Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантово-размерные эффекты в наномасштабных проводниках
.pdf
Глава 3
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ, ТЕПЛОВЫХ
И ВОЛНОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В ДВУМЕРНЫХ
НАНОПРОВОДНИКАХ И ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ
3.1. Квант электрического сопротивления
Как было впервые показано Р. Ландауэром 33, 34, в случае
квантового транспорта электронов в двумерном электронном газе
каждый из них обусловливает вклад в удельную двумерную электропроводность (квант электропроводности), равный
, (3.1)
где e элементарный заряд, h постоянная Планка. Простой вывод
формулы (3.1) на основе теории явлений переноса в графеноподобных
нанолентах приведен нами в п. 2.4.
В режиме транспорта электронов, когда отсутствуют акты их
рассеяния на фононах, погонное квантовое сопротивление в случае
наноленты можно найти как [35]
, (3.2)
а в случае нанотрубки как
(3.3)
61
В выражениях (3.2), (3.3) – число квантовых каналов
электропроводности, которое для нанолент и нанотрубок находится
соответственно по формулам (1.3), (1.4) из п. 1.3.
Появление коэффициента 2 в выражениях (3.2)(3.3) связано
с тем обстоятельством, что при термической генерации свободных
носителей заряда в графеновых нанолентах и нанотрубках электроны
и дырки дают одинаковый вклад в их электропроводность.
Если вычисленное по формулам (1.3), (1.4) число каналов электропроводности в нанопроводнике оказывается меньше единицы, то
это означает, что в данных условиях ширина (в случае наноленты)
меньше половины длины волны де Бройля электрона или длины
окружности поперечного сечения (в случае нанотрубки) меньше длины этой волны. Это, в свою очередь, означает, что уровень Ферми
находится в энергетической щели, которую электроны из валентной
зоны при данной температуре преодолеть не в состоянии из-за малости своей энергии, т. е. нанопроводник становится изолятором.
3.2. Квант погонной электрической емкости
Переход электрона в зоне проводимости с одного подуровня на
другой эквивалентен заряду некоторого конденсатора до энергии
тора, а C
его погонная емкость или квант емкости [35]. Отсюда
20
где C
= C20 L емкость такого конденса-
2
следует, что
(3.4)
Отметим, что в работе 36 приводится выражение
для погонной емкости графеновых нанотрубок в
одномерном приближении. Принимая во внимание, что спиновое и
62
долинное вырождения энергетических состояний электронов в графене соответственно равны gs = gv = 2, получаем ту же формулу (3.4)
для кванта емкости, в котором вырождение не учитывается.
Погонная квантовая емкость нанопроводника, содержащего
M(EF) каналов электропроводности, наоборот, увеличится в M(EF) раз,
как и в случае параллельного соединения конденсаторов:
. (3.5)
3.3. Квант погонной электрической индуктивности
Выражение для погонной квантовой кинетической индуктивности (кванта индуктивности) было впервые получено П. Бурке 36
и имеет вид
. (3.6)
Рассмотрим подробнее физическую природу этого понятия.
Сила тока, создаваемого при движении электронов в одном канале
электропроводности, равна
, где падение напря-
жения, равное работе по перемещению единичного заряда по соответствующему участку цепи. Эта работа, в свою очередь, равна приращению средней энергии электронов, приходящейся на единицу заря-
да, т. е. изменению химического потенциала системы . Здесь
Ом сопротивление фон Клитцинга. Кинети-
ческая энергия каждого электрона возрастает в среднем на величину
.
Число электронов, участвующих в переносе заряда, можно
найти, поделив
на расстояние между подуровнями энергии в зоне
проводимости , где приведен-
ная постоянная Планка. Тогда полное приращение кинетической
63
энергии двумерного электронного газа при протекании электрического тока будет равно
,
что аналогично выражению для энергии магнитного поля в классической электродинамике, если под выражением в скобках понимать индуктивность линии передачи. Поделив это выражение на длину линии
L, получаем формулу (3.6) для погонной квантовой индуктивности
в расчете на один канал электропроводности. Еще раз подчеркнем,
что физическая природа этой величины не магнитная, а квантоворазмерная.
При параллельном включении M(EF) каналов электропроводности погонная квантовая индуктивность, как и сопротивление, уменьшается в M(EF) раз, и погонная квантовая индуктивность нанопроводника будет находиться как
. (3.7)
В формулах (3.2), (3.3), (3.5), (3.7) число каналов электропроводности удобно находить в виде M(EF) = W / W
ты) или M(EF) = d/d
(в случае нанотрубки). Значения W
min
(в случае нанолен-
min
и d
min
min
можно вычислить по формулам (1.5), (1.6) из п. 1.3.
3.4. Квант волнового сопротивления линии передачи
Для иллюстрации влияния квантоворазмерных эффектов на
электрические параметры наномасштабных линий передачи баллистической длины рассмотрим в качестве таковой двухпроводную линию из одностенных углеродных нанотрубок, представленную на
64
рис. 3.1. Использованы нанотрубки «кресельного» типа (30, 30) диаметром d = 4,1 нм, что обеспечивает значение M(EF) = 1. Расстояние
между нанотрубками D = 10 d = 41 нм. Линия передачи находится
в воздухе. По формулам (3.1), (3.4) и (3.6) получаем следующие значения квантов электропроводности, индуктивности и емкости:
= 3,88·10-5 См = 38,8 мкСм, L
20
C
= 2,43·10
20
-11
Ф / м = 24,3 аФ/мкм.
= 1,61· 10
20
-2
Гн/м = 16,1 нГн/мкм,
Рис. 3.1. Исследуемая двухпроводная линия передачи на углеродных
нанотрубках
Для рассматриваемой здесь линии передачи погонные значения
электрических параметров, обусловленных квантово-размерными эффектами, согласно формулам (3.2), (3.3), (3.5), (3.7), будут равны
R0 = 1,03 МОм/мкм, L0 = 8,05 нГн/мкм, C0 = 48,6 аФ/мкм. Длина бал-
листичности расстояние, на котором сохраняется бесстолкновительный режим транспорта электронов и дырок в графене и углеродных нанотрубках составляет около 1 мкм. Однако, квантовое сопротивление нанотрубок даже на таких масштабах, как мы видим, достигает огромной величины.
Сравним теперь найденные значения L0 и C0 с погонными значениями индуктивности и емкости нашей двухпроводной линии,
найденными из уравнений классической электродинамики СВЧ 37:
65
, (3.8)
, (3.9)
. (3.10)
Выражение (3.10) соответствует волновому сопротивлению рассматриваемой двухпроводной линии передачи. Расчеты по формулам
(3.8)(3.10) дают L1 = 1,18·10
C1 = 9,45·10
-12
Ф/м = 9,48 аФ/мкм, что соизмеримо с C0; Z0 = 1,11 кОм.
-8
Гн/м = 1,18·10
-5
нГн/мкм L0;
Эквивалентная схема двухпроводной передающей линии, представленной на рис. 1, изображена на рис. 3.2. На ней учтена квантовая
погонная емкость C0 обеих нанотрубок. В результате полная емкость
линии передачи
становится равной C
= 5,35 · 10
tot
-12
Ф / м, а ее волновое сопротивле-
ние
кОм.
Рис. 3.2. Эквивалентная схема линии передачи, изображенной на рис. 3.1
66
Таким образом, размерное квантование энергии свободных носителей заряда в нанопроводниках приводит к весьма заметным значениям их погонного квантового активного сопротивления (даже
в баллистическом режиме), погонной квантовой кинетической индуктивности и погонной квантовой емкости. Это обстоятельство существенным образом влияет на электрические параметры наномасштабных линий передачи, что диктует необходимость учета квантоворазмерных эффектов при их расчете. Например, в двухпроводной передающей линии, состоящей из нанотрубок типа (30, 30) диаметром
4,1 нм и раздвинутых на расстояние 41 нм, погонное квантовое сопротивление достигает 1 Мом/мкм даже в баллистическом режиме.
При этом учет квантовой погонной емкости нанотрубок приводит
к тому, что волновое сопротивление рассматриваемой линии передачи увеличивается с 1,11 кОм до 54,9 кОм, т. е. почти в 50 раз.
Найдем теперь волновое сопротивление двухпроводной линии,
обусловленное чисто квантовыми эффектами. Поскольку при параллельном соединении двух одинаковых проводников их полная индуктивность в два раза меньше, чем у каждого из них, а их полная емкость вдвое больше, чем по отдельности, то волновое сопротивление
такой линии передачи в соответствии с (3.6), (3.7) будет находиться
по формуле
кОм. (3.11)
Выражение (3.11) определяет
. Видно, что его численное значе-
ние ровно вдвое меньше сопротивления фон Клитцинга. Кроме того,
сравнивая это значение с полученным выше результатом для реальной наномасштабной двухпроводной линии на нанотрубках, видим,
67
что именно квантовые эффекты обусловливают волновые характеристики таких передающих линий.
3.5. Квант теплового сопротивления
Выражение для универсального кванта теплопроводности имеет
вид [18, 20, 21]
, (3.12)
где – постоянная Больцмана, – постоянная Планка, – абсолют-
ная температура. Оно описывает теплопроводность одного канала
фононного транспорта. Соответственно,
(3.13)
Он аналогичен известному из квантового эффекта Холла [1]
кванту электрического сопротивления – сопротивлению фон Клитцинга, определяющему электрическое сопротивление одного квантового канала электронного транспорта. Квант теплового сопротивления обратно пропорционален температуре теплопровода, и при
K равен значению
KˑВт-1.
Для нахождения квантового теплового сопротивления наномасштбного теплопровода выражение (3.13) нужно поделить на число
каналов фононного транспорта
, так как они соединены парал-
лельно друг другу:
. (3.14)
68
В случае наноленты шириной W число таких каналов находится
по формуле [38]
, (3.15)
где максимальная частота фононов, а
– скорость распростра-
нения продольных акустических фононов, как вносящих наибольший
вклад в теплопроводность. Фактически выражение (3.15) показывает,
сколько упругих полуволн укладывается на ширине наноленты. На
длине окружности поперечного сечения нанотрубки должно укладываться целое число длин волн, поэтому для нанотрубки диаметром d
. (3.16)
Формулы (3.15), (3.16) определяют верхний предел для теплопроводности, поскольку не учитывают вклад других фононных мод
и зависимость этого вклада от температуры.
3.6. Квант погонной теплоемкости
Выражение для молярной теплоемкости в однонаправленном
теплопереносе можно записать в виде [39]
, (3.17)
где R – универсальная газовая постоянная, а
– темпера-
тура Дебая. Теплоемкость всего нанотеплопровода, содержащего
молей, будет
в (3.17): запишем , где
. Далее проделаем следующие преобразования
– число Авогадро; обозначим
, где N– число атомов в наноленточном теплопро-
69
воде длиной L, а
– их двумерная концентрация; обозначим
, где – максимальное значение волнового числа фо-
нона; воспользуемся формулой (3.15). Затем заметим, что
, где
– среднее расстояние между атомами в двумерной структуре. Оно равно половине минимальной длины упругой
волны:
. Отсюда, с учетом (3.15),
. (3.18)
Тогда (3.17) может быть записано в виде
, (3.19)
где индекс «2» учитывает двумерный характер нанотеплопровода, со-
держащего фононного транспорта. Поделив (3.19) на , по-
лучаем выражение для :
. (3.20)
При K в h-BN ( м/с [11])
Дж·K-1·м-1.
3.7. Квант погонной тепловой индуктивности
При баллистическом распространении по теплопроводу возрас-
тает кинетическая энергия фононов. При наличии разности электри-
ческих потенциалов приращение энергии электрического поля, связанное с наличием электроемкости , находится по формуле
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]