Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантово-размерные эффекты в наномасштабных проводниках
.pdf
В выражении (2.55)
представляет собой коэффициент Зее-
бека или удельную термоэдс, которая возникает в проводнике с градиентом температуры в отсутствии магнитного поля [30]. Поскольку
в графене компоненты
тензора коэффициентов Зеебека
обращаются в нуль, то в нем изменение поперечного (нернстовского)
напряжения, пропорционального квадрату магнитного поля, не возникает.
Эффект Нернста. Перепишем выражение (2.54) для эффекта
Нернста в виде, похожем на соответствующую формулу холловского
напряжения [16]:
(2.56)
где
(2.57)
– 2D плотность теплового потока, а – коэффициент двумерной теп-
лопроводности среды (графена). Тензоры
и
в матричном
представлении для графена, описываемого классом симметрии
, имеют следующий вид:
.
В формулах (2.56), (2.57) индексы выбраны в соответствии
с рис. 2.4 и приведенной выше симметрией соответствующих
тензоров.
51
Коэффициент Нернста
для случая лишь электронной теп-
лопроводности в условиях баллистического транспорта электронов
может быть представлен в виде
(2.58)
где постоянная Больцмана, элементарный заряд, абсолютная температура, энергия Ферми,
проводность,
коэффициент Холла (
удельная 2D электро-
2D концентра-
ция электронов). Выражение (2.58), используя закон Видемана
Франца для 2D электронного газа:
можно приве-
сти к виду
(2.59)
где и
и электропроводности,
‒ соответственно кванты удельной электронной тепло-
число каналов электронного транс-
порта в ГНЛ, число электронов в ней,
приведенная
постоянная Планка, волновое число Ферми, – эффективная
масса электрона,
‒ скорость Ферми электрона. Для одного канала
электронного транспорта и последнее выражение можно пред-
ставить в виде
(2.60)
где
квант погонного значения коэффициента
Холла [16].
52
Из (2.60) следует, что
(2.61)
В выражении (9) величина энергии Ферми при температурной
генерации носителей заряда в графене зависит от температуры.
Перепишем теперь (2.56) в виде
(2.62)
где сила теплового потока (потока тепла), измеряемая
в ваттах (Вт),
сила электрического тока Нернста,
измеряемая в амперах (А). Согласно (2.59)
, где
квант удельной тепло-
проводности 2D электронного газа. Тогда
(2.63)
где
фактор заполнения электронами уровней Ландау.
Отсюда
(2.64)
,
Выражения (2.62)(2.64) показывают, что эффект Нернста в 2D
электронном газе, как и эффект Холла, может быть квантовым, если
выполняются условия размерного и магнитного квантования.
53
Эффект магнитотермоэдс. Природа возникновения продольной
магнитотермоэдс связана с тем, что магнитное поле отклоняет «быстрые» электроны сильнее, чем «медленные». В результате возникает
градиент концентрации электронов вдоль ГНЛ, что приводит к изме-
нению продольной разности потенциалов (см. (2.55)) абсолютной
магнитотермоэдс:
(2.65)
и относительной магнитотермоэдс:
. (2.66)
Здесь
– не зависящий от магнитного поля универсальный
тензор коэффициентов относительных изменений сопротивлений,
а также, как следует из закона Ома, напряжений 16]. Для графена его
матричная запись имеет вид
.
Для геометрии, указанной на рис. 2.4, из (2.66) вытекают следующие выражения для продольной относительной магнитотермоэдс:
, (2.67)
где
[16], а
безразмерная функция, яв-
ный вид которой приведен в [27].
54
Абсолютная магнитотермоэдс, согласно (2.65), (2.67), принимает вид
где
коэффициент продольной абсолютной магнитотермоэдс.
Поскольку
пропорционально кванту коэффициента Зеебека
(2.68)
[30], то имеет
вид
(2.69)
и измеряется в
.
Итак, эффект Нернста в узких ГНЛ баллистической длины становится квантовым эффекта Нернста. При этом квант погонного значения коэффициента Нернста
определяется формулой (2.61).
При энергия Ферми в предположении линейной дисперсии в графене
и
. Здесь
взяты из [16]. Квант погонно-
го значения коэффициента Холла также взят из
[16]. Значение кванта удельной 2D теплопроводности
муле (2.61) дают для
при температуре из (2.9). Расчеты по фор-
.
Квантовой также оказывается сила поперечного тока Нернста,
а величина соответствующего кванта при , согласно (2.64),
.
Продольная магнитотермоэдс также имеет квантовый характер.
При этом, входящая в выражения (2.67), (2.68) величина
[16], и значение кванта коэффициента абсолютной
магнитотермоэдс, согласно (2.69),
55
2.9. Кванты термомагнитоэлектрических коэффициентов
Термомагнитоэлектрические явления в графеноподобных
материалах. Уравнение для поперечной 2D плотности теплового по-
тока
в зависимости от плотности продольного
электрического тока и индукции поперечного магнитного поля
за-
пишем в виде [22, 23]
(2.70)
Здесь длина ГНЛ;
симметричный тензор второго ранга
коэффициентов Пельтье, определяющий величину теплового потока
в зависимости от тока в отсутствии магнитного поля;
антисим-
метричный тензор третьего ранга коэффициентов Эттингсгаузена;
симметричный тензор четвертого ранга коэффициентов маг-
нитотермоэлектрического эффекта. Знак «минус» в (2.70) выражает
тот факт, что возникающий поперечный току и магнитному полю
тепловой поток направлен противоположно направлению векторного
произведения векторов и .
Согласно уравнению теплопроводности плотность этого теплового потока пропорциональна градиенту температуры и направлена
в противоположную ему сторону:
где двумерный коэффициент теплопроводности, а ширина
ГНЛ.
Тогда уравнение (2.70) можно привести к виду
56
x
x
x
1
2
3
B
T
T+ T
D
W
L
e
-
I
(2.71)
Расположение ГНЛ относительно кристаллофизических осей
,
на рис. 2.5.
, ориентация магнитного поля и электрического тока показаны
,
Рис. 2.5. Ориентация ГНЛ, магнитного поля и электрического тока.
Стрелкой показано направление бокового отклонения электронов
антисимметричной частью выражения (2.71). Используя рис. 2.5,
представим его в виде
Эффект Эттингсгаузена. Эффект Эттингсгаузена описывается
(2.72)
57
где
коэффициент Эттингсгаузена, определяющий по-
перечную разность температур в образце.
Эффект Эттингсгаузена в некотором смысле обратен эффекту
Нернста: в первом продольный градиент температуры в проводнике,
находящемся в магнитном поле, вызывает появление в нем поперечной разности электрических потенциалов, а во втором продольный
электрический ток вызывает появление поперечной разности температур. Подобно коэффициентам Пельтье и Зеебека в термоэлектриче-
ских эффектах [30], в данных эффектах коэффициент
циент Нернста
. В отсутствии рассеивания электронов на фононах коэф-
связаны между собой соотношением Бриджмена:
фициент Нернста [31] можно записать в виде
где
Ферми,
Франца для электронной теплопроводности [32]:
выражение для
постоянная Больцмана, элементарный заряд,
коэффициент двумерной электропроводности,
коэффициент Холла. Используя закон Видемана
можно переписать в виде
и коэффи-
энергия
(2.73)
Так как входящий в (2.73) коэффициент Холла пропорционален
кванту его погонного значения
гонного значения коэффициента Эттингсгаузена
58
(2.74)
[1], то квант по-
В выражении для
постоянная Планка,
– эффективная
масса электрона, а
его скорость Ферми.
Как следует из (2.72)(2.74), коэффициент Эттингсгаузена и его
погонное значение измеряются соответственно в следующих единицах:
,
Магнитоэлектротермический эффект. Магнитоэлектротермический эффект описывается симметричной частью выражения (2.71),
и в допущениях, принятых на рис.1, соответствующее уравнение имеет вид
(2.75)
Абсолютное изменение продольной магнитоэлектротермической разности температур, согласно (2.75),
(2.76)
а ее относительное изменение
2.77)
Здесь
– не зависящий от магнитного поля универсальный
тензор коэффициентов относительных изменений сопротивлений,
напряжений и разностей температур [16], записываемый в виде
.
59
Для принятой геометрии задачи и симметрии графена
[16], а
безразмерная функция, явный
вид которой приведен в [16].
Абсолютное изменение продольной магнитоэлектротермической разности температур (2.76) с учетом (2.77) и сделанных уточнений тогда принимает вид
(2.78)
где
та теплопроводности:
пропорционально кванту коэффициента Пельтье:
[30], а
пропорционально кванту коэффициен-
[16]. Таким образом,
имеет вид
(2.79)
и измеряется в
.
Произведем теперь некоторые численные оценки для ГНЛ.
При энергия Ферми в предположении линейной дисперсии в графене
,
ного значения коэффициента Холла
. Здесь
[16]. Величина кванта погон-
[16]. Тогда при
величина кванта погонного значения коэффициента
Эттингсгаузена
в (2.79) величины
Значение входящей
[16], откуда величина кванта абсо-
лютной магнитоэлектротермической разности температур
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]