Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантово-размерные эффекты в наномасштабных проводниках
.pdf
в направлении потока, ‒ время);
‒ плотность двумерного
тока;
тов Зеебека);
‒ тензор термоэлектрических коэффициентов (коэффициен-
‒ координата, отсчитываемая вдоль длины наноленты
(рис. 2.1, ); ‒ абсолютная температура.
Рис. 2.1. При наличии градиента температуры электроны (точки)
скапливаются у холодного конца ГНЛ, а дырки (кружочки) у горячего
конца (а). Энергетическая диаграмма процесса (б)
Для графеноподобных 2D кристаллов, принадлежащих к классу
гексагональной сингонии,
представляет собой симмет-
ричный тензор 2-го ранга с единственным независимым компонентом
[23]. Это позволяет записать (2.14) в скалярном виде:
(2.15)
Наличие градиента концентрации электронов приводит к двум
противоположно направленным диффузионным потокам электронов.
Однако диффузионный поток быстрых электронов превышает диффузионный поток медленных электронов. Поэтому у холодного конца
ГНЛ образуется избыток электронов, а у горячего наблюдается их
недостаток.
31
При в ГНЛ генерируются в равном количестве и электро-
ны в зоне проводимости, и дырки в валентной зоне (рис. 1,б). Ширина
запрещенной зоны равна нулю (исследуемая ГНЛ является полуметаллом). Поскольку энергия дырок считается отрицательной, то дырки, наоборот, будут скапливаться у нагретого конца ГНЛ. В результате возникает электродвижущее поле сторонних сил, напряженность
которого направлена противоположно градиенту температуры. Ее ве-
личина
равна взятому со знаком «минус» градиенту образовавше-
гося термоэлектрического потенциала:
(2.16)
где ‒ коэффициент Зеебека. Отметим, что электроны и дырки вно-
сят равный вклад в образование на концах ГНЛ термоэдс
. Поэтому ограничимся анализом только электронно-
го транспорта.
Первое слагаемое в (2.15) описывает ‒ выделение или поглощение тепла в проводнике, свойства которого изменяются в направлении протекания тока при постоянной температуре
окружающей среды. Эффект Пельтье обратен , со-
стоящего в появлении термоэдс на концах проводника, в котором
имеется градиент температуры. В условиях баллистического транспорта электронов при эффекте Пельтье свойства среды изменяются
вследствие перераспределения концентрации носителей заряда вдоль
проводника. Коэффициент Пельтье П .
Второе слагаемое описывает ‒ выделение или
поглощение тепла, пропорционального плотности тока и градиенту
температуры. Коэффициент Томсона П , где перепад температуры на длине .
32
Третье слагаемое в (2.14) соответствует ‒
выделению или поглощению тепла в условиях, когда плотность тока
неоднородна вдоль направления распространения носителей заряда.
Он возможен только в кристаллах, когда тензор
содержит недиа-
гональные компоненты. Поскольку графен изотропен по отношению
к тепловым и электрическим свойствам, то в нашем случае этот эффект не наблюдается.
Знаки «минус» в (2.14) означают, что направление теплового
потока противоположно градиентам соответствующих величин.
В выражении (2.15) они опущены.
Размерное квантование термоэлектрических коэффициентов. Поскольку коэффициенты Пельтье и Томсона выражаются через
коэффициенты Зеебека, рассмотрим подробнее физические основы
эффекта Зеебека в узких ГНЛ. На рис. 2.1,а показана ГНЛ типа «зигзаг», правый конец которой нагрет сильнее, чем левый. В этом случае
концентрация электронов с энергией , превышающей энергию Ферми , будет больше у нагретого конца, а с энергией
, будет
больше у холодного конца ГНЛ.
Как показано в п. 2.1 в случае электронной диффузии в узких
графеновых нанолентах вследствие размерного квантования коэффициент двумерной диффузии становится квантованным. При этом на
один канал электронного транспорта приходится
(см. формулу (2.5)
.
Принимая во внимание, что квант удельной электропроводности
, последнее выражение легко свести к соотноше-
нию Эйнштейна (см. формулу 2.6):
33
(2.17)
где
, откуда, согласно (2.16),
, (2.18)
а его численное значение мкВК.
Заметим, что эффект фононного увлечения электронов в условиях их баллистического транспорта не дает вклада в (2.18), так как
в данном случае электрон-фононное взаимодействие отсутствует.
Возвращаясь к коэффициентам Пельтье и Томсона и их связи
с коэффициентом Зеебека, можно записать для их квантов следующие
выражения:
(2.19)
П
(2.20)
Для нахождения термоэдс и тепловых потоков во всей ГНЛ выражения (2.19)(2.20) нужно умножить на удвоенное (с учетом вклада
дырок) число каналов электронного транспорта, существующих на ее
ширине (см. п. 1.1):
. (2.21)
34
Здесь , соответственно степени вырождения энергетиче-
ских состояний по спину и долинам (в графене ),
длина волны де Бройля электрона,
его волновое число
Ферми. Учтено условие квантования: на ширине прямоугольной
квантовой потенциальной яме должно укладываться не менее одной
полуволны де Бройля.
Итак, определяющий вклад в термоэлектричество вносит диффузия носителей заряда, которая приводит к появлению градиента
термоэлектрического потенциала, направленного противоположно
градиенту температуры в проводнике. В результате коэффициент Зеебека в металлах и полупроводниках n-типа должен быть отрицатель-
ным (), а в полупроводниках -типа положительным ().
Однако, как показали проведенные еще в середине прошлого
века измерения температурной зависимости абсолютных значений
коэффициента Зеебека [24–26], во многих металлах (Cu, Ag, Au),
а также в собственных полупроводниках (Si, Ge) . Это связано
с усилением спин-орбитального взаимодействия электронов в тяжелых металлах и, как следствие, затруднением их отрыва от атомов,
что приводит к появлению щелей в зоне проводимости. В итоге знак
коэффициента Зеебека зависит от того, какое поведение свободных
носителей заряда доминирует: электроноподобное или дырочноподобное.
В работах [24, 25] из характера температурных зависимостей
в различных металлах был сделан вывод, что при , а также
в сверхпроводниках коэффициент Зеебека, и связанные с ним коэффициенты Пельтье и Томсона должны обращаться в нуль. Наши формулы (2.5), (2.17), как будто бы, это подтверждают: если нет диффузии носителей заряда, откуда появится термоэдс? Но все дело в том,
что волновые свойства электронов не исчезают даже при , а из
соотношения неопределенностей Гейзенберга следует, что при лока-
35
лизации электронов в квантовой потенциальной яме (наноленте) ее
импульс (и энергия) тем больше, чем уже нанолента. Таким образом,
даже при температуре, равной абсолютному нулю и в условиях баллистического транспорта у электронов остается возможность создать
некоторую разность потенциалов на концах наноленты. При этом
критическая ширина такой наноленты, когда в ней остается только
один канал электронного транспорта, как отмечалось выше, равна половине волны де Бройля электрона.
Подобные рассуждения можно провести и для углеродных
нанотрубок с торцами типа «кресло», которые можно рассматривать
как ГНЛ типа «зигзаг», свернутые в нанотрубку. Только в этом случае
на периметре поперечного сечения должна укладываться одна длина
волны де Бройля электрона.
В любом случае локализация носителей заряда в пределах ультратонкого в поперечном сечении нанопроводника приводит к их
пространственному квантованию и появлению в термоэлектрических
явлениях квантов соответствующих коэффициентов, из которых ос-
новным является квант коэффициента Зеебека
.
2.6. Кванты гальваномагнитных коэффициентов
Гальваномагнитные явления в графеноподобных материалах. Уравнение для тензора 2-го ранга удельного сопротивления
в поперечном магнитном поле с индукцией
можно записать
в виде [22]
(2.22)
Антисимметричная часть этого тензора описывает эффект
Холла:
36
(2.23)
а симметричная часть ‒ эффект магнитосопротивления:
W
B
j
L
x
x
x
1
2
3
(2.24)
В выражении (2.24)
сопротивление материала (без магнитного поля), а
представляет собой обычное удельное
– удель-
ное магнитосопротивление.
На рис. 2.2 представлено расположение исследуемой ГНЛ отно-
сительно кристаллофизических осей , ,
, ориентация векторов
плотности протекающего электрического тока и индукции магнит-
ного поля
электрического поля
, а также напряженности возникающего холловского
.
Рис. 2.2. Ориентация ГНЛ, электрического тока и магнитного поля
Обратим внимание, что в 2D кристаллах электрическое сопро-
тивление проводника
измеряется, как обычно, в омах,
в связи с чем единицы измерения величин, входящих в выражения
(2.22)(2.24) принимают следующий вид:
м Кл;
м с кг
37
.
Ом;
Эффект Холла. Для графена и ему подобных 2D кристаллов
класса симметрии
циентов Холла
в уравнении (2.23) в матричном представлении
гексагональной сингонии тензор коэффи-
имеет вид [23]
и содержит единственный отличный от нуля компонент
. В связи
с этим для конфигурации, изображенной на рис. 2.2, уравнение (2.23)
запишется в виде
(2.25)
Холловское напряжение, как легко показать,
;
, (2.26)
где ‒ двумерная концентрация свободных носителей заряда, –
элементарный заряд, а холловское (поперечное) удельное сопротив-
ление, соответствующее величине
в (2.25),
. (2.27)
Из (2.26) и (2.27) следует, что
, (2.28)
38
где ‒ постоянная Планка, кОм
– сопротивле-
ние фон Клитцинга или удельное сопротивление одного квантового
канала электропроводности (квант сопротивления), а
‒
фактор заполнения уровней Ландау в зоне проводимости электронами
при данной их концентрации в магнитном поле. Напомним, что если
ν – целое число, то имеет место целочисленный квантовый эффект
Холла, а если ν ‒ дробное число, то дробный квантовый эффект
Холла.
В условиях размерного квантования (см. п. 1.3) ширина ГНЛ
, где – волновое число Ферми, коэффициент Холла
,
причем ‒ число свободных носителей заряда в образце,
фективная масса,
‒ скорость Ферми. В расчете на один канал элек-
– их эф-
тропроводности () и на единицу длины получаем
. (2.29)
Если в наноленте укладывается
каналов
электропроводности, холловское удельное сопротивление (2.28) будет
определяться выражением
,
а погонный коэффициент Холла (2.29) – выражением
39
.
Здесь ‒ энергия Ферми носителей заряда, а и
– соответ-
ственно вырождения их энергетических состояний по спину и доли-
нам (в графене ).
Эффект магнитосопротивления. Перейдем теперь к формуле
(2.24) и запишем ее в виде
, (2.30)
где
‒ абсолютное удельное магнитосопротивление. В свою оче-
редь, относительное магнитосопротивление
, (2.31)
где
ления в матричном представлении. Для класса симметрии
– тензор коэффициентов относительного магнитосопротив-
он
содержит 4 независимых компонента и имеет вид
.
Здесь ; . Для нашей геометрии
ГНЛ из (2.31) получаем выражения для продольного и поперечного
относительного магнитосопротивления в следующем виде:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]