
: n ∈ N},гдекаждоеизAnнигде не плотно в (X, ρ).
n
An: n ∈ N}.Следовательно,M оказывается под-
An: n ∈ N}, являющегося, в силу теоремы
-множеству всюду плотно, то оно
σ
относится к первой категории.
Пусть M ={F
: n ∈ N}, Fn— замкнутые множества в (X, ρ),
n
и пусть множество X \ M всюду плотно в (X, ρ). Докажем, что каждое из
множеств F
X \F
n
нигде не плотно. В силу замкнутости множества Fnимеем, что
n
— открытое множество. Кроме того, из включения X \M ⊂ X \F
и монотонности оператора замыкания получаем равенство X \ Fn= X.
Следовательно, множество F
нигде не плотно, а значит, M —множество
n
первой категории.
Задачи и упражнения
n
6.1. Доказать следующие свойства F
(а) объединение счетного числа F
(б) пересечение конечного числа F
(в) всякое F
-множество есть объединение возрастающей последова-
σ
)-множеств:
σ(Gδ
-множеств есть Fσ-множество;
σ
-множеств есть Fσ-множество;
σ
тельности замкнутых множеств;
(г) пересечение счетного числа и объединение конечного числа G
множеств есть G
(д) всякое G
-множество есть пересечение убывающей последователь-
δ
-множество;
δ
ности открытых множеств.
6.2. Доказать, что в произвольном МП всякое счетное множество есть
F
-множество.
σ
6.3. Показать, что в пространстве R
(а) множество
-множеством;
и G
δ
(б) множество рациональных чисел является F
(в) множество иррациональных чисел есть G
"
1
: n ∈ N#является одновременно Fσ-множеством
n
-множеством;
σ
-множество.
δ
-
δ
§6. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ПОДМНОЖЕСТВ 67
6.4. Пусть на множестве X заданы две метрики ρ1и ρ2, удовлетворя-
ющие условию (∗) из задачи 1.15. Показать, что если A есть G
-множество) в (X,ρ1),тоA будет Gδ-множеством (Fσ-множеством)
(F
σ
ив(X, ρ
). Справедливо ли это утверждение в случае, если ρ1 ρ2?
2
-множество
δ
6.5. Доказать, что если множество A всюду плотно в (X, ρ),тодля
любого открытого множества U в (X, ρ) справедливо равенство
U = A ∩ U,
или другими словами: если множество A всюду плотно в (X, ρ),толюбая часть A ∩ U множества A плотна в подпространстве (U, ρ
),гдеU —
U
произвольное непустое открытое множество из (X, ρ).
6.6. Показать, что
(а) граница любого открытого или замнутого множества МП нигде не
плотна;
(б) граница любого множества МП представима в виде объединения
двух коплотных множеств;
(в) объединение двух нигде не плотных множеств нигде не плотно;
(г) счетное объединение нигде не плотных множеств не является, во-
обще говоря, нигде не плотным.
6.7. Пусть n
— некоторое фиксированное натуральное число, и пусть
0
задано множество
L
= {x ∈ l2: x =(ξn),ξn=0при n>n0}.
n
0
Доказать, что множество L
нигде не плотно в пространстве l2.
n
0
6.8. Пусть (Z, d) — произведение пространств (X, ρ) и (Y, σ) (см. при-
мер 2.14), где Z = X ×Y и d = ρ×σ. Доказать справедливость следующих
утверждений:
(а) если множество E ⊂ X нигде не плотно в пространстве (X,ρ),
то E ×F нигде не плотно в (Z, d) для любого множества F ⊂ Y ;
(б) если A всюду плотно в (X, ρ) и B всюду плотно в (Y, σ),томно-
жество A × B всюду плотно в (Z, d).
6.9. Пусть A, B — подмножества из (X, ρ) и A ⊂ B.МножествоA на-
зывается плотным (соответственно, коплотным, нигде не плотным) в B
или относительно B,еслиA
не плотно) в подпространстве (B,ρ
но,
(B \A)B= B,
B \
A
плотно (соответственно, коплотно, нигде
),т.е.еслиAB= B (соответствен-
B
∩ B = B).
B
68 §6. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ПОДМНОЖЕСТВ
Доказать справедливость следующих утверждений:
A \A коплотно в A;
(a)
(б) если A плотно в B, то оно плотно в каждом подмножестве B,содер-
жащем A (в частности, A плотно в
A);
(в) если A коплотно в B,аB плотно в C,тоA плотно в C.
6.10. Доказать, что если A нигде не плотно относительно
B,томноже-
ство A ∩B нигде не плотно в B.
6.11. Пусть A —открытоемножествоиB — коплотное (нигде не плот-
ное) множество в пространстве (X, ρ). Доказать, что тогда A ∩B коплотно
(нигде не плотно) относительно A,аA ∩
B — относительно A.
6.12. Доказать, что произведение (X × Y, ρ × σ) пространств (X,ρ)
и (Y,σ) сепарабельно тогда и только тогда, когда каждое из них сепарабельно.
6.13. (а) Доказать, что если M — всюду плотное связное подмножество
пространства (X, ρ), то пространство (X, ρ) также связно.
(б) Доказать, что сепарабельное МП не содержит несчетного дискрет-
ного множества.
(в) Пусть M — всюду плотное подмножество пространства (X, ρ)
и подпространство (M,ρ
) сепарабельно. Доказать, что тогда простран-
M
ство (X, ρ) сепарабельно.
n
6.14. Показать, что пространства R
, C[a, b], Ck[a, b] (k ∈ N), s, l
(1 p<∞), сепарабельны, а пространства m, M [a, b] — несепарабельны.
6.15. Является ли множество непрерывных ограниченных на прямой R
функций с метрикой
ρ(f,g)=sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ R}
сепарабельным пространством?
6.16. Доказать, что если каждое бесконечное подмножество метриче-
ского пространства имеет предельную точку, то оно сепарабельно. Верно
ли обратное утверждение?
6.17. Множество A пространства (X, ρ) называется плотным в себе,
если A ⊂ A
Множество M пространства (X, ρ) называется совершенным,ес-
ли M
, т. е. оно не содержит изолированных точек.
= M, т. е. оно замкнуто и плотно в себе.
p
Доказать, что
§6. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ПОДМНОЖЕСТВ 69
(а) если множество A плотно в себе, то его замыкание
A совершенно;
(б) если A плотно в себе, то каждое открытое и каждое всюду плотное
его подмножество плотны в себе;
(в) если A — всюду плотное коплотное множество, то оно плотно в се-
бе;
(г) для произвольного подмножества G пространства (X, ρ) множества
Int(Fr G) и G ∩Int(Fr G) плотны в себе.
6.18. Доказать, что любое подмножество множества первой категории
и объединение не более чем счетного числа множеств первой категории
есть множество первой категории.
6.19. Показать, что
n
(а) множество всех точек пространства R
, у которых координаты ра-
циональны, есть множество первой категории;
(б) множество действительных чисел R является множеством второй
категории в пространстве R.
6.20. Пусть (X, ρ) — произвольное МП и пусть B ⊂ A ⊂ X. Доказать,
что
(а) если B — множество первой категории в подпространстве (A, ρ
A
то B — множество первой категории в (X, ρ);
(б) если B — множество первой категории в подпространстве (A, ρ
то B ∩A — множество первой категории в (A, ρ
);
A
A
(в) если A — открытое множество первой категории в (X, ρ),тоB —
множество первой категории в подпространстве (A, ρ
).
A
),
),
6.21. (а) Непустые множества A и B из пространства (X, ρ) называются
отделимыми,если
A ∩ B = ∅ = A ∩ B.
Установить следующие свойства отделимых множеств:
(1) если множества A и B замкнуты (или открыты), то множества A\B
и B \A отделимы;
(2) если множества A и B оба замкнуты (или оба открыты) и A ∩B =
= ∅,тоA и B отделимы;
70 §6. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССЫ ПОДМНОЖЕСТВ
(3) если множество A отделимо от B иотC,тоA отделимо от B ∪C.
(б) Пусть A и B — два непустых отделимых множества в МП (X, ρ).
Показать, что существуют открытые множества U и V ,такие,чтоU ⊃ A,
V ⊃ B, U ∩ V = ∅.
(в) Доказать, что множества A и B отделимы тогда и только тогда,
когда они не пересекаются и замкнуты в подпространстве (A ∪B, ρ
A∪B
).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]