Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метрические пространства. Теория, задачи, решения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 181

26.

Решетняк Ю. Г.

Новосибирск: НГУ, 1979.

27.

Решетняк Ю. Г.

Ин-та математики, Ч. I, кн. 1, 1999; Ч. I, кн. 2, 1999; Ч. II, кн. 1, 2000; Ч. II, кн. 2, 2001.

28.

Рудин У.

29.

Садовничий В. А.

30.

Треногин В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С.

по функциональному анализу. – М.: Наука, 1984.

31.

Хаусдорф Ф.

32.

Шварц Л.

33.

Шилов Г. Е.

гиз, 1961.

34.

Энгелькинг Р.

Основы математического анализа. – М.: Мир, 1976.

Сборник задач по курсу математического анализа. –

Курс математического анализа. – Новосибирск: Изд-во

Теория операторов. – М.: МГУ, 1986.

Задачи и упражнения

Теория множеств.– М.-Л.: Гостехиздат, 1937.

Анализ: Т.1 – М.: Мир, 1972.

Математический анализ: Специальный курс. – М.: Физмат-

Общая топология. – М.: Мир, 1986.

Указатель основных обозначений

Когда мы воспроизводим знак, то мы тем самым создаем определенную опору нашей мысли, — определенный центр, вокруг которого возникают различные представления.

ρ —метрика ρ

ρ(x, y) — расстояние между точками x и y ρ(x, A) — расстояние от точки x до множества A ρ(A, B) — расстояние от множества A до множества B d(A) — диаметр множества A

|X| — мощность множества X B(A, r) — шаровая окрестность (или r-шар) множества A B(x B(x0,r) — замкнутый шар с центром в точке x0радиуса r S(x C(x A — замыкание множества A



IntA — внутренность множества A FrA — граница множества A

Int

— метрика, индуцированная метрикой ρ на подмножестве M

× ρY— произведение метрик ρXи ρ

— метрика Хаусдорфа

— диагональ множества X

,r) — открытый шар с центром в точке x0радиуса r

,r) — сфера с центром в точке x0радиуса r

) — компонента связности точки x0вМП

— производное множество множества A

— замыкание множества B в подпространстве (M, ρM)

B — внутренность множества A в подпространстве (M, ρM)

Г. Фреге

УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 183

FrMB — граница множества A в подпространстве (M,ρM)

,r) — открытый шар с центром в точке x0радиуса r в подпро-

M(x0

странстве (M, ρ

)

X(f<a), X(f>a), X(f  a), X (f  a) — множества Лебега функ-

ции f , определенной на множестве X

— график функции f — сужение отображения f на множество A

f ◦ g — композиция отображении f и g

Обозначения пространств

(X, ρ) C(X, Y ) (X ×Y, ρ

× ρY) Cb(X, Y )

R M[a, b]

sl cl m

[a, b] Lp[a, b](1  p<∞)

[a, b] Hα[a, b](α>0)

[a, b]

(1  p  ∞)

[a, b](1  p<∞)

Сокращения

МП — метрическое пространство ПМП — полное метрическое пространство

Предметный указатель

ε-емкость пространства 121 ε-различимая система множеств 121 ε-сеть пространства 111 ε-энтропия пространства 121

Аксиома симметрии 25 —тождества25 — треугольника 25

База пространства 64 Бесконечное множество 21 Биективное отображение 11

Верхняя граница 15 Взаимно непрерывное отображение 76 Внешняя точка множества 42 Внутренность множества 49 Внутренняя точка множества 41 Вполне ограниченное 110 — — множество 111 Всюду плотное множество 62 Второе неравенство треугольника 30 Выпуклое множество 80

Гильбертовый кирпич 115 Гомеоморфизм 76 Гомеоморфные пространства 76 Граница множества 45 Граничная точка множества 45 Граничное множество 63 Граничный оператор 52 График отображения 11

Движение пространства 74

Декартово произведение множеств 8 Диагональное отношение 10 Диагональный процесс Кантора 23 Диаметр множества 26 Дизъюнктные 6 Дискретное метрическое пространство

34 —множество44 Дополнение множества 6

Евклидовая метрика 34

Замкнутое множество 45 — отображение 76 — подпространство 55 — покрытие 110 Замкнутый шар 26 Замыкание множества 42

Изолированная точка множества 44 Изометричные пространства 74 Изометрия 74 Индуцированная метрика 55 Интегральное уравнение Вольтерра II

рода 101 — — Гаммерштейна 102 — — Урысона 101 — уравнением Фредгольма II рода 100 Инъективное отображение 11

Канонически замкнутое множество 54 — открытое множество 54 Кардинальное число 20 Класс эквивалентности 18 Колебание отображения 79

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 185

Компактное множество 122 — пространство 117

— отображений 13 Компонента связности пространства 60 —— точки61 Коплотное множество 63 Коэффициент сжатия 94 Критерий Хаусдорфа 124 — непрерывности Бэра 79 — — отображения 72, 73

Лемма Цорна 17 Линейно связное пространство 80 — упорядоченное множество 16 Локально компактное подмножество 128 — — пространство 128

Мажоранта 15 Метод последовательных приближений

96 Метрика 25 — Хаусдорфа 48 Метрическая группа 33 Метрическое преобразование простран-

ства 74 — пространство 25 Миноранта 15 Множество ε-плотное в пространстве

111 — Лебега 73 — второй категории 65 — значений отображения 11 — конечное по Дедекинду 21 — первой категории 65 — типа F — типа G

Наибольший элемент 15 Наименьший элемент 15 Насыщенное множество 19 Не более чем счетное множество 21

Неподвижная точка отображения 94 Непрерывное отображение 72 — продолжение отображения 81 Неравенство треугольника 25 Неравенство четырехугольника 30 Несвязное пространство 48 Несчетное множество 21 Нигде не плотное множество 63 Нижняя граница 15 Нуль-множество 77

Область 60 — значений отношения 9 — определения отношения 9 — — отображения 11 Обобщенная последовательность 17 Образ множества 11 Обратное отношение 10 — отображение 11 Объединение множеств 6 Ограниченная метрика 26 Ограниченное отображение 74 — сверху 15 — снизу 15 Окрестность множества 41 —точки41 Оператор взятия внутренности 49 — замыкания 50 Отделимые множества 69 Открытая окрестность множества 41 — часть множества 49 Открытое множество 41 — — в подпространстве 56 — отображение 76 — подпространство 55 — покрытие 110 Открытый шар 26 Относительно компактное множество

124 Отношение линейного порядка 16 — между множествами 9 — порядка 15

186 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

— частичного упорядочивания 15 — эквивалентности 17 Отображение множества 10 — непрерывное в точке 71 — — в точке по Гейне 71 —— вточкепоКоши 71

Пересечение множеств 6 Плотное в себе множество 68 Подпокрытие покрытия 7, 110 Подпоследовательность последователь-

ности 22 Подпространство пространства 55 Покрытие множества 7 — пространства 110 Полная метрика 83 Полное пространство 83 Польский отрезок 47 Пополнение пространства 104 Последовательность Коши 82 — элементов множества 22 Постоянное отображение 13 Предел последовательности 29 Предельная точка 44 Предкомпактное множество 124 Предложение об устойчивости непо-

движной точки 97 Принцип равномерной ограниченности

92 — сжимающих отображений 94 Продолжение отображения 14 Произведение метрик 36 — пространств 36 Производное множество 44 Прообраз множества 11 Пространство Бэра 31 — Гельдера 88 — Лебега 109 — Соболева 109 — замкнутых ограниченных подмно-

жеств 48 — изолированных точек 34

Псевдометрика 33 Псевдометрическое пространство 33

Равномерная сходимость последователь-

ности 74 Равномерно непрерывное множество 74 — ограниченное на множестве семей-

ство отображений 130 — эквивалентные метрики 77 Равномощные множества 20 Равностепенно непрерывное на множе-

стве семейство отображений 130 Разбиение множества 7 Разность множеств 6 Расстояние между элементами 25 —отмножествадомножества27 — от точки до множества 26

Связное множество 60 — пространство 48 Сепарабельное пространство 64 Сжимающее отображение 94 Симметрическая разность множеств 6 Собственное подмножество 6 Совершенное множество 68 Степень отображения 13 Сужение отображения 14 Сфера 26 Сходящаяся последовательность точек

28 Счетное множество 21 Сюръективное отображение 11

Теорема Арцела — Асколи 130 — Бореля—Лебега 128 — Дини 121 — Кантора 84 — Кантора – Бернштейна. 20 — Куратовского 85 — Лебега о покрытии компактного про-

странства 121 — Пикара 100 — о сравнении мощностей 20

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 187

Тождественное отношение 10 Тождественное отображение 13 Точка прикосновения множества 42 Точная нижняя грань 15

Ультраметрическое неравенство 31 — пространство 31 Упорядоченная пара 8 Условие Бореля-Лебега 117 — Гельдера 88 — Липшица 99

Фактор-множество 19 Фактор-отображение 19 Формулы де Моргана 7

Фундаментальная последовательность

82 Функциональное отношение 10 Функция Грина 166

Частично упорядоченное множество 15 Чебышевская метрика 35 Число Лебега 121

Шаровая окрестность множества 26

Эквивалентные метрики 29

Ядро интегрального уравнения 100

Содержание

— Я думаю, Дон, что в моей голове это просто не может уместиться. Я просто не знаю, как мне удастся все это выучить.

— Практикой. Немножко теории и много практики, — сказал он.— На это уходит примерно дней десять.

Р. Бах. Иллюзии

Введение ................................ 3

§0. Сведения из теории множеств .................. 5

0.1. Множестваиотношения ..................... 5

0.2. Отображениямножеств...................... 10

0.3. УпорядоченныемножестваилеммаЦорна........... 15

0.4. Отношениеэквивалентности................... 17

0.5. Мощностьмножества....................... 20

0.6. Последовательности и диагональный процесс Кантора . . . . 22

§1. Метрические пространства .................... 25

Задачииупражнения .......................... 30

§2. Примеры метрических пространств ............... 34

Задачииупражнения .......................... 36

§3. Структура подмножеств метрического пространства ..... 41

Задачииупражнения .......................... 46

§4. Операторы взятия внутренности, замыкания и граничный опе-

ратор ................................ 49

Задачииупражнения .......................... 52

§5. Подпространство метрического пространства ......... 55

Задачииупражнения .......................... 58

СОДЕРЖАНИЕ 189

§6. Различные классы подмножеств ................. 62

Задачииупражнения .......................... 66

§7. Непрерывные отображения .................... 71

Задачииупражнения .......................... 76

§8. Полные метрические пространства ............... 82

Задачииупражнения .......................... 86

§9. Теорема Бэра о категории ..................... 90

Задачииупражнения .......................... 92

§10. Принцип cжимающих отображений ............... 94

Задачииупражнения .......................... 98

§11. Пополнение метрического пространства ............ 104

Задачииупражнения ..........................108

§12. Вполне ограниченные пространства .............. 110

Задачииупражнения ..........................114

§13. Компактные пространства .................... 117

Задачииупражнения ..........................120

§14. Компактные и предкомпактные множества .......... 122

Задачииупражнения ..........................125

§15. Критерии предкомпактности в конкретных пространствах . 130

Задачииупражнения ..........................135

Решения и указания .......................... 137

Список использованной литературы ................. 179

Указатель основных обозначений .................. 182

Предметный указатель ........................ 184

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или электронной почтой:

subscribe@rcd.ru

Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш

Интернет-магазин:

http://shop.rcd.ru

Книги также можно приобрести:

1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307, тел.: 332–48–92 (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34)

2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135–54–37

3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)

4. Магазины: Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)

«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8) «Библиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6) Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г.Долгопрудный,

Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409–93–28)

С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)

Бичегкуев Маирбек Сулейманович

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

ТЕОРИЯ, ЗАДАЧИ, РЕШЕНИЯ

Дизайнер М. В. Ботя

Технический редактор А. В. Широбоков

Компьютерная верстка Д. П. Вакуленко

Корректор А. Р.Логунов

Подписано в печать 24.01.2019. Формат 60 × 841/16.

Печать офсетная. Усл.печ. л. 10,81. Уч. изд. л. 10,65.

Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ №50.

НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»

http://shop.rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500–295

426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]