Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантово-размерные эффекты в наномасштабных проводниках
.pdf
. При наличии разности температур (аналог раз-
ности электрических потенциалов) приращение энергии теплового
поля, связанное с наличием теплоемкости
формуле
. Подставляя сюда (3.19), получаем
, должно находиться по
.
Полученная формула в свернутом виде выглядит как
. Выражение во вторых скобках есть не что
(тепловой аналог закона
иное, как сила фононного тока
Ома для однородного участка цепи), а выражение в первых скобках –
это тепловая индуктивность
. (3.21)
Из (3.21) для одного фононного канала (), поделив на L,
получаем формулу для погонной тепловой индуктивности –
:
При K в h-BN
. (3.22)
K·c·Вт-1·м-1.
В завершение данного раздела отметим, что физический смысл
квантовой тепловой индуктивности состоит в том, что она является
мерой препятствия теплопровода изменению фононного тока. Аналогично тому, как в электрическом проводнике при изменении электри-
71
ческого тока возникает ЭДС самоиндукции и появляется индукционный ток, направленный таким образом, чтобы препятствовать изменению исходного тока, при изменении фононного тока в теплопроводе индуцируется разность температур и появляется индукционный
тепловой поток (фононный ток), направленный так, чтобы препятствовать изменению исходного теплового потока.
3.8. Квант волнового сопротивления теплопровода
Ввиду того, что акустические фононы обусловливают и тепловые, и упругие эффекты, в теплопроводах могут распространяться
в общем случае связанные термоупругие волны. Теории этих волн,
в основном, базируются на двух моделях: модели Лорда и Шульмана
[40], содержащей одно время релаксации как механических напряжений, так и температуры, и модели Грина и Линдсэя [41], оперирующей двумя временами релаксации, отдельно для температурных
и термоупругих возмущений. В дальнейшем в рамках этих моделей
были разработаны теории термоупругих волн в анизотропных средах
[42–44].
В рамках модели Лорда – Шульмана уравнения движения
и энергии применительно к чисто продольным термоупругим волнам,
распространяющимся вдоль кристаллофизического направления
в h-BN, можно записать в виде, вытекающем из соответствующих
уравнений для трехмерной анизотропной термопругой среды, исследованной в работе 44]:
, (3.23)
72
. (3.24)
Здесь и
– соответственно компоненты тензоров упругих
жесткостей и теплопроводностей в матричном представлении,
смещение частиц среды, – температура,
тензора коэффициентов термоупругого взаимодействия (
– компонент
коэф-
–
фициент теплового расширения), – двумерная плотность среды, –
ее удельная теплоемкость при постоянном механическом напряже-
нии, t – время, – время тепловой релаксации, – равновесная тем-
пература.
Поскольку коэффициент теплового расширения
в большин-
стве кристаллических материалов невелик, то и коэффициент термо-
упругого взаимодействия
также мал. Пренебрегая им, уравнения
(3.23), (3.24) можно переписать в виде двух волновых уравнений,
описывающих невзаимодействующие продольные упругие и температурные волны:
, (3.25)
. (3.26)
Упругая волна, описываемая уравнением (3.25), имеет решение
вида
, (3.27)
линейную дисперсию ( и распространяется со скоростью
. (3.28)
73
Температурная волна, описываемая уравнением (3.26), является
затухающей:
имеет квадратичную дисперсию (
с фазовой скоростью
В уравнении (3.29) ,
. (3.30)
тухания, а амплитуда упругой волны в (3.27)
туда температурной волны в (3.29)
определяются начальными
условиями задачи.
Из вида дисперсионного уравнения для температурной волны
), (3.29)
) и распространяется
– коэффициент за-
и начальная ампли-
следует, что ее волновое число обрезано снизу значением
, и ее групповая скорость превышает фазовую
скорость (аномальная дисперсия), что означает апериодическое зату-
хание при .
Отметим, что, определяющее величину затухания температур-
ных волн в нанотеплопроводе, время тепловой релаксации
отлично
от нуля даже в режиме баллистического транспорта фононов, по-
скольку имеется квантовое тепловое сопротивление
, и, согласно
(3.14), (3.21),
. (3.31)
Используя соотношения (3.12), (3.19), (3.30), можно получить
также выражение для фазовой скорости температурных волн:
74
W
L
L
x
1
x
2
l
BN
d
a
. (3.32)
Из (3.28) и (3.32) следует, что, в отличие от упругих волн, температурные волны распространяются медленнее, и скорость их распространения зависит от габаритов теплопровода.
Рассмотрим в качестве примера два нанотеплопровода: в виде
h-BN наноленты с краями типа «зигзаг» и h-BN нанотрубки
с торцами типа «кресло» (рис. 3.3). Исходя из соображений, что чем
уже поперечные размеры теплопровода, тем более высокочастотные
температурные волны в нем можно возбуждать, примем ширину
наноленты W не превышающей 1,5 нм – результат известных достижений по выращиванию похожих на h-BN графеновых нанолент [45].
Поскольку длина межатомной связи в h-BN
, это позволяет изготовить наноленту шириной
нм, т. е. 3 парам смежных гексагонов. Реально также
вырастить нанотрубку хиральности (6,6), диаметр которой
2,62 нм.
Рис. 3.3. Исследуемые нанотеплопроводы: h-BN нанолента (); h-BN
нанотрубка (); элементарная ячейка структуры и выбор кристаллофизических
осей ()
75
Тогда минимальная длина температурной волны, которая может
быть возбуждена в рассматриваемых нанотеплопроводах, будет
нм. Если их длина мкм, то, согласно (3.32), ско-
рость распространения такой температурной волны будет
м/с, что в 39 раз меньше скорости распространения упру-
гих волн в h-BN. Соответствующая такой длине волны максимальная
частота колебаний
ГГц . Число фононных каналов, участ-
вующих в распространении температурных волн в данных наноленте
и нанотрубке, будет соответственно 1 и 3.
В табл. 3.1 представлены результаты расчетов с использованием
формул (3.14), (3.19), (3.21) квантового теплового сопротивления
погонного значения квантовой теплоемкости
ния квантовой тепловой индуктивности
и погонного значе-
исследуемых теплопро-
,
водов. Там же представлены результаты расчета их волнового сопро-
тивления
.
Из формулы (3.31) видно, что коэффициент затухания
в исследуемых нанотеплопроводах в режиме баллистического фононного транспорта тем меньше, чем больше длина теплопровода. Этот
непривычный факт объясняется тем, что данное затухание происходит не в пространстве, а во времени, и соответствующий коэффициент обратно пропорционален тепловой индуктивности. Последняя,
как уже указывалось выше, является мерой препятствия изменению
фононного тока и возрастает с увеличением длины теплопровода.
Согласно (3.31) минимальный коэффициент затухания при длине теп-
лопровода мкм составляет
времени тепловой релаксации
с-1, что соответствует
с. При частоте сигна-
ла ГГц число колебаний, за которое амплитуда температур-
ной волны в таком теплопроводе уменьшится в «е» раз,
76
Таблица 3.1
Теплопровод
, 109
K·Вт
-1
, 105
K·с·Вт-1·м
-1
, 10
-14
Дж·K-1·м
-1
, 109
K·Вт
-1
h-NB NR
3,58
6,19
4,.97
3,58
h-NB NT
1,19
2,06
14,9
1,19
Характеристики исследуемых теплопроводов для температурных волн частотой
111 GHz
Примечания: NR (nanoribbon) – нанолента, NT (nanotube) – нанотрубка, ширина
наноленты нм, диаметр нанотрубки нм, длина теплопровода
мкм, равновесная температура = 300 К.
Таким образом, при определенном соотношении между частотой сигнала и длиной теплопровода в нем возможно существование
стоячих температурных волн. В условиях свободных концов теплопровода в режиме стоячей волны на них должны образоваться пучности температуры. Следовательно, для образования стоячих температурных волн на длине теплопровода должно укладываться целое число их полуволн. Максимальная длина баллистического теплопровода,
при которой он превращается в n-полуволновый резонатор на частоте
ГГц, соответствует и равна 999 нм. Добротность такого резонатора С уменьшением n добротность
ухудшается.
типа h-BN нанолент и нанотрубок длиной, не превышающей длины
баллистического пробега фононов, возможно существование бегущих и стоячих температурных волн, не связанных с упругими волна-
Из изложенного следует, что в наномасштабных теплопроводах
77
ми. Такие волны могут наблюдаться на частотах порядка 100 ГГц,
а их параметры доступны экспериментальному измерению.
В отличие от электродинамических передающих линий
в теплопроводах не требуется наличия двух проводников. Поэтому их
волновое сопротивление, согласно формулам (3.20), (3.22), в точности
равно кванту теплового сопротивления:
К·Вт-1
при = 300 К для графеновых материалов. Приведенное в табл. 3.1
значние
К·Вт-1 для углеродной нанотрубки не должно
вводить в заблуждение, так как оно соответствует трем фононным каналам.
Проблемой остается возбуждение температурных волн. Для этого можно использовать фемтосекундные лазеры с частотой повторения импульсов в несколько десятков гигагерц. Твердотельные лазеры
такого типа со средней мощностью oт 100 мВт до 1 Вт имеются, но
из-за дифракционных ограничений диаметр их фокального пятна при
фокусировании обычными линзами не превышает 1 мкм для ближней
ИК области спектра электромагнитных волн. Нам же требуется сфокусировать лазерный луч в пятно диаметром порядка 1 нм.
К сожалению, ни предложенные в 2000 г. Дж. Пендри суперлинзы из метаматериалов с отрицательным коэффициентом преломления
[46], ни их усовершенствованные варианты, использующие плазмные
метаматериалы [47], ни какие-либо другие известные попытки существенно обойти дифракционный предел фокусировки излучения из
видимой и ближней к ней части спектра электромагнитных волн пока
не позволяют получать фокальные пятна таких ультрамалых размеров. По-видимому, единственным способом лазерного возбуждения
температурных волн в нанотеплопроводах в настоящее время является попытка «зацепить» торец нанотеплопровода краем обычного фокального пятна.
78
Глава 4
РОЛЬ РАЗМЕРНОГО КВАНТОВАНИЯ В ПЕРЕСМОТРЕ
НЕКОТОРЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
О ФИЗИЧЕСКИХ ПОНЯТИЯХ И ЗАКОНАХ
4.1. Недиссипативные необратимые процессы
Необходимым и достаточным условием обратимости любого
сложного процесса является его равновесность. Обратимый процесс
представляет собой последовательность равновесных состояний. Если
в системе имеются градиенты каких-либо величин, описывающих ее
состояние, то в ней могут протекать только необратимые процессы.
Типичным примером являются явления переноса: диффузия, вязкость,
теплопроводность, электропроводность и др. В них соответственно
имеют место перенос массы, импульса, количества теплоты, электрического заряда [12] и др. физических величин. При этом столкновения
частиц – переносчиков указанных величин – приводят к рассеянию
(диссипации) энергии и, в конечном счете, к повышению энтропии
в замкнутой системе.
Возникает вопрос: а что, если перенос осуществляется в баллистическом режиме, т. е. на расстояние меньшее, чем средняя длина
свободного пробега частиц? Тогда диссипация энергии просто не
успевает произойти.
В макроскопических масштабах мы с такой ситуацией не сталкиваемся. Например, средняя длина свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях составляет около 10-7 м. Если же мы
возьмем графеновую наноленту с краями типа «зигзаг» (заведомо обладающую металлическими свойствами) шириной менее 100 нм
и длиной, не превышающей 1 мкм (длина баллистичности в графене),
79
то обнаружим, что вышеуказанные явления переноса для двумерного
электронного газа в этой наноленте приобретут новые, не встречающиеся в макромасштабах, свойства.
Казалось бы, при наличии градиента плотности, скорости, температуры или потенциала электрического поля электроны пройдут
без столкновений с кристаллической решеткой и, уж тем более, друг
с другом весь образец, не встречая никакого сопротивления. Однако
тут в дело вступают процессы размерного квантования (см. главу 1).
На ширине наноленты Wдолжно укладываться целое число полуволн
де Бройля для электрона [12], так как она представляет собой одно-
мерную (по ширине) потенциальную яму, т. е.
где
‒ волновое число Ферми. В названных явлениях переноса это
приводит к квантованию соответствующих кинетических коэффициентов. Детально это рассмотрено в пп. 2.1–2.4 главы 2. Напомним
кратко полученные там результаты.
‒ Диффузия. В случае диффузии электронов (дырок) в наноленте длиной L, не превышающей длины баллистичности, коэффициент
двумерной диффузии
,
где
‒ соответственно скорость, энергия и импульс Ферми;
‒ постоянная Больцмана; ‒ постоянная Планка;
ное к значение; T ‒ абсолютная температура;
‒ ее приведен-
‒ двумерная кон-
центрация собственных носителей заряда; ‒ их число в образце.
В расчете на 1 электрон (дырку) получаем
80
. (4.1)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]