Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
§7. Непрерывные отображения
Для математики существеннa лишь форма со-
ответствия (связи) между двумя переменными величинами, которые она рассматривает.
Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?
Пусть (X, ρ), (Y,σ) — два произвольных метрических пространства.
Говорят, что f — отображение пространства (X, ρ) в пространство (Y, σ),
и пишут f :(X, ρ) → (Y, σ), имея в виду отображение f множества X вмно-
жество Y (обозначаемое f : X → Y ) с фиксированными на них метриками
ρ и σ, соответственно.
Приведемследующие определения непрерывности отображения в точке:
(i) (на языке окрестностей)отображениеf :(X,ρ) →(Y, σ)
называется непрерывным в точке x
сти V точки f(x
) ∈ Y существует такая окрестность U точки x0,
0
что f (U) ⊂ V ;
(ii) (п о Г е й н е) отображение f :(X, ρ) → (Y,σ) называется непре-
рывным в точке x
(x
), xn∈ X,сходящейсякx0в (X, ρ), последовательность (f(xn))
n
сходится к f (x
∈ X, если для любой последовательности точек
0
) в (Y, σ);
0
∈ X, если для любой окрестно-
0
(iii) (п о К о ш и) отображение f :(X,ρ) → (Y,σ) называется непрерывным
вточкеx
что из неравенства ρ(x, x
∈ X, если для любого ε>0 существует δ>0,такое,
0
) <δследует σ(f (x),f(x0)) <ε.
0
Теорема 7.1. Определения (i), (ii) и (iii) эквивалентны.
Пусть задано отображение f :(X, ρ) → (Y, σ); покажем справедли-
вость следующих импликаций: (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i).
Докажем, что (i) ⇒ (ii). Пусть x
что x
→ x0. Для каждой окрестности V ⊂ Y точки f (x0), существует
n
, xn∈ X, n =1, 2,...,такие,
0
72 §7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
окрестность U ⊂ X точки x0такая, что f (U) ⊂ V .Таккакxn→ x0,
то все точки x
сти U : x
т. е. f(x
n
, начиная с некоторого номера n0, содержатся в окрестно-
n
∈ U при n n0.Нотогдаf(xn) ∈ f(U ) ⊂ V для n n0,
n
) → f (x0).
Теперь покажем, что (ii) ⇒ (iii). Пусть определение (iii) не выполнено,
т. е. существует такое ε>0,чтодлялюбогоδ>0 найдется точка x ∈ X ,для
которой ρ(x, x
) <δ,однакоσ(f (x0),f(x)) ε.Выбираяδ =
0
=1, 2,..., получим последовательность (x
кточкеx
и σ(f (x0),f(xn)) ε. Это противоречит условию (ii).
0
) в (X,ρ), которая сходится
n
1
,гдеn =
n
Остается доказать, что (iii) ⇒ (i). Пусть V — произвольная окрестность точки f (x
имеем, что существует такое δ>0,чтоσ(f (x
x ∈ B
X(x0
непрерывность отображения f вточкеx
) в (Y, σ). Тогда найдется шар BY(f(x0),ε) ⊂ V . Из (iii)
0
),f(x)) <ε,кактолько
0
,δ).Нотогдаf(BX(x0,δ)) ⊂ BY(f(x0),ε) ⊂ V , что означает
в смысле определения (i).
0
Отображение f :(X,ρ) → (Y, σ), непрерывное в каждой точке множе-
ства X , называется непрерывным отображением пространства (X, ρ) в пространство (Y,σ),илипростонепрерывным отображением на пространстве
(X, ρ). Множество всех непрерывных отображений из (X, ρ) в (Y, σ) обозначают символом C(X, Y ), причем при Y = R будем писать C(X).
Теорема 7.2 (критерий непрерывности отображения). Отображение f :(X, ρ) → (Y,σ) непрерывно тогда и только тогда, когда прооб-
−1
раз f
(V ) открыт в (X, ρ) для любого открытого множества V из про-
странства (Y, σ).
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть отображение f :(X,ρ) → (Y, σ) непре-
рывно и V — произвольное открытое множество в (Y,σ).Еслиf
то открытость множества f
−1
(V ) очевидна, так как пустое множество ∅
−1
открыто.
−1
Пусть f
ки x
∈ U имеем, что f (x0) ∈ V , следовательно, V можно рассматривать
0
как окрестность точки f (x
дется окрестность U
для любой точки x
Поскольку U = ∪{U
нение открытых множеств U
(V ) = ∅,иположимU = f−1(V ). Для произвольной точ-
). В силу непрерывности отображения f най-
0
точки x0, такая, что f (U
x
0
∈ U найдется окрестность U
0
: x0∈ U },томножествоU открыто как объеди-
x
0
. Таким образом, прообраз f−1(V ) любого
x
0
) ⊂ V ,т.е.U
x
0
, такая, что U
x
0
x
0
открытого множества из (Y,σ) открыт в (X, ρ).
Достаточность.Пустьx
Положим, y
−1
= f
= f(x0) и V — произвольная окрестность точки y0.ТогдаU =
0
(V ) будет, по условию, окрестностью точки x0,причёмf (U) ⊂ V .
— произвольная точка из (X, ρ).
0
(V )=∅,
⊂ U .Итак,
⊂ U .
x
0
§7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 73
Следовательно, отображение f непрерывно в точке x0, а в силу произвольного выбора точки x
заключаем, что f — непрерывное отображение
0
пространства (X, ρ) в (Y,σ).
Из определения замкнутого множества и теоремы 7.2 следует
Теорема 7.2
жение f :(X,ρ) → (Y,σ) непрерывно тогда и только тогда, когда про-
образ f
−1
(критерий непрерывности отображения). Отобра-
(V ) замкнут в (X, ρ) для любого замкнутого множества V
из (Y, σ).
Пусть задана функция f : X → R и некоторое число a ∈ R.Тогда
множества вида
X(f>a):={x ∈ X : f(x) >a},
X(f<a):={x ∈ X : f(x) <a},
X(f = a):={x ∈ X : f(x)=a},
X(f a):=X (f>a) ∪ X(f = a),
X(f a):=
X(f<a) ∪ X (f = a)
называются множествами Лебега функции f , определенной на множе-
стве X .
Теорема 7.3. Для непрерывности функции f :(X, ρ) → R необходимо
и достаточно, чтобы для любого a ∈ R множества X (f<a), X (f>a)
были открыты, а множества X(f a), X(f a) и X (f = a) —замкнуты
в (X, ρ).
Необходимость.Пустьx
жества X(f<a) и ε = a − f(x
вточкеx
ство |f (x) − f (x
, то существует шар B(x0,δ), в котором выполняется неравен-
0
)| <ε. Для любой точки x ∈ B(x0,δ), с учетом определе-
0
). Так как отображение f непрерывно
0
0
ния числа ε, имеем
f(x) <f(x
Следовательно, справедливо включение B(x
лу произвольного выбора точки x
)+ε = a.
0
,δ) ⊂ X (f<a).Отсюдавси-
заключаем, что множество X(f<a)
0
0
открыто.
Достаточность.Длялюбойточкиx
рассмотрим множества X(f<f(x
)+ε) и X(f>f(x0) − ε), которые по
0
условию открыты. Пересечение этих множеств
X(−ε<f(x) − f (x
) <ε)=X(f (x0) −ε<f <f(x0)+ε)
0
— произвольная точка мно-
∈ X илюбогоε>0
0
74 §7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
также открыто и содержит точку x0,авместеснейинекоторый
шар B(x
любой точки x ∈ B(x
,δ), причем в нем выполняется неравенство |f (x)−f (x0)| <εдля
0
,δ), которое означает непрерывность f вточкеx0.
0
Доказательство замкнутости множеств X(f a), X(f a) и X(f =
= a) получаем из теоремы 3.4 путем перехода к дополнениям.
Отображение f :(X, ρ) → (Y,σ) называется равномерно непрерыв-
ным относительно метрик ρ и σ (или просто равномерно непрерывным
на пространстве (X, ρ)), если для любого ε>0 существует такое δ>0,
что σ(f (x
щих условию ρ(x
),f(x2)) <εдля любой пары точек x1, x2∈ X, удовлетворяю-
1
1,x2
) <δ.
Очевидно, что каждое равномерно непрерывное отображение непрерывно, однако обратное не имеет места.
З а м е ч а н и е 7.1. В отличие от понятия непрерывности, равномерная непрерывность есть, во-первых, свойство отображения на множестве X, тогда как непрерывность определяется в одной точке; во-вторых,
если f непрерывно на (X,ρ),тодлякаждогоε>0 идлякаждойточки x
множества X можно найти δ>0, обладающее свойством, указанным
0
в определении (iii) (т. е. δ зависит от ε иотточкиx
), а в случае равномерной
0
непрерывности f на (X,ρ) для каждого ε>0 найдется одно число δ>0,
которое годится для всех точек x множества X .
Теорема 7.4. Для любого непустого множества A ⊂ X отображе-
ние x → ρ(x, A) равномерно непрерывно.
Отображение f :(X,ρ) → (Y,σ) называется изометрией (X,ρ)
на (Y, σ),еслиf — сюръективное отображение X на Y и ρ(x
= σ(f(x
),f(x2)) для любых x1,x2∈ X . Если существует изометрия (X, ρ)
1
1,x2
)=
на (Y,σ), то говорят, что эти пространства изометричны.
Ясно, что изометрические пространства не отличимы по тем свойствам,
которые определяются метрикой.
З а м е ч а н и е 7.2. Определение изометричности пространств (X, ρ)
и (Y, σ) не исключает случай, когда X = Y и ρ = σ. При этом изометрия называется метрическим преобразованием или движением простран-
ства (X, ρ).
Отображение f :(X, ρ) → (Y, σ) называется ограниченным,еслимно-
жество f(X ) ограничено в (Y,σ). Множество всех непрерывных ограниченных отображений из (X, ρ) в (Y,σ) обозначают символом C
Пусть f
ность (f
бого ε>0 существует номер n
для любого x ∈M илюбогоn n
, f :(X, ρ) → (Y, σ),гдеn ∈ N. Говорят, что последователь-
n
) сходится равномерно на множестве M ⊂ X к f ,еслидлялю-
n
= n0(ε),такой,чтоσ(f (x),fn(x)) <ε
0
.
0
(X, Y ).
b
§7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 75
Теорема 7.5. Множество Cb(X, Y ) с метрикой
ˆρ(f,g)=sup{σ(f (x),g(x)) : x ∈ X }
является МП, причем сходимость в нем совпадает с равномерной сходимостью.
Построенное МП в теореме 7.5 будем обозначать также симво-
(X, Y ).
лом C
b
Теорема 7.6. Если последовательность непрерывных отображений f
:(X, ρ) → (Y, σ) сходится равномерно на множестве X котоб-
n
ражению f ,тоf ∈ C(X, Y ).
Пусть x
тельное число, а B
существует окрестность U точки x
иметь σ(f (x),f(x
Действительно, из равномерной сходимости последовательности (f
ществует такой номер n
имеет место неравенство σ(f (x),f
мер n
n0и пользуясь неравенством треугольника, получим
1
σ(f (x),f(x
В силу непрерывности отображения f
ность U точки x
всех x ∈ U,т.е.σf
разом, каждое слагаемое в правой части (∗) меньше
что равносильно включению f(U ) ⊂B
— произвольная точка из (X, ρ), ε —любоеположи-
0
(f(x0),ε) — открытый шар в (Y,σ). Покажем, что
Y
)) <ε,т.е.отображениеf непрерывно в точке x0∈ X.
0
= n0(ε),чтодлявсехn n0идлявсехx ∈ X
0
)) σ(f (x),f
0
+ σ(f
n
, что справедливо включение f
0
(x),f
n
n
1
1
, такая, что для всех x ∈ U будем
0
(x)) <
n
n
(x),f
1
(x0)<
ε
. Зафиксировав некоторый но-
3
(x))+
1
(x0)) + σ(f
n
1
вточкеx0существует такая окрест-
n
1
ε
для каждого x ∈ U.Такимоб-
3
(f(x0),ε).
Y
(x0),f(x0)).
n
1
(U) ⊂ BY(f(x0),
n
1
ε
для всех x ∈ U ,
3
n
ε
3
) су-
(∗)
) для
Следствие 7.1. Если последовательность непрерывных ограниченных
отображений f
к f ,тоf ∈ C
:(X,ρ) → (Y,σ) равномерно сходится на множестве X
n
(X, Y ).
b
Согласно теореме 7.2, если отображение f непрерывно, то прообраз открытого множества является открытым, а прообраз замкнутого множества —
замкнутым. Однако для образов это утверждение неверно. В связи с этим
рассматривают два важных класса непрерывных отображений: замкнутые
и открытые.
76 §7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Непрерывное отображение f :(X,ρ) → (Y,σ) называется открытым
(замкнутым), если образ открытого (замкнутого) множества из пространства (X, ρ) является открытым (замкнутым) в (Y,σ).
Отображение f :(X,ρ) → (Y, σ) называется гомеоморфизмом (или вза-
имно непрерывным), если оно биективно, f ∈ C(X, Y ) и f
−1
∈ C(Y, X).
Пространства (X, ρ) и (Y,σ) в этом случае называются гомеоморф-
ными.
Предложение 7.1. Гомеоморфное отображение является одновремен-
но открытым и замкнутым отображением.
Пусть f :(X, ρ) → (Y, σ) — гомеоморфное отображение и g :
(Y,σ) → (X, ρ) — обратное к нему отображение. Тогда для каждого множе-
ства A ⊂ X , очевидно, будем иметь f (A)=g
−1
(A),т.е.образмножестваA
при отображении f является прообразом A при отображении g ипоэтому открытость (соответственно замкнутость) f следует из непрерывности
отображений f и g.
Предложение 7.2. Открытое (и, соответственно, замкнутое) биек-
тивное отображение является гомеоморфизмом.
Пусть f :(X,ρ) → (Y, σ) — открытое (замкнутое) биективное отоб-
ражение и g :(Y, σ) → (X, ρ) —обратноекf отображение, существующее
в силу биективности f. Тогда из равенства g
−1
(A)=f(A),справедливого для каждого множества A из (X, ρ), получаем, что прообразы открытых
(и, соответственно, замкнутых) множеств из (X, ρ) при отображении g будут
открытыми (и, соответственно, замкнутыми) в (Y, σ) по условию. Следовательно, из теоремы 7.2 получаем, что g ∈ C(Y, X).
Задачи и упражнения
7.1. Пусть (x, y) → ρ(x, y) — отображение пространства (X ×X, ρ ×ρ)
в пространство R. Показать непрерывность этого отображения.
7.2. (а) Пусть отображения f,g:(X,ρ) → R непрерывны. Доказать
непрерывность следующих отображений:
f ± g, f · g,
f
(g =0), max{f, g}, min{f, g}.
g
(б) Доказать, что композиция f ◦ g непрерывных отображений
f :(X,ρ) → (Y,σ) и g :(Y, σ) → (Z, τ ) является непрерывным отобра-
жением пространства (X, ρ) в (Z, τ).
§7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 77
(в) Доказать, что отображения проектирования (см. пункт 0.2)
π
:(X × Y,ρ × σ) → (X, ρ),πY:(X × Y,ρ × σ) → (Y,σ)
X
являются непрерывными отображениями.
(г) Пусть f :(X, ρ) → (Y
отображений f
:(X,ρ) → (Y1,σ1) и f2:(X,ρ) → (Y2,σ2) (см. пункт 0.2).
1
1×Y2,σ1×σ2
) — диагональное произведение
Доказать, что отображение f непрерывно тогда и только тогда, когда каждая
из его компонент непрерывна.
(д) Пусть f :(X
изведение отображений f
× X2,ρ1× ρ2) → (Y1× Y2,σ1× σ2) — прямое про-
1
:(X1,ρ1) → (Y1,σ1) и f2:(X2,ρ2) → (Y2,σ2).
1
Доказать, что для непрерывности прямого произведения отображений необходима и достаточна непрерывность каждого из его сомножителей.
7.3 (a) Пусть F — замкнутое непустое множество пространства (X, ρ)
и h(x)=ρ(x, F ), x ∈ X. Доказать, что h ∈ C(X) и h(x) > 0 для любого x/∈ F .
(б) Пусть A и B — замкнутые непересекающиеся множества в про-
странстве (X, ρ).Положим
f(x)=
ρ(x, A)
ρ(x, A)+ρ(x, B)
.
Показать, что f :(X,ρ) → R — непрерывное отображение, множество зна-
чений которого содержится в отрезке [0, 1],причемf (x)=0вточкахx ∈ A
(т. е. A —естьнуль-множество отображения f )иf (x)=1вточкахx ∈ B.
7.4. Пусть f, g :(X,ρ) → (Y,σ) — непрерывные отображения. Доказать,
что тогда множество A = {x ∈ X : f (x)=g(x)} замкнуто в (X, ρ),аеслиA
всюду плотно в (X, ρ),тоf = g.
7.5. Две метрики ρ
эквивалентными,еслидлякаждогоε>0 существуют такие δ
что при всех x, x
(x, x) <ε,кактолькоρ2(x, x) <δ2.
и ρ
1
Показать, что метрики ρ
ны тогда и только тогда, когда тождественное отображение I
ства (X, ρ
) на (X, ρ2) является гомеоморфизмом.
1
Будет ли тождественное отображение I
ным при ρ
(x, y) ρ2(x, y) или при ρ1(x, y) ρ2(x, y)?
1
7.6. Пусть ρ
, ρ2—метрикинамножествеX и f :(X, ρ1) → (Y, σ) —
1
непрерывное отображение. Какая должна быть метрика ρ
жение f :(X,ρ
) → (Y, σ) было также непрерывно?
2
и ρ2на множестве X называются равномерно
1
> 0 и δ2> 0,
1
∈ X имеем ρ2(x, x) <ε,кактолькоρ1(x, x) <δ1,
и ρ2на множестве X равномерно эквивалент-
1
:(X,ρ1) → (X, ρ2) непрерыв-
X
простран-
X
, чтобы отобра-
2
78 §7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
7.7. (а) Доказать, что отображение f :(X, ρ) → (Y,σ) непрерывно
вточкеx
в том и только в том случае, когда выполнено одно из следу-
0
ющих утверждений:
(i)[f (x
(ii)+x
(iii)(x
) ∈ Int B]=⇒+x0∈ Int f−1(B) для каждого B ⊂ Y,;
0
∈ f−1(Int B),=⇒+x0∈ Int f−1(B) для каждого B ⊂ Y,;
0
∈ f−1(B))=⇒+x0∈ f−1(B) для каждого B ⊂ Y,.
0
(б) Используя соотношения пункта (а), установить справедливость следующегоутверждения(критерий непрерывности
о т о б р а ж е н и я): для непрерывности отображения f :(X, ρ) → (Y, σ)
необходимо и достаточно выполнение одного из условий:
A⊂ f (A) для любого множества A ⊂ X;
(i) f
(ii)
f−1(B) ⊂ f−1(B) для любого множества B ⊂ Y.
7.8. Пусть f :(X, ρ) → (Y, σ) — непрерывное отображение. Доказать,
что функция
˜ρ(x, y)=ρ(x, y)+σ(f (x),f(y))
определяет метрику на множестве X, эквивалентную метрике ρ,причем
отображение f равномерно непрерывно относительно метрик ˜ρ и σ.
7.9. Пусть f :(X, ρ) → (X, ρ) — непрерывное отображение и задана
функция
i
где f
(x)=f(f
&ρ(x, y)=ρ(x, y)+
i−1
(x)) при i 1 и f0(x)=x. Доказать, что функция ˆρ
∞
1
· ρ(fi(x),fi(y)),
i
2
i=1
определяет на X метрику, эквивалентную метрике ρ,иf :(X,ρ) → (X, ˆρ)
равномерно непрерывно относительно метрик ρ и ˆρ.
7.10. Доказать, что
(a) если отображение f :(X, ρ) → (Y, σ) непрерывно, то его график
Γ
= {(x,y) ∈ X ×Y : y = f(x)}
f
есть замкнутое множество в произведении пространств (X, ρ)
и (Y,σ) (см. пример 2.14);
(б) отображение f :(X, ρ) → (Y, σ) непрерывно тогда и только тогда,
когда отображение h :(X,ρ)→(Γ
, (ρ×σ)
f
),где(Γf, (ρ × σ)
Γ
f
) —
Γ
f
подпространство пространства (X ×Y, ρ×σ), задаваемое по формуле h(x)=(x,f (x)), является гомеоморфизмом, где (Γ
, (ρ ×σ)
f
) —
Γ
f
подпространство пространства (X × Y, ρ × σ).
§7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 79
7.11. Колебанием отображения f :(X, ρ) → (Y,σ) вточкеx0∈ X
называется величина
где d(f (B
ω(f, x
,r))) — диаметр образа шара BX(x0,r) из простран-
X(x0
) := lim
0
d(f(BX(x0,r))),
r→0
ства (X, ρ) при отображении f .
Доказать следующие утверждения:
(a) отображение f :(X, ρ) →(Y,σ) непрерывно в точке x
и только тогда, когда ω(f, x
)=0(критерий непрерывности Бэра);
0
∈ X тогда
0
(б) множество тех точек, в которых колебание отображения f равно
нулю есть G
в которых колебание не равно нулю является F
-множество (или другими словами: множество точек,
δ
-множеством).
σ
7.12. (а) Доказать, что отображение f :(X, ρ) → (Y, σ) непрерывно
тогда и только тогда, когда каждая точка x
стью O(x
= F
), что сужение f
0
(б) Пусть F
1∪F2
, F2— замкнутые (или открытые) множества в (X, ρ) и X =
1
. Доказать, что отображение f :(X, ρ) → (Y, σ) непрерывно тогда
и только тогда, когда его сужения f
(в) Доказать, что если композиция непрерывных отображений f :
*
*
O(x0)
:(O(x0),ρ
*
*
F
1
∈ X обладает такой окрестно-
0
) → (Y, σ) — непрерывно.
O(x0)
*
∈ C(F1,Y) и f
*
∈ C(F2,Y).
F
2
(X, ρ) → (Y,σ) и g :(Y,σ) → (Z, d) является замкнутым (открытым) отоб-
ражением, то сужение g|
f(X)
:(f(X ),σ
) → (Z, d) замкнуто (открыто).
f(X)
(г) Пусть f :(X, ρ) → (Y,σ) — замкнутое (открытое) отображение.
Показать, что для каждого множества M ⊂ Y отображение f
ρ
) → (M, σM) замкнуто (открыто).
f−1(M)
7.13. (а) Доказать, что отображения проектирования π
:(f−1(M),
M
и πY(см. за-
X
дачу 7.2.(в)) являются открытыми отображениями.
(б) Доказать, что для любого множества A, открытого (замкнутого)
в (X ×Y, ρ×σ),илюбойточкиx
∈ X множество A(x0)=πY(A ∩({x0}×
0
×Y )) открыто (замкнуто) в (Y, σ).
7.14. Какие из следующих отображений открыты или замкнуты в про-
странстве R:
(а) f(x)=
1+x
(в) f(x)=2;
1
;
(б) f(x)=
2
(г) f(x)=sinx?
0, при x<0,
1, при x 0;
7.15. Доказать, что образ связного МП (см. задачу 3.19) при непрерыв-
ном отображении является связным.
80 §7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
7.16. Пусть (X, ρ) — связное МП и функция f ∈ C(X ) принимает
значения f(x
лежащего между a и b, найдется такая точка x
7.17. Путем в пространстве (X, ρ), соединяющем точки x
)=a ∈ R, f (x2)=b ∈ R. Доказать, что для любого числа c,
1
∈ X, в которой f (x0)=c.
0
, x2∈ X,
1
называется непрерывное отображение f отрезка [α, β], наделенного индуцированной метрикой из пространства R, в пространство (X,ρ),такое,
что f(α)=x
и f(β)=x2.Точкиx1, x2называют началом и концом
1
пути, соответственно, а множество f([α, β]) — носителем пути.
МП линейно связно, если две его произвольные точки могут быть со-
единены некоторым путем.
(a) Доказать, что всякое линейно связное МП связно (см. задачу 3.19).
(б) Показать, что множество
π
M = {(x, y):y =sin
,x=0}∪{(x, y):x =0, |y| 1}
x
связно, но не линейно связно.
7.18. Множество M ⊂ R
чек x, y ∈ M отрезок [x, y]={z ∈ R
содержится в M . Показать, что
(a) любое выпуклое множество в пространстве R
(б) открытый шар B(x
n
называется выпуклым, если для любых то-
,r) в пространстве Rn(см. пример 2.3) явля-
0
n
: z =(1− t)x + ty, t ∈ [0, 1]}
n
линейно связно;
ется выпуклым множеством.
7.19. Ломаной в пространстве R
n
называется путь в R
n
ϕ:[α, β] → Rn,t→ ϕ(t)=(ϕ1(t),ϕ2(t), ...,ϕn(t)),t∈ [α, β],
для которого существует разбиение T = {α = t
0<t1
отрезка [α, β], такое, что на любом частичном отрезке [t
<...<tm= β}
] (k =1,m)
k−1,tk
сужение отображения ϕ имеет вид
ϕ(t)=ϕ(t
т. е. носитель Γ
k−1
пути ϕ :[t
k
)
tk− t
t
− t
k
k−1,tk
+ ϕ(tk)
k−1
] → Rnесть отрезок в Rn.
t − t
tk− t
k−1
k−1
,t∈ [t
k−1,tk
Доказать,что если G — открытое непустое множество пространства R
то следующие условия эквивалентны:
(а) множество G связно;
(б) множество G линейно связно;
(в) любые две точки из G можно соединить ломаной, целиком лежащей
в G.
],
n
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]