Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрические пространства. Теория, задачи, решения
.pdf
0.5. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА 21
сопоставлен некоторый объект — его мощность, который обозначают символом |X|. Равенство |X| = |Y | имеет место в том и только том случае,
если множества X и Y равномощны. В случае, если множество X рав-
номощно некоторому подмножеству множества Y , говорят, что мощность
множества X не больше мощности множества Y , и пишут |X| |Y |.Отсюда получаем, что если X ⊂ Y ,то|X| |Y |.
Говорят, что мощность множества X меньше мощности множества Y ,
если |X| |Y |, |X | = |Y |, и пишут |X | < |Y |.
Множество называется конечным (по Дедекинду), если оно не равно-
мощно никакому собственному подмножеству, в противном случае — бес-
конечным. Таким образом, характерным признаком бесконечных множеств
является возможность быть равномощным своей собственной части.
Множество X называется счетным, если оно равномощно множеству
натуральных чисел N,т.е.|X |
мощность ℵ
(читается «алеф-нуль») и пишут |X | = ℵ0.
0
= |N|, или говорят, что множество имеет
З а м е ч а н и е 0.5.1. Из определения счетного множества вытекает,
что все его элементы можно пронумеровать всеми натуральными числами.
Действительно, пусть f — некоторая конкретная биекция между счетным
множеством X имножествомN,f: X → N. Присвоим элементу x номер n,
если f (x)=n,иположимx = x
. Следовательно, счетное множество X
n
можем записать в виде
X = {x
,...,xn,...},
1,x2
который индуцируется порядком следования натуральных чисел, хотя в самом множестве X никакого порядка нет.
Приведем некоторые с в о й с т в а с ч е т н ы х м н о ж е с т в:
(а) всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно;
(б) объединение конечного или счетного семейства счетных множеств
счетно;
(в) всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Если про множество X известно, что оно либо конечно, либо счетно,
то говорят, что множество X не более чем счетно, и пишут |X| ℵ
.
0
Множество называется несчетным, если оно не конечно и не счетно.
Примером несчетного множества является множество точек отрезка [0, 1],
а его мощность называется мощностью континуума. При этом имеет место
утверждение: если X — несчетное множество и множество A не более чем
счетно, то множество X \A несчетно.
22 §0. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
0.6. Последовательности и диагональный процесс Кантора
Пусть X — произвольное непустое множество. Последовательностью
элементов множества X называется всякое отображение
N n → x
n
∈ X,
областью определения которого является множество натуральных чисел N,
а областью значений — множество X .Приэтомx
называется n-м элемен-
n
том (или n-м членом) последовательности, а n — номером этого элемента.
Вместо «последовательности элементов множества X » будем писать
также «последовательность из X»или«последовательность в X».
Для сокращенной записи последовательности N n → x
меняется один из следующих символов: (x
n
∈ X )
n∈N
, (xn)
∈ X при-
n
, (xn)
n∈N
∞
n=1
или просто (xn). Первые три символа используют, как правило, в тех случаях, когда выражение x
(n +5m)
означает последовательность (1 + 5m, 2+5m, 3+5m,...,n+
n∈N
+5m,...), в то время как (n +5m)
содержит индексы, отличные от n (например,
n
есть последовательность (n +5,n+
m∈N
+10,...)).
Непосредственно из определения равенства функции следует, что две
последовательности (x
каждого n ∈N, и пишут (x
) и (yn) равны (или совпадают), если xn= ynдля
n
n)n∈N
=(yn)
n∈N
.
З а м е ч а н и е 0.6.1. Для записи последовательности употребляется символ (x
, отличный от символа {xn: n ∈ N}, использующийся
n)n∈N
для обозначения множества значений последовательности. При этом отметим, что разные последовательности могут иметь одно и то же множество
значений (например, ((−1)
= {−1, 1} = {(−1)
n+1
n
)
=((−1)
n∈N
n+1
)
и {(−1)n: n ∈ N} =
n∈N
: n ∈ N}). Кроме того, последовательность имеет
бесконечное множество элементов, а множество значений может быть конечным.
Пусть (x
ность (y
сти (x
k)k∈N
n)n∈N
→ n(k) ∈ N (т.е. если k<l,тоn(k) <n(l)), такая, что y
любого k ∈ N. Другими словами, последовательность (x
ставляющая собой сужение отображения N n → x
есть заданная последовательность в X . Последователь-
n)n∈N
в X называется подпоследовательностью последовательно-
, если существует строго возрастающая функция N k →
= x
k
)
k∈N
n(k)
∈ N на множество
n
для
n(k)
,пред-
значений строго возрастающей функции N k → n(k) ∈ N, называется
подпоследовательностью последовательности (x
n)n∈N
.
Так как функция n(k),k ∈ N, задает (возрастающую) последователь-
ность в N, то, учитывая обозначения элементов последовательности, мо-
0.6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ДИАГОНАЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС КАНТОРА 23
жем записать n(k)=nkдля каждого k ∈ N. Поэтому последовательность
)
(x
n(k)
принимает следующий вид: (x
k∈N
есть подпоследовательность последовательности (xn)
из элементов последовательности (x
n)n∈N
)
. Таким образом, (x
n
k∈N
k
, если она состоит
n∈N
)
n
k
и порядок следования ее элемен-
k∈N
тов совпадает с порядком их следования в исходной последовательности
или, по-другому, (x
тем вычеркивания тех членов x
)
n
получается из последовательности (xn)
k∈N
k
, которые отличны от x
n
, а затем невы-
n
k
n∈N
пу-
черкнутые члены нумеруют заново в порядке следования их прежних номеров.
)
Если (x
сти (x
n)n∈N
и пишут (x
n
k
, то говорят, что она извлечена из последовательности (xn)
)
n
k
является подпоследовательностью последовательно-
k∈N
k∈N
⊂ (xn)
n∈N
.
n∈N
Пусть X — некоторое непустое множество. Отображение
,
N × N ×...× N
k
(n1,n2,...,nk) → x
n1n2...n
k
∈ X
называется k-кратной последовательностью элементов множества X
и обозначается символом
(x
n1n2...n
)
(n1,n2,...,nk)∈N×N×...×N
k
или
(x
n1n2...n
)
n1,n2,...,nk∈N
k
.
Однократная последовательность называется просто последовательно-
стью, а 2-кратная — двойной последовательностью.
Аналогично, как и выше, вводится понятие подпоследовательности
для k-кратной последовательности.
Теорема 0.6.1 (диагональный процесс Кантора). Пусть (x
заданная последовательность в X и ((x
ность последовательностей (x
m,n)n∈N
m,n)n∈N)m∈N
, удовлетворяющая следующим
— последователь-
n)n∈N
условиям:
(а) последовательность (x
стью (x
n)n∈N
(т. е. x
1,n
= xnдля любого n ∈ N);
1,n)n∈N
(б) при каждом m ∈ N последовательность (x
подпоследовательностью последовательности (x
есть подпоследовательность последовательности (xn)
совпадает с последовательно-
m+1
m,n)n∈N
,n)
.Тогда(x
n∈N
является
n∈N
n,n)n∈N
для каждо-
го m ∈ N.
С помощью индукции покажем, что для любых m ∈ N и r ∈ N
последовательность (x
m+r,n)n∈N
есть подпоследовательность (x
m,n)n∈N
.
—
24 §0. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Предположим, что для некоторого r ∈ N доказано, что (x
является подпоследовательностью (x
растающая функция μ
: N → N, такая, что
r
x
m+r,n
= x
m,μr(n)
∈ N, т. е. существует строго воз-
m,n)n
,n∈ N.
m+r,n)n∈N
С другой стороны, согласно условию (б) имеем, что найдется строго возрастающая функция ν : N → N, для которой
x
m+r+1,n
= x
m+r,ν (n)
,n∈ N.
Следовательно,
x
m+r+1,n
где μ
(n)=μr(ν(n)) для каждого n ∈N. Ясно, что функция μ
r+1
строго возрастающая, поэтому (x
ностью последовательности (x
довательность (x
m,n)n∈N
= x
m+r,ν (n)
= x
m+r+1,n)n∈N
m,n)n∈N
.Итак,(x
для любого r ∈ N.
m,μr(ν(n))
,n∈ N,
является подпоследователь-
m+r,n)n∈N
есть подпосле-
r+1
: N → N
Для каждого m ∈ N икаждогоr ∈N положим
x
m+r,m+r
где λ
(r)=μr(m + r). Покажем, что функция λm: N → N строго возрас-
m
тающая при каждом m.Таккакμ
λ
(r +1)=μ
m
r+1
= x
m,λm(r)
(u)=μr(ν(n)),то
r+1
,
(m + r +1)=μr(ν(m + r +1)).
Отсюда, принимая во внимание неравенство ν(m + r +1) m + r +1
(вследствие строгого возрастания функции ν), и из определения функции μ
заключаем, что
λ
(r +1)>μr(m + r +1)>μr(m + r)=λm(r).
m
Этим установлено, что λ
Положим λ
(0) = m.Прикаждомn m выполняются равенства
m
которые будут иметь место и при n = m. Так как функция n → λ
строго возрастающая при каждом m ∈ N, то заключаем, что (x
подпоследовательность последовательности (x
: N → N есть строго возрастающая функция.
m
x
n,n
= x
m,λm(n−m)
,n=1, 2,...,
m,n)n∈N
.
(n − m)
m
n,n)n∈N
есть
r
§1. Метрические пространства
Всякое правильное рассуждение можно
свести к систематическому применению небольшого числа неизменных правил, не зависящих от конкретной природы обьектов, о которых идет речь.
Н.Бурбаки
Пусть X — произвольное непустое множество. Функция
ρ : X × X → [0; ∞),
определенная на декартовом произведении X × X, принимающая неотрицательные вещественные значения и удовлетворяющая следующим условиям:
(M1) ρ(x, y)=0⇐⇒ x = y;
(M2) ρ(x, y)=ρ(y, x) для любых x, y ∈ X;
(M3) ρ(x, y) ρ(x, z)+ρ(z, y) для любых x, y, z ∈ X,
называется метрикой на множестве X.
Условия (М1) — (М3) называются аксиомами метрики;(М1)—аксиома
тождества;(М2)—аксиома симметрии;(М3)—аксиома треугольника,
или неравенство треугольника.
Число ρ(x, y) называется расстоянием между элементами
надлежащими множеству X .
Метрическимпространством(сокращенноМП) называется пара(X, ρ),
состоящая из множества X и заданной на нем метрики ρ. При этом элементы множества X (в соответствии с удобной геометрической терминологией )
обычно называют точками пространства (X, ρ), а его подмножества — подмножествами пространства (X, ρ) или множествами в пространстве (или из
пространства) (X, ρ).
Пусть (X, ρ) —МП,x
число. Множество
— некоторая точка из (X, ρ) и r — положительное
0
x и y,при-
,r): = {x ∈ X : ρ(x0,x) <r}
B(x
0
26 §1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
называется открытым шаром (или просто шаром) сцентромвточкеx
радиуса r.Множество
B(x0,r): = {x ∈ X : ρ(x0,x) r}
называется замкнутым шаром с центром в точке x
S(x
,r): = {x ∈ X : ρ(x0,x)=r}
0
называется сферой с центром в точке x
радиуса r.
0
радиуса r.Множество
0
Для множества A из пространства (X, ρ) и r>0 множество
B(A, r): = ∪{B(x, r):x ∈ A}
называется шаровой окрестностью множества A,илиr-шаром мно-
жества A. Так как для любой точки x ∈ A справедливо соотноше-
ние x ∈ B(A, r), то получаем включение A ⊂ B(A, r).
Предложение 1.1. (а) Для любой точки x
положительное число r
(б) Пусть x
и r2, таких, что 0 <r1<r2, справедливо включение B(x0,r1) ⊂
сел r
1
⊂ B(x
0,r2
0
).
(а) Положим r
x ∈ B(x
), в силу неравенства треугольника, имеем
1,r1
, такое, что B(x1,r1) ⊂ B(x0,r).
1
есть точка пространства (X, ρ). Тогда для любых чи-
= r − ρ(x1,x0). Тогда для произвольной точки
1
∈ B(x0,r) существует
1
0
ρ(x, x
) ρ(x1,x0)+ρ(x1,x) <ρ(x1,x0)+r1= r.
0
Итак, если x ∈ B(x
),тоρ(x, x0) <r, и тем самым требуемое включение
1,r1
доказано.
(б) Возьмем произвольную точку x ∈
итаккакr
,тоρ(x, x0) <r2.Значит,x ∈ B(x0,r2).
1<r2
B(x0,r1).Тогдаρ(x, x0) r1,
Диаметром непустого множества A из пространства (X, ρ) называ-
ется число
d(A): = sup{ρ(x
): x1,x2∈ A},
1,x2
причем полагают d(∅): = 0.
Множество A ⊂ X называется ограниченным в пространстве (X, ρ),
если d(A) < ∞.
Метрика ρ на множестве X называется ограниченной числом r (огра-
ниченной), если d(X) r (если d(X) < ∞).
§1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 27
Расстоянием ρ(x0,A) от точки x0до множества A в простран-
стве (X, ρ) называется величина
,A):=inf{ρ(x0,x):x ∈ A}, если A = ∅ и ρ(x, ∅):=∞.
ρ(x
0
Так как ρ(x
то положим ρ(x
Ясно, что если x
,x)=ρ(x, x0), в силу аксиомы (М2), для каждого x ∈ A,
0
,A)=ρ(A, x0).
0
∈ A,тоρ(x0,A)=0. Подобным образом для двух
0
множеств A и B из пространства (X,ρ) расстояние ρ(A, B) от множества A до множества B есть число
ρ(A, B):=inf{ρ(x, y): x ∈ A, y ∈ B}, если A = ∅ = B,
и полагаем
ρ(A, ∅):=∞ =: ρ(∅,B).
Предложение 1.2. Пусть A, B — произвольные непустые множества
в пространстве (X, ρ). Тогда имеют место равенства
ρ(A, B)=inf{ρ(x, B): x ∈ A} =inf{ρ(A, y): y ∈ B}.
Покажем сперва, что для произвольной ограниченной снизу вещественной функции f, определенной на декартовом произведении A × B
множеств A и B, справедливо соотношение
inf
f(x, y)= inf
x∈A
y∈B
Действительно, поскольку inf
го x ∈A,то inf
x∈A
y∈B
существует пара (x
x∈A
x∈A
y∈B
f(x, y) inf
ε,yε
x∈A
) ∈ A ×B, такая, что f (xε,yε) < inf
f(x, y)=inf
inf
y∈B
f(x, y) inf
(inf
f(x, y)). Далее, для каждого ε>0
y∈B
f(x, y).
inf
y∈B
x∈A
f(x, y) для произвольно-
y∈B
f(x, y)+ε.
x∈A
y∈B
С другой стороны, из неравенства
inf
x∈A
f(x, y) inf
inf
y∈B
f(xε,y) f(xε,yε),
y∈B
28 §1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
имеем: inf
x∈A
(inf
f(x, y)) inf
y∈B
f(x, y)+ε. Отсюда, ввиду произвольного
x∈A
y∈B
выбора ε, получаем, что
inf
x∈A
f(x, y) inf
inf
y∈B
x∈A
y∈B
f(x, y)
и (с учетом предыдущего)
inf
x∈A
f(x, y)=inf
inf
y∈B
x∈A
y∈B
f(x, y).
Аналогично доказывается равенство
inf
y∈B
f(x, y) inf
inf
x∈A
x∈A
y∈B
f(x, y).
Для получения утверждения рассматриваемого предложения достаточно положить f(x, y)=ρ(x, y).
Предложение 1.3. Пусть (X, ρ) — произвольное МП. Тогда для лю-
бых точек x, y ∈ X и любого непустого множества A ⊂ X справедливо
неравенство
|ρ(x, A) − ρ(y, A)| ρ(x, y).
Для каждой точки z ∈ A в силу неравенства треугольника име-
ем ρ(x, z) ρ(x, y)+ρ(y, z),поэтому
ρ(x, A)= inf
ρ(x, z) inf
z∈A
= ρ(x,y)+ inf
z∈A
(ρ(x, y)+ρ(y, z)) =
z∈A
ρ(y, z)=ρ(x, y)+ρ(y, A).
Аналогично рассуждая, получаем, что ρ(y, A) ρ(x, y)+ρ(x, A).
Отображение N n → x
в соответствие точку x
n
ность точек этого пространства и обозначается символом (x
семейство с индексом (x
n)n∈N
Говорят, что последовательность точек (x
дится к точке x
∈ X, если числовая последовательность (ρ(xn,x0))
0
∈ X, которое каждому числу n ∈ N ставит
n
пространства (X,ρ), называется последователь-
(см. 0.6).
n
) пространства (X, ρ) схо-
n
) или как
§1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 29
сходится к нулю при n →∞, lim
или lim
xn= x0.Точкаx0называется пределом последовательности (xn).
n→∞
ρ(xn,x0)=0, и пишут xn→ x
n→∞
Из определения сходимости числовой последовательности имеем: последовательность (x
любого ε>0 существует такой номер n
при n>n
.
0
) пространства (X,ρ) сходится к точке x0,еслидля
n
= n0(ε),чтоρ(xn,x0) <ε
0
Предложение 1.4. Всякая сходящаяся последовательность точек МП
ограничена и имеет не более одного предела.
Предложение 1.5. Если lim
подпоследовательности (x
Две метрики ρ
и ρ2на множестве X называются эквивалентными,
1
n
k
xn= x0,то lim
n→∞
n→∞
x
n
k
) последовательности (xn).
= x0для любой
если они индуцируют одну и ту же сходимость, т.е. для каждой точ-
∈ X икаждойпоследовательности(xn) точек пространства (X, ρ1)
ки x
0
условие lim
да lim
n→∞
ρ1(xn,x0)=0выполняется тогда и только тогда, ког-
n→∞
ρ2(xn,x0)=0.
Теорема 1.1. Для каждого пространства (X, ρ) существует метри-
на множестве X, эквивалентная метрике ρ и ограниченная числом 1.
ка ρ
1
Положим
ρ
(x, y)=min{1,ρ(x, y)}, ∀x, y ∈ X.
1
Покажем, что ρ
—метриканамножествеX.Ясно,чтоρ1удовлетво-
1
ряет условиям (M1) и (M2). Пусть x, y и z — произвольные точки множе-
ства X .Положимa = ρ(x, y), b = ρ(y, z), c = ρ(x, z). Так как каждое из
чисел 2, 1+a, 1+b и a + b больше или равно 1 либо c,то
0
min(2, 1+a, 1+b, a + b) min(1,c),
поэтому
ρ
(x, y)+ρ1(y,z)=min(1,a)+min(1,b)=
1
=min(2, 1+a, 1+b, a + b) min(1,c)=ρ
Следовательно, ρ
определения метрики ρ
удовлетворяет и условию (M3). Непосредственно из
1
заключаем, что она ограничена числом 1 иэкви-
1
валентна метрике ρ.
(x, z).
1
30 §1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Задачи и упражнения
1.1. Пусть X — произвольное множество и функция ρ : X × X → R
удовлетворяет следующим условиям:
(M1) ρ(x, y)=0⇐⇒ x = y;
(M2) ρ(x, y) ρ(z, x)+ρ(z, y),
для любых x, y, z ∈ X. Доказать, что функция ρ является метрикой на множестве X.
1.2. (а) Доказать, что в произвольном пространстве (X, ρ) для любых
точек x, y, z, t ∈ X справедливы неравенства:
|ρ(x, y) −ρ(y, z)| ρ(x, z) (второе неравенство треугольника);
|ρ(x, z) −ρ(
y, t)| ρ(x, y)+ρ(z, t) (неравенство четырехугольника).
(б) Показать, что метрика ρ — непрерывная функция, т. е. если x
n
→ x
и yn→ y0,тоρ(xn,yn) → ρ(x0,y0).
1.3. (а) Пусть f :[0,∞) → R — непрерывно дифференцируемая функ-
ция, удовлетворяющая условиям: а) f (0) = 0 и f(x) > 0 при x>0;
f(x)
б) f (x) — не убывает на [0, ∞);в)
не возрастает при x>0. Доказать,
x
что функция ρ(x, y)=f(|x − y|) определяет метрику на R.
(б) Показать, что никакая из следующих функций не является метрикой
на множестве всех неперывных функций на отрезке [a, b]:
f
(x, y)=|x(t) −y(t)|;
1
f
(x, y)= max
2
(x, y)=
f
3
(x(t) −y(t))2;
atb
b
(x(t) −y(t))dt.
a
1.4. Пусть ρ —метриканамножествеX . Доказать, что следующие
функции
(a) ρ
(x, y)=
1
(x, y)=ln(1+ρ(x, y)),
(б) ρ
2
(в) ρ
(x, y)=arctgρ(x, y),
3
(г) ρ
(x, y)=1+ρ(x, y) −1,
4
(д) ρ
(x, y)=1− e
5
ρ(x, y)
1+ρ(x, y)
−ρ(x,y)
,
,
также являются метриками на X и указать, какие из них эквивалентны
метрике ρ.
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]