Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантово-размерные эффекты в наномасштабных проводниках
.pdf
Вязкость. Выражение для электронного
(дырочного) газа в наноленте легко получить, умножая (4.1) на плот-
ность носителей заряда (здесь
‒ эффективная масса свобод-
ных носителей заряда):
. (4.2)
‒ Теплопроводность. Аналогично, выражение для
в рассматриваемой наноленте может быть получено
из (4.2) путем умножения на удельную теплоемкость электронного
(дырочного) газа
где ‒ число степеней свобо-
ды частиц в таком двумерном газе:
(4.3)
Заметим, что в баллистическом режиме транспорта фононов в нанолентах находится в следующем виде [18, 20, 21]:
,
т. е. его величина примерно в три раза больше.
‒ Электропроводность. Как показано Р. Ландауэром [34],
в случае квантового транспорта носителей заряда в двумерном электронном газе, каждый из них дает вклад в двумерную удельную электропроводность (), равный
81
25,8128
K
R
. (4.4)
Он обратен по величине сопротивлению фон Клитцинга
кОм – сопротивлению одного квантового канала одномер-
ного движения электронов.
Поскольку удельную электропроводность можно выразить через
концентрацию носителей заряда и их подвижность : , то,
приравнивая это выражение правой части формулы (4.4), получаем
, откуда, в соответствии с (4.1) приходим к хорошо извест-
ному соотношению Эйнштейна
теперь уже для двумерного нанопроводника.
С учетом спинового и долинного
вырождений электрон-
ных состояний в наноленте конечной ширины число каналов
квантового транспорта носителей заряда
. (4.5)
В случае нанотрубки на длине окружности ее поперечного сечения должно укладываться целое число волн де Бройля для электрона.
Аналогично рассуждая, легко получить выражение для числа квантовых каналов транспорта носителей заряда в нанотрубках в виде
. (4.6)
Волновое число Ферми в формулах (4.5), (4.6) можно выразить
через концентрацию свободных носителей заряда:
.
82
При термическом возбуждении в графене это будут в равной концентрации электроны и дырки. Концентрацию и тех, и других можно вычислить по формуле (см. п. 1.3)
.
Тогда
,
и число каналов электропроводности в наноленте можно найти по
формуле
. (4.7)
Для нанотрубки
. (4.8)
Конечно, конкретные значения и зависят от типа края
наноленты и хиральности нанотрубки. Поскольку в случае явлений
переноса в двумерном электронном газе нас интересуют металлические наноленты и нанотрубки, то края графеновых нанолент должны
быть типа «зигзаг», а углеродные нанотрубки должны быть типа
«кресло». Тогда для нанотрубки типа (n,n) получаем диаметр [15]
n ,
где
длина межатомной связи (в случае углеродной нанотрубки
= 0,142 нм).
Наряду с выражениями (4.1)‒(4.4), формулу (4.7) нужно учитывать при расчетах плотностей потоков переносимой физической вели-
83
чины в конкретных явлениях переноса в нанолентах, а формулу (4.8)
– в нанотрубках.
Во всех описанных явлениях мы имеем дело с квантовыми явлениями переноса без диссипации энергии. Поскольку волны де Бройля
электронов и дырок имеют стохастическую природу, то явления переноса в нанопроводниках и изготовленных из них линиях передачи
являются необратимыми. Если же длина нанопроводников не превышает средней длины свободного пробега носителей заряда, то они,
оставаясь необратимыми, являются еще и недиссипативными. Кроме
того, при поперечных размерах нанопроводников менее 100 нм заметным образом проявляется квантование кинетических коэффициентов, описывающих соответствующие явления переноса.
4.2. Квантово-размерные изоляторы
Известны следующие типы кристаллических изоляторов: зонные, изоляторы с коррелированной локализацией электронов, андерсоновские изоляторы и топологические изоляторы.
Наиболее простыми с точки зрения понимания процессов плохой электропроводности (в полупроводниках) или ее полного отсутствия (в диэлектриках, являются) . Это твердые тела, имеющие в своем энергетическом спектре ,
отделяющую валентные электроны, находящиеся в валентной зоне, от
свободных электронов, находящихся в зоне проводимости [48].
Условной границей, разделяющей изоляторы на полупроводники
и диэлектрики, является ширина запрещенной зоны около 4‒5 эВ,
начиная с которой электроны не способны оторваться от своих атомов и стать свободными даже при температурах, достигающих температуры плавления материала.
84
В «ди-
электризация» кристалла с незаполненной электронами валентной зоной (т. е., с точки зрения зонной теории, металла) происходит в результате коллективной локализации свободных электронов и ограничении их участия в переносе заряда под действием приложенного
внешнего электрического поля. К таким изоляторам относятся
[49], а также изоляторы, в которых локализация элек-
тронов обусловлена возникновением в газе свободных электронов
стоячих , открытых в металлах Р. Пайерлсом [50] в 1930 г. или стоячих , обнаруженных А. Оверхаузером [51] в 1962 г.
также обязаны своими свойствами
пространственной изоляцией электронов, однако не в виде коррелированной периодической структуре, а в сильно разупорядоченных
средах [52, 53]. Хаотически расположенные островки локализации
электронов в металле приводят к появлению в зоне проводимости
энергетических «псевдощелей» и прерыванию как дрейфового, так
и диффузионного транспорта заряда.
– это твердые тела, являющиеся изоляторами внутри и металлами снаружи [54]. Их внутренняя «диэлектризация» достигается локализацией свободных носителей заряда
в двумерной или трехмерной квантовой яме. В результате возникает
запрещенная зона. Поверхностные электроны остаются нелокализованными и обусловливают металлические свойства. Они могут участвовать как в баллистическом, так и в диффузионном транспорте электрического заряда.
Важной особенностью краевых токов в топологических изоляторах является жесткая связь между спином и импульсом участвующих в них электронов: по каждому краю протекают два параллельных
встречных тока с противоположной ориентаций электронных спинов.
85
Такое возможно в случае материалов, содержащих тяжелые атомы,
в которых электроны обладают сильным спин-орбитальным взаимодействием. Поэтому в большинстве экспериментальных работ по топологическим изоляторам используются теллуриды и селениды висмута или ртути, хотя основополагающие теоретические работы
Ч. Кейна и Ю. Меле [55, 56], приведшие к их открытию, были связаны с графеном.
Отметим, что во всех рассмотренных выше типах изоляторов,
кроме зонных, имеет место фазовый переход «металл – изолятор»,
связанный с какой-либо формой локализации свободных электронов
в ограниченной области пространства. Управление этим процессом
открывает заманчивые возможности создания различного рода переключателей, реле, логических элементов и других электронных компонентов. Особый интерес представляют подобные устройства на топологических изоляторах, имеющих наномасштабные размеры и работающих в режиме баллистических краевых токов, когда отсутствуют тепловые потери энергии.
Однако широкое практическое применение таких устройств пока представляется проблематичным ввиду того, что интересующие
нас краевые токи экспериментально наблюдались в топологических
изоляторах на основе HgTe-квантовых ям [57‒61] при сверхнизких
температурах (0,2‒10 К) и зачастую в сильных магнитных полях
(до 15 Tл). Такие топологические изоляторы принято называть квантовыми спиновыми изоляторами Холла.
Здесь мы рассатриваем возможности квантово-размерного перехода металлических графеновых нанолет и углеродных нанотрубок
в обычные (не топологические) двумерные изоляторы, не имеющие
краевых состояний электропроводности. Управляемые поперечными
размерами, температурой, близкой к комнатной, и затворным напря-
86
жением, такие металл/изоляторы могли бы решать те же задачи, что
C-C
,W ml
C-C
3,m
dl
и топологические изоляторы, но гораздо проще.
Объектами исследования являлись графеновые наноленты
(ГНЛ) с краями типа «зигзаг» и углеродные нанотрубки (УНТ) с торцами типа «кресло» (рис. 4.1).
Рис. 4. 1. Исследуемые наноленты () и ()
Выбор именно таких ГНЛ и УНТ вызван те, что они заведомо
обладают металлическими свойствами [62, 63] и, следовательно,
именно в них предполагается обнаружить переход в состояние изолятора, в т. ч. диэлектрика. Этот переход должен происходить за счет
локализации свободных носителей заряда в прямоугольной (в случае
ГНЛ) или цилиндрической (в случае УНТ) потенциальной (квантовой) яме.
Разумеется, ни ширина W наноленты, ни диаметр d нанотрубки
не могут быть произвольными. Для их выбранной ориентации
(4.9)
87
(4.10)
где m – целое число, причем для ГНЛ
2m
C-C
l
C-C
0,142l
b
LL
2
20
,
e
h
20
25,8128
K
R
*
( ) ( ) ,
22
B
FF
F
h
W M E M E
mv
*
( ) ( ) ,
F B F
F
h
d M E M E
mv
, а для УНТ кресельного
типа это ее индекс хиральности;
(в нашем случае
нм).
– длина межатомной связи
Предполагается также, что длина рассматриваемых нанопроводников не превышает их баллистической длины:
(для ГНЛ
и УНТ мкм), а их поперечные размеры не превышают 100 нм.
Влияние квантово-размерных эффектов на электропроводность нанопроводников. Из квантовой теории однонаправленного
транспорта электронов в двумерном электронном газе Р. Ландауэром
было получено выражение для [34]:
(4.11)
где e – элементарный заряд, а h – постоянная Планка. Величина
обратно пропорциональна сопротивлению фон Клитцинга
кОм, известному из теории квантового эффекта Холла
[1]. Отметим, что выражение (4.11) обусловлено исключительно
квантово-размерными эффектами и может быть легко выведено из
теории явлений переноса в двумерном электронном газе путем введения дополнительного условия (см. пп. 1.3, 3.1). Это условие состоит
в том, что на ширине наноленты должно укладываться целое число
электронных полуволн де Бройля, а на длине окружности поперечного сечения нанотрубки – целое число длин волн де Бройля:
(4.12)
88
(4.13)
где
()
F
ME
F
E
B
*
m
F
v
2/
BF
k
F
k
( ) /
FF
M E Wk
( ) / 2
FF
M E dk
20
2
,
F
k
20
2
2
F
k
d
2
2
2 20
11
F
LL
R
W k W
2
2
2 20
11
2 ( )
F
LL
R
d k d
– число каналов электропроводности, зависящее от энер-
гии Ферми
эффективная масса электрона;
Полагая
электронов;
, где
– длина волны де Бройля;
– его скорость Ферми.
–волновое число Ферми, из (4.12),
–
(4.13) можно найти число квантовых каналов электропроводности для
ГНЛ и УНТ:
и
. Тогда двумерная
удельная проводимость этих нанопроводников будет
(4.14)
, (4.15)
а их двумерное сопротивление
(4.16)
для наноленты и
(4.17)
для нанотрубки.
Из (4.14)–(4.17) следует, что даже в случае баллистического
транспорта носителей заряда, когда их рассеяние на фононах отсутствует, электропроводность нанопроводников не становится бесконечно большой, и их сопротивление не обращается нуль. Наличие
этого сопротивления, однако, не приводит к выделению тепла Джоуля
– Ленца и нагреванию проводников, а имеет исключительно квантовую природу.
89
С уменьшением ширины ГНЛ W и диаметра УНТ d их электро-
,
2
B
c
F
W
k
2
.
2
B
c
F
d
k
F
k
2
4 / ( ).
F s v
k n g g
c
W
c
d
проводность уменьшается, а сопротивление возрастает, но не до нуля
и бесконечности соответственно, как это следует из (4.14), (4.15)
и (4.16), (4.17), а до некоторых критических значений, определяемых
выражениями
(4.18)
(4.19)
По достижении этих критических поперечных размеров наступает фазовый переход нанопроводника в изолятор. С формальной
точки зрения это означает, что ширина наноленты оказывается меньше половины волны де Бройля носителя заряда, а периметр поперечного сечения нанотрубки меньше длины этой волны. С физической
точки зрения это означает, что носители заряда настолько «заперты»
в квантовой яме (конфайнмент), что ни энергии тепловых флуктуаций, ни энергии затворного электрического поля не хватает, чтобы
они могли достигнуть даже самого низкого разрешенного состояния.
Влияние температуры и затворного напряжения на критические размеры нанопроводников. Волновое число Ферми
в (4.18), (4.19) можно выразить через концентрацию свободных носителей заряда:
ляться способом генерации носителей.
свободных носителей заряда в графеноподобных материалах (ГНЛ
и УНТ) их энергетические спектры изображены на рис. 4.2.
Тогда значения
и
будут опреде-
Термическая генерация. Для случая термической генерации
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]