Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
1
Модуль 2. Теория возмущений
l
21l
z
( ) ( ) ( , )
rr
m n lm n l lm
r R r Y
()
r
nl
Rr
r
n
r
n
0
h
0
ˆ
Vh
0
h
0
2
e
LL
Mc
e
M
0
/2e Mc
Лекция 2.7. Эффект Зеемана
Рассмотрим теперь влияние магнитного поля (эффект Зеемана). При этом мы рассмотрим
«модельный» эффект Зеемана, когда магнитный момент частицы связан либо только с ее
зарядом, либо только со ее спином (но не вместе). Итак, пусть у нас есть бесспиновая
заряженная частица, находящаяся в центральном поле (без случайного вырождения), и пусть мы
на эту частицу накладываем слабое однородное магнитное поле, направленное вдоль оси z. В
первом порядке теории возмущений найдем расщепление энергетического уровня с полным
моментом
.
Такой уровень энергии является
-кратно вырожденным по проекции момента.
Собственные функции невозмущенного гамильтониана выберем как собственные функции
оператора проекции момента на ось
, (1)
где радиальная функция
энергии. Поскольку квантовые числа
одинакова для всех состояний, отвечающих данному уровню
и l одинаковы для всех состояний, а отличается только
проекция (магнитное квантовое число m), я перенумеровал эти функции именно магнитным
квантовым числом, а индексы
и l вообще не указывал.
Классическая энергия взаимодействия заряженной частицы с магнитным полем
напряженности
определяется выражением
(2)
(чтобы не путать напряженность магнитного поля с невозмущенным гамильтонианом, я
обозначил напряженность маленькой буквой
связанный с движением частицы в пространстве (так как по условию спин частицы равен нулю,
то она не имеет магнитного момента, связанного с ее «внутренними» степенями свободы).
Поскольку магнитный момент частицы пропорционален ее моменту импульса, имеем:
где
— заряд частицы,
квантовомеханический оператор взаимодействия частицы с магнитным полем
). В формуле (2) — магнитный момент,
(3)
— ее масса, c — скорость света, L — момент импульса
— гиромагнитное отношение для частицы). Из этих выражений можно построить
2
00
ˆˆ
z
V h L
(4)
z
0
h
**
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
r r r r
mm n lm z n lm n lm n lm
V dr r L r m dr r r
(1)
0
0 0 0 0
ˆ
2
m mm z
mm
e mh
E V h L h m
Mc
l
(1)
0
, , ( 1),...( 1),
2
mm
e mh
E E m l l l l
Mc
ˆ
y
L
ˆ
z
L
1/2
(направление оси
выбрано вдоль вектора напряженности магнитного поля
). Очевидно, для
возмущения (4) собственные функции (1) невозмущенного гамильтониана являются
правильными функциями нулевого приближения. Действительно, что все недиагональные
матричные элементы оператора (4) с функциями (1)
(5)
равны нулю из-за ортогональности собственных функций невозмущенного гамильтониана.
Поэтому функции (1) можно использовать в формулах теории возмущений без вырождения. В
частности, поправки первого порядка к энергии уровня определяются диагональными
матричными элементами оператора (4) с функциями (1). Находим
. (6)
Таким образом, энергетический уровень невозмущенного гамильтониана с моментом
расщепляется на подуровни с энергиями
, (7)
где
— невозмущенная энергия. Как следует из формулы (7) энергии всех состояний различны,
что означает, что под действием магнитного поля вырождение по проекции момента импульса,
характерное для частицы в центрально-симметричном поле, полностью снимается.
Если бы в качестве собственных функций невозмущенного гамильтониана мы взяли бы,
например, собственные функции оператора
, то они не были бы правильными функциями
нулевого приближения, поскольку для них недиагональные матричные элементы оператора (4)
не равнялись бы нулю (поскольку они не являются собственными функциями этого оператора).
А правильными стали бы такие линейные комбинации изначальных функций, которые бы были
собственными для
Рассмотрим теперь незаряженную частицу со спином
.
, обладающую магнитным
моментом. Таким является, например, нейтрон, который не заряжен, и, следовательно, у него
нет магнитного момента, связанного с перемещением нейтрона в пространстве. А магнитный
момент у нейтрона есть, и он связан с его спином.
3
Рассматриваемый уровень энергии является двукратно вырожденным, и это вырождение
ˆ
z
s
1
1
( , ) ( )
0
z
r s r
2
0
( , ) ( )
1
z
r s r
0
H
0
ˆ
VH
0
s
0
0
h
z
0 0 0 0
10
1
ˆ
ˆ
01
2
z
V h s h
ˆ
z
s
12 1 2 1 2 21 2 1 2 1
ˆˆ
, , 0, , , 0,V V V V
2
1 11 1 1 0 0 0 0
1 0 1
11
ˆ
, ( ) 1 0
0 1 0
22
E V V h dr r h
2
2 22 2 2 0 0 0 0
1 0 0
11
ˆ
, ( ) 0 1
0 1 1
22
E V V h dr r h
связано с двумя возможными значениями проекции спина на ось z. Выбираем невозмущенные
функции так, чтобы они собственными для оператора
,
Взаимодействие частицы с магнитным полем напряженности
выражением
, где
— магнитный момент. Несмотря на то, что спин не связан с
. (8)
определяется
реальным вращением частицы, он порождает и некоторый магнитный момент,
пропорциональный спину
, (9)
где
частицы с магнитным полем напряженности
— гиромагнитное отношение для данной частицы. Поэтому оператор взаимодействия
, направленным вдоль оси
. (10)
, имеет вид
Поскольку функции (8) ортогональны друг другу и являются собственными функциями
оператора
, то недиагональные матричные элементы оператора (10) с функциями (8) равны
нулю
то функции (8) являются правильными функциями нулевого приближения. А значит,
возмущенные уровни энергии в первом порядке теории возмущений можно найти как
диагональные матричные элементы оператора возмущения
, (11)
. (12)
Таким образом, уровень энергии расщепится на два подуровня, равноотстоящих от
невозмущенной энергии.
1
Модуль 3. Квантовые переходы
0
ˆ
H
1
t
ˆ
()Vt
2
t
( , )xt
0
ˆ
H
0
ˆ
iH
t
ε
( , ) φ ( ) exp
n
nn
n
t
x t C x i
φ ( )
n
x
ε
n
0
ˆ
H
0
ˆ
φ ( ) ε φ ( )
n n n
H x x
n
C
i
C
k
C
1
k
C
ε
( , ) φ ( ) exp
k
k
t
x t x i
Лекция 3.1. Возмущения, зависящие от времени. Квантовые переходы
Рассмотрим теперь случай зависящих от времени возмущений. Именно к таким задачам
сводится большинство экспериментальных исследований квантовых систем. Действительно,
большинство экспериментов с квантовыми системами ставится так: есть стационарная
квантовая система, потом мы организуем какое-то воздействие на нее, потом это воздействие
убираем, и смотрим, что произошло с квантовой системой. Давайте построим теорию таких
воздействий.
Итак, пусть невозмущенная квантовая система описывается не зависящим от времени
гамильтонианом
зависящее от времени возмущение
. Пусть, далее, в момент времени
, а в момент времени
начинает действовать («включается»)
возмущение «выключается».
Что происходит с квантовой системой?
Поскольку поведение квантовой системы определяется ее волновой функцией, поймем,
как изменяется волновая функция системы. До включения возмущения система была
стационарной, и ее волновая функция
гамильтонианом
, который не зависит от времени
является решением уравнения Шредингера с
. (1)
Общее решение уравнения (1) с гамильтонианом, который не зависит от времени найдено в
первой части нашего курса (Лекция 1.14, формула (9)):
, (2)
где
и
— собственные функции и собственные значения гамильтониана системы
а постоянные
начальное состояние, которое сводится к какому-либо стационарному состоянию, когда
решение уравнения (1) определяется одним слагаемым суммы (2) (все коэффициенты
, равны нулю,
, (3)
определяются начальными условиями. В частности, можно рассмотреть такое
)
. (4)
, кроме
2
Согласно основным принципам квантовой механики это означает, что система с единичной
k
ε
k
1
t
ˆ
()Vt
1
0
ˆˆ
()H V t
1
01
ˆˆ
()i H V t
t
1
t
1 1 1
( , ) ( , )x t x t
2
t
2
02
ˆ
iH
t
2
t
2
( , )xt
n
C
i
C
k
C
1
k
C
1
tt
2
tt
вероятностью находится в
вероятностью получим значение
-ом состоянии, при измерении энергии мы с единичной
и т.д. При этом если гамильтониан останется таким же (т. е.
не будет зависеть от времени, то волновая функция в любой момент времени будет
определяться формулой (4), и все слова, сказанные выше относительно ее состояния, будут
справедливы в любой момент времени.
Пусть теперь в некоторый момент времени
включения возмущения волновая функция
возмущенным гамильтонианом
:
«включается» возмущение
. После
будет решением уравнения Шредингера с
. (5)
Функция (4) в момент включения возмущения
дает начальное условие для решения
уравнения (5):
. (6)
После выключения возмущения (момент времени
) уравнение Шредингера станет снова
уравнением (1):
. (7)
И, следовательно, его решение будет даваться формулой (2), а решение уравнения (5) в момент
времени
коэффициентов
, равны нулю,
даст начальное условие для решения уравнения (7). А будет ли набор
таким же, как и до включения возмущения (все коэффициенты
, кроме
)?
Вообще говоря, нет! Ведь для нахождения решения уравнения (7) мы должны найти
решение уравнения (5) (которое будет очень сложным, поскольку в уравнении не разделяются
переменные) и еще два раза воспользоваться начальными условиями. Поэтому несмотря на то,
что после выключения возмущения уравнение Шредингера для волновой функции квантовой
системы «вернулось» к первоначальному, система будет описываться, вообще говоря, другой
волновой функцией. Т.е. общее решение (2) должно содержать много слагаемых с какими-то
коэффициентами (которые будут зависеть от решения уравнения Шредингера во время действия
возмущения и двух начальных условий — при
и
):
3
2
ε
( , ) φ ( )exp
n
nn
n
t
x t C x i
. (8)
2
11
wC
2
22
wC
2
nn
wC
k
n
n
C
2
k n n
wC
12
t t t
1
tt
2
tt
2
tt
t
()Vt
1
t
2
t
0
ˆ
iH
t
ε
( , ) φ ( ) exp
k
k
t
x t x i
2
02
ˆ
iH
t
2
ε
( , ) φ ( )exp
n
nn
n
t
x t C x i
1
01
ˆˆ
i H V
t
А это согласно постулатам квантовой механики значит, что с вероятностями
,
, …
. (9)
систему можно найти в разных стационарных состояниях (в квантовомеханическом смысле).
Или, другими словами, под действием возмущения, зависящего от времени, система может
совершать квантовые переходы, причем вероятность перехода из
состоянии в
-ое определяется квадратом модуля коэффициента
в формуле (8)
-ого стационарного
при условии, что начальное состояние квантовой системы (до включения возмущения) — k-ое
стационарное состояние.
Проведенные рассуждения иллюстрируются рисунком, на котором схематически
показана эволюция квантовой системы во времени — график зависимость возмущения от
времени, на котором приведены уравнения Шредингера, структура волновой функции и
начальные условия в тех или иных интервалах времени.
Из проведенных рассуждений в принципе ясно, как вычислять вероятность: решить
уравнение Шредингера в области
коэффициенты волновой функции при
переходов.
и из начальных условий при
и при
, которые и представляют собой вероятности
найти
1
Модуль 3. Квантовые переходы
k
0
ˆ
H
( , ) ( ) exp
k
k
t
x t x i
ˆ
()Vt
0
ˆ
H
2
( , ) ( )exp
n
nn
n
t
x t C x i
()
n
x
n
0
ˆ
H
0
ˆ
( ) ( )
n n n
H x x
k
n
C
2
k n n
wC
1
01
ˆˆ
()i H V t
t
Лекция 3.2. Теория нестационарных возмущений. Вывод формул
Итак, под действием зависящих от времени возмущений квантовая система может
совершать переходы. Это означает, что если до включения возмущения система находилась в
ом стационарном состоянии гамильтониана
и, следовательно, имела волновую функцию
, (1)
то после включения и выключения зависящего от времени возмущения
системы будет содержать сумму по всем стационарным состояниям гамильтониана
волновая функция
, (2)
и, следовательно, с определенными вероятностями она находится в разных стационарных
состояниях. В формулах (1)-(2)
гамильтониана системы
и
— собственные функции и собственные значения
. (3)
Очевидно, вероятность перехода из
-ого стационарного состоянии в n-ое определяется
-
квадратом модуля коэффициента
в формуле (2)
при условии, что начальное состояние квантовой системы (до включения возмущения) — k-ое
стационарное состояние.
Для вычисления вероятности перехода нужно найти решение уравнения Шредингера в
течение действия возмущения и дважды воспользоваться начальными условиями — в момент
включения и в момент выключения возмущения. Проблема, однако, заключается в том, что
уравнение Шредингера с зависящим от времени гамильтонианом
(4)
не допускает разделение переменных и, следовательно, не решается. Поэтому для вычисления
вероятностей переходов используется приближенный метод, который называется теорией
нестационарных возмущений, в котором требуется «слабая» зависимость от времени оператора
возмущений.
2
Итак, пусть зависимость гамильтониана от времени «слабая», то есть гамильтониан
0
ˆ ˆ ˆ
()H H V t
ˆ
()Vt
1
( , )xt
()
n
x
0
ˆ
H
1
( , ) ( ) ( )
nn
n
x t A t x
()
n
At
exp /
n
it
1
( , )xt
1
( , ) ( )exp ( )
n
nn
n
t
x t B t i x
n
B
ˆ
exp ( ) ( )exp ( ) ( )
n n n
n n n
nn
dB t t
i i x B t i V t x
dt
m
( )exp
m
mn mn n
n
dB
i V t i t B
dt
mn
mn
m
()
mn
Vt
*
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
mn m n
V t dx x V t x
n
B
представим в виде
, (5)
где от времени зависит только малое возмущение
(параметр малости возмущения будет
установлен ниже). Основная идея решения уравнения Шредингера (1) в этом случае
заключается в следующем. Разложим решение уравнения (4)
систему собственным функциям
не зависящего от времени гамильтониана
по образующим полную
, (6)
где
экспоненты
— некоторые неизвестные функции времени. Если выделить из них временные
, то можно функцию
представить в виде
, (7)
где в отличие от (2) коэффициенты
являются некоторыми функциями времени. Подставляя
функцию (7) во временное уравнение Шредингера (4), получим
. (8)
Умножим равенство (8) скалярно на функцию
и воспользуемся ортонормированностью
собственных функций невозмущенного гамильтониана. Тогда в левой части пропадет
суммирование, в правой возникнут матричные элементы оператора возмущения
, (9)
где величину
, (10)
имеющую размерность частоты (обратные секунды) принято называть частотой перехода между
состояниями
и n,
— матричные элементы оператора возмущения
. (11)
Если возмущение мало, то зависимость коэффициентов
от времени должна быть «слабой», и
их можно искать в виде ряда по степеням возмущения
3
0 2 (0) (1) (2)
( ) ( ) ( ) ( ) ... ...
n n n n
B t O V O V O V B B B
, (12)
(0)
n
B
n
(0)
n nk
B
V
()
()
i
n
Bt
()
n
Bt
(1)
(0)
( )exp ( )exp
m
mn mn n mk mk
n
dB
i V t i t B V t i t
dt
nk
1
(1)
( ) ( )exp
t
n nk nk
t
i
B t V t i t dt
nk
1
(1)
( ) 1 ( )
t
k kk
t
i
B t V t dt
2
t
n
C
2
tt
(1)
2
()
nn
C B t
k
2
1
2
2
(1)
2
2
1
( ) ( )
mk
t
it
k n n k nk
t
w B t V t e dt
nk
причем «нулевое» слагаемое
возмущения. А поскольку до включения возмущения система находилась в
определяется волновой функцией системы до включения
-ом стационарном
состоянии, то
. (13)
Подставляя ряд (12) во уравнение (9) и собирая слагаемые одного порядка малости по
получим явные выражения для
. Такой метод приближенного нахождения функции
, можно
и называется теорией нестационарных возмущений. В первом порядке теории возмущений
имеем
. (14)
Отсюда находим
при
, (15)
при
. (16)
После момента времени
а волновая функция принимает вид (2) с постоянными коэффициентами
находятся из начального условия при
состояния
в другие состояния n в первом порядке нестационарной теории возмущений
возмущение выключается, гамильтониан становится стационарным,
, которые сразу
:
. Поэтому вероятности переходов из
определяются соотношением
. (17)
Соотношение (17) позволяет вычислить вероятность перехода в первом порядке
нестационарной теории возмущений. Условием применимости этого соотношения является
условие малости суммарной вероятности перехода во все состояния
(или близкая к
единице вероятность остаться в состоянии k). Подчеркнем, что в результате действия
зависящих от времени возмущений квантовые системы, вообще говоря, оказываются в
4
состояниях с неопределенными энергиями (их волновые функции представляют собой
2
1
2
2
2
( ) 1 ( )
t
k k n k kk
t
i
w B t V t dt
суперпозиции многих стационарных состояний) и, согласно принципам квантовой механики
при измерениях могут быть обнаружены в различных состояниях. «На наблюдательном языке»
это значит, что при одновременном измерении энергии тождественных квантовых систем,
подвергающихся воздействию одинаковых возмущений, можно с определенными
вероятностями получать различные значения.
Поскольку вероятность перехода — мала, то вычислять вероятность того, что система
останется в начальном состоянии, как
(18)
нельзя. Это связано с тем, что неучтенные в (18) слагаемые квадратичны по возмущению и при
возведении (18) в квадрат дадут перекрестное слагаемое с единицей, также квадратичное по
возмущению как и вероятность перехода (17). На следующей лекции мы рассмотрим примеры
применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика