Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантово-размерные эффекты в наномасштабных проводниках
.pdf
Далее, по аналогии с нанолентой, получаем для недопированной
нанотрубки диаметром d число каналов электропроводности, равное
. (1.4)
Здесь диаметр нанотрубки связан с ее хиральностью (n, m) формулой [15
,
где l
l
= 0,142 нм). Напомним, что электропроводящими свойствами об-
-
длина межатомной связи (в случае углеродной нанотрубки
-
ладают лишь нанотрубки кресельного типа (n, n) либо нанотрубки типа (n, m), у которых разность n m кратна 3.
Из выражений (1.3), (1.4) видно, что число каналов электропроводности в наномасштабных проводниках зависит от их температуры
и ширины наноленты или диаметра нанотрубки. При этом ширина
наноленты не может быть уже
(1.5)
а диаметр нанотрубки меньше
Для графена и углеродных нанотрубок gs = g
. (1.6)
= 2, 8,5·10
5
м/с. Тогда, при температурах порядка комнатной (T = 300 K), из (1.5),
(1.6) получаем W
= 12,4 нм и d
min
= 4,0 нм. В этом случае в нано-
min
проводнике имеет место лишь один канал электропроводности.
21
Чтобы увеличить число каналов электропроводности в наномасштабном проводнике нужно либо увеличить температуру окружающей среды, либо допировать его тем или иным способом, либо,
что проще, увеличить ширину наноленты или диаметр нанотрубки.
1.4. Квантование Ландау энергии частиц в магнитном поле
(магнитное квантование)
Движение свободных носителей заряда в скрещенных электрическом и магнитном полях приводит к их вращению по так называемым циклотронным орбитам. Радиус такой орбиты и циклотронную
частоту вращения носителя заряда (возьмем для примера электрон)
легко найти, приравняв действующую на электрон силу Лоренца цен-
тростремительной силе: , где – элементарный заряд,
– скорость электрона, – индукция магнитного поля,
– радиус
орбиты. Несложные преобразования приводят к формулам:
;
.
Из представлений квантовой механики следует, в что на длине
стационарной орбиты должно укладываться целое число электронных
волн де Бройля:
, k = 1, 2, 3, … .
Отсюда легко получить выражение для квантованных значений
энергии электронов в магнитном поле – на так называемых уровнях
кинетической энергии Ландау:
, 0, 1, 2, 3, … . (1.7)
Важно, что для наблюдения уровней Ландау расстояние между
ними в шкале энергий должно быть намного больше средней тепло-
22
вой энергии: . Отсюда следует, что магнитное квантование
энергии свободных электронов при температуре, близкой к комнатной ( = 300 К), происходит на терагерцовых частотах:
3,94 ·10
ре 2,7 ·10
13
рад/с. Применительно к графену при этой температу-
-31
кг [16], и требуемые магнитные поля достигают
значений 10,6 Тл.
Для уменьшения индукции прикладываемого внешнего магнитного поля нужно уменьшить циклотронную частоту, что эквивалентно понижению температуры образца. Следовательно, эффекты магнитного квантования в явлениях, связанных с транспортом электронов, наблюдаются лишь при сильных магнитных полях и в условиях
низких температур.
Далее отметим, что уровни Ландау являются вырожденными.
Частично это вырождение снимается самим магнитным полем в результате действия эффекта Зеемана. Каждый уровень энергии расщепляется на два в соответствии с различием в направлении спинов
электронов, находящихся в данном энергетическом состоянии. При
этом плотность частиц на одном уровне [1]
, где –
пронизывающий образец площадью S магнитный поток,
а
– квант магнитного потока. Величина, обратная D, опре-
деляет фактор заполнения электронами уровней Ландау:
, (1.8)
где – их двумерная концентрация. Конкретные значения зависят
от соотношения энергии Ферми проводника и энергии уровней
Ландау, а стало быть, от величины магнитного поля. Они могут быть
как целочисленными, так и дробными.
23
Глава 2
КВАНТОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ,
ОПИСЫВАЮЩИХ ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ДВУМЕРНЫХ
НАНОПРОВОДНИКАХ
2.1. Квант диффузии
Поскольку в кинетических явлениях перенос какой-либо физической величины: массы (диффузия), импульса (вязкость), количества
теплоты (теплопроводность), заряда (электропроводность) так или
иначе связан с изменением энергетического состояния частицы, то
отсюда следует, что должны существовать минимальные значения
плотностей потоков этих величин, приходящихся на единицу соответ-
ствующего термодинамического потенциала системы кванты кинетических коэффициентов.
Обобщенное уравнение явлений переноса в наноленте шириной
W можно записать в виде 12
, (2.1)
где физическая величина, переносимая за время dt через поперечное сечение наноленты,
одномерный градиент этой ве-
личины, переносимой одной частицей (в данном случае электроном),
a коэффициент переноса, определяемый выражением (в 2D cреде):
( 2.2)
24
Здесь
средняя арифметическая скорость частицы,
средняя длина свободного пробега,
двумерная концентрация
частиц.
В случае диффузии электронов в наноленте переносимой вели-
чиной является масса M переносимых электронов: , а
Поскольку n2 m* =
плотность электронного газа, то уравнение
2
(2.1) с учетом (2.2) принимает вид закона Фика [12] для диффузии:
,
где коэффициент двумерной диффузии D2 в рассматриваемых условиях запишется в виде
. (2.3)
.
При выводе (2.3) учтены линейный закон дисперсии в графене
, выражениe (1.2), то, что v = vF,
и .
Площадь наноленты может быть выражена как отношение
числа N содержащихся на ней свободных электронов к их двумерной
концентрации n2: WL = N / n2. Следовательно, формула (2.3) принимает вид
. (2.4)
Коэффициент диффузии на один канал электропроводности
(N = 1) , согласно (2.4),
25
. (2.5)
Выразив в (2.5) через удельную электропроводность
и подвижность электронов :
, а также использовав
классическое выражение для коэффициента электропроводности:
(в допущении, что
), легко пе-
рейти к известному соотношению Эйнштейна для коэффициента
диффузии электронов [17]:
, (2.6)
Это, с одной стороны, подтверждает валидность нашего подхода
к описанию диффузии электронного газа, а с другой стороны акцентуирует внимание на том, что соотношение Эйнштейна для коэффи-
циента такой диффузии это по своей физической сути выражение
для кванта диффузии.
2.2. Квант вязкости
В случае вязкости электронов в наноленте переносимой величи-
ной является их суммарный импульс: , а , где v ско-
рость движения потока электронного газа. Уравнения (2.1), (2.2) при
этом сводятся к закону Ньютона для вязкого трения 12:
.
Это выражение записано для двумерной среды, а 2 коэффициент двумерной вязкости электронного газа, связанный с D
2
соот-
ношением
. (2.7)
26
В расчете на один канал электропроводности (N = 1) из (2.7) получаем выражение для двумерного электронного
газа
. (2.8)
Заметим, что двумерная вязкость измеряется в следующих единицах: 2 =1 кг/с = 1 Па·с·м 17.
Эффективная масса электрона в наноленте не превышает массы
свободного электрона, в связи с чем численная оценка значения 2 по
формуле (2.8) при температуре, близкой к комнатной (T = 300 К), дает
1,4·10
20
-16
Па·с·м. Чтобы как-то сравнить эту величину с трехмерной вязкостью обычных газов, поделим ее на эффективную толщину
графенового слоя, за которую обычно принимают расстояние между
графеновыми слоями в графите, равное 0,34 нм. Тогда получаем для
трехмерного электронного газа
4,1·10
30
-7
Па·с. Как известно, для
газов, входящих в состав воздуха, при комнатной температуре
10
-5
Па·с.
20
Иными словами, вязкость электронного газа на два порядка
меньше вязкости типичных молекулярных газов и измерить ее, повидимому, непросто.
2.3. Квант теплопроводности
Тепло переносится в графеновых нанолентах как электронами,
так и фононами. Рассмотрим эти два механизма теплопроводности по
отдельности.
Теплопроводность электронного газа. В случае электронного
газа в наноленте обобщенное уравнение явлений переноса (2.1) сво-
дится к закону Фурье 12:
27
,
где = Q количество переносимой электронами теплоты,
= (i /2) kBT средняя энергия частицы (электрона), а i = 2 ее чис-
ло степеней свободы в 2D среде.
Коэффициент двумерной теплопроводности электронного газа
, где cVe = (i/2) RR/kB / m* удельная теплоемкость
электронного газа при постоянном объеме. Здесь R универсальная
газовая постоянная, а молярная масса газа.
Используя выражение (2.7), получаем
,
откуда находится по формуле
. (2.9)
Теплопроводность фононного газа. Квантовая теория теплопроводности планарных и нанотубулярных структур обычно строится
по аналогии с теорией Ландауэра для баллистического электронного
транспорта 18, 19. Не вдаваясь в детали этой теории, отметим, что
в расчете на один фононный канал приходится
18, 20, 21
. (2.10)
Сравнивая (2.9) и (2.10), видим, что в баллистическом режиме
квант фононной теплопроводности примерно лишь в 3 раза превышает по величине квант электронной теплопроводности, в то время как
28
при высоких температурах фононная теплопроводность многократно
превышает электронную.
Это связано, прежде всего, с тем, что коэффициент фононной
теплопроводности
,
где
пространения упругих волн в наноленте,
двумерная плотность материала наноленты, c скорость рас-
удельная теплоем-
кость фононного газа (кристаллической решетки), убывающая
с уменьшением температуры по теории теплоемкости Дебая.
2.4. Квант электропроводности
В этом случае в уравнение (2.1) следует положить = q заря-
ду, а
, так как
каждый электрон переносит лишь долю заряда, участвующую в дрейфе при наличии электрического поля, потенциал которого . Тогда
(2.1) легко свести к видоизмененной форме закона Ома в дифференциальной форме 12, который для 2D среды имеет вид
,
где коэффициент двумерной электропроводности в баллистическом
режиме
(2.11)
При N =1 из (12.11) получаем
29
, (2.12)
равный величине, обратной сопротивлению фон Клитцинга
Rk = h / e2 25812, 8 Ом 1.
Поделив (2.10) на (2.12), получаем
. (2.13)
Выражение (2.13) представляет собой хорошо известный в теории электричества закон Видемана-Франца, который согласуется
с экспериментом в области низких (несколько кельвинов) температур,
т. е. когда возможен баллистический транспорт электронов, и высоких (выше комнатной) температур. Полученный результат также говорит в пользу справедливости нашего вывода о квантово-размерной
природе квантов кинетических коэффициентов, описывающих явления переноса в металлических, в т. ч. графеновых, нанолентах.
2.5. Кванты термоэлектрических коэффициентов
Термоэлектрические явления в графеноподобных материа-
лах. Уравнение для плотности теплового потока в случае термо-
электрических эффектов в кристаллах [22], редуцированное на 2D
кристаллы, можно записать в виде [23]
(2.14)
где
личество теплоты, ‒ ширина наноленты,
‒ двумерная плотность теплового потока ( ‒ ко-
‒ ее длина
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]