Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
1
Модуль 0. Повторение основных принципов квантовой механики
1
1
Лекция 0.1. Постулаты квантовой механики
Для полноты картины мы сделаем с вами небольшое повторение основных идей и прин-
ципов квантовой механики. Конечно, все это вы можете посмотреть в первой части курса, но
поскольку у нас с вами нормальный учебный курс, а не сборник конспектов, давайте такое не-
большое повторение сделаем.
Итак, для объяснения всех многочисленных экспериментальных фактов, лежащих в ос-
нове квантовой механики, пришлось предположить, что невозможно полное описание микроми-
ра на привычном нам классическом языке движения по траектории. Или другими словами, не-
возможно одновременно задать координату и импульс частицы. А это должно приводить к
неоднозначности в результатах измерений в физике макромира. Это означает следующее.
Пусть мы имеем тождественные классические системы, находящиеся в одинаковых усло-
виях — одинаковые поля и одинаковые начальные условия. Пусть, далее, мы одновременно
одинаковым прибором измеряем одну и ту же физическую величину. Конечно, результаты измерений (в пределах погрешностей измерений) должны быть одинаковы.
Результаты таких измерений в микросистемах оказываются, вообще говоря, различными.
Поэтому и предсказания теории могут носить только вероятностный характер. Квантовая меха-
ника должна уметь перечислять возможные значения результатов измерений и указывать вероятности этих значений. Вопрос же, скажем, о том, чему равна такая-то величина в такой-то
квантовой системе, вообще говоря, не имеет смысла, поскольку на него «не может ответить
природа» (нет экспериментального ответа, эксперимент дает разные, неопределенные результа-
ты)
.
Тем не менее, и в микромире существуют ситуации, когда измерение с достоверностью
приводит к некоторому фиксированному результату. В этом случае говорят, что в этом состоя-
нии соответствующая физическая величина имеет определенное значение.
Описанная выше неопределенность результатов измерений физических величин, харак-
терная для микромира, приводит к тому, что в теории приходится «разрывать» понятия «состо-
яния» и «наблюдаемых», поскольку они в отличие от классической механики не тождественны
друг другу. В теорию приходится вводить ненаблюдаемые величины, описывающие состояния
квантовых систем (то есть то, какие они), и устанавливать рецепт, как по состоянию определять
Подчеркнем, что когда мы говорим о неопределенности результатов измерений, речь идет не об искажении ква н-
товой системы измерительным прибором. Подразумевается, что результаты измерений могут быть различными в
абсолютно тождественных и с абсолютно одинаковой предисторией системах.
2
возможные значения и вероятности результатов измерений.
( , )xt
x
t
x
x dx
t
2
( , ) ( , )dw x x dx t x t dx
2
( , ) =1x t dx
12
( , ), ( , )x t x t
1 1 2 2
= CC
2
*
( , ) = ( , ) ( , ) ,x t dx x t x t dx
n
a
Ну а теперь об основных постулативных утверждениях квантовой механики.
1. Рассмотрим частицу, движущуюся вдоль некоторой прямой (одна степень свободы). Состоя-
ние такой частицы описывается некоторой функцией ее координаты и времени
является комплексной непрерывной функцией независимых переменных
и
, называется вол-
, которая
новой функцией частицы и определяет вероятности измерений различных значений координа-
ты. А именно, при измерении координаты этой частицы могут быть получены любые значения,
результаты многократных измерений не совпадают, вероятность того, что при измерении коор-
динаты частицы будут получены значения координаты в интервале от
времени
определяется этой функцией:
до
в момент
. (1)
Из условия нормировки вероятности имеем условие нормировки для волновой функции:
.
Отметим, что нормировочный интеграл можно записать в виде скалярного произведения
2. Принцип суперпозиции. Если некоторая квантовая система может находиться в двух
состояниях с волновыми функциями
(в зависимости от предыстории), то су-
перпозиция этих состояний с произвольными коэффициентами:
есть волновая функция возможного состояния системы. Принцип суперпозиции говорит о том,
что множество волновых функций всех возможных состояний квантовой системы образует ли-
нейное пространство (пространство состояний).
Будем предполагать, что в нашем пространстве определена операция скалярного произ-
ведения для любых его элементов. Тогда нормировочный интеграл от волновой функции можно
записать как скалярное произведение волновой функции на саму себя
.
Кроме того, из принципа суперпозиции следует, что уравнение для волновых функций возмож-
ных состояний квантовой системы должно быть линейным.
3. Каждой наблюдаемой физической величине A в квантовой механике ставится в соот-
ветствие некоторый линейный эрмитов оператор, который действует в пространстве состояний
квантовой системы, причем наблюдаемыми в эксперименте значениями этой физической вели-
чины могут быть только собственные значения
ее оператора:
3
ˆ
n n n
Af a f
, (2)
n
f
ˆ
A
n
a
n
( , )xt
()
n
fx
A
ˆ
A
nn
n
cf
n
c
2
1
||c
1
f
A
( , )xt
1
a
1
f
2
2
||c
2
a
k
f
A
( , )xt
k
Aa
k
a
ˆ
A
k
f
ˆ
/
x
p i x
()
ˆ
()
x
r
p r i
x
( , )xt
где
— собственная функция оператора
, отвечающая собственному значению
, индекс
нумерует собственные значения и собственные функции.
4. Квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции квантовой системы
по собственным функциям
оператора некоторой наблюдаемой величины A опре-
деляют вероятности наблюдения в этой системе различных значений физической величины
которыми, как это следует из предыдущего постулата, могут быть только собственные значения
оператора
.
Смысл этого утверждения заключается в следующем. Как известно, собственные функ-
ции любого эрмитового оператора образуют полную систему функций. Это значит, что любая
функция и, в частности, волновая функция квантовой системы может быть разложена по соб-
ственным функциям оператора физической величины A, то есть может быть представлена в ви-
де
, (3)
,
где
рении физической величины
будет получено собственное значение
ятность собственного значения
какая-либо собственная функция
— коэффициенты разложения. Рассматриваемый постулат утверждает, что величина
(коэффициент при функции
в разложении) определяет вероятность того, что при изме-
в квантовой системе, описываемой волновой функцией
(соответствующее функции
),
определяет веро-
и т.д. Из этого утверждения, в частности, следует, что если
не представлена в разложении (или, другими словами,
представлена с нулевым коэффициентом), то вероятность обнаружить при измерении наблюда-
емой величины
ственное значение оператора
5. Проекции импульса частицы на ось x отвечает следующий оператор:
в состоянии с волновой функцией
, соответствующее собственной функции
, что
, равна нулю (
).
— соб-
, то есть
. (4)
6. Волновая функция любой физической системы
удовлетворяет уравнению (которое
,
называется уравнением Шредингера):
4
( , )
ˆ
( , )
xt
i H x t
t
, (6)
ˆ
H
где
— оператор, отвечающий энергии этой системы (оператор Гамильтона или гамильтони-
ан).
В этой системе утверждений содержится ответ на любой вопрос, касающийся микроми-
ра: есть такая-то квантовая система в таких-то условиях. Измеряют такую-то величину. Какие
значения можно получить в результате многих измерений и с какими вероятностями?
1. Для данной системы построить гамильтониан. Для этого достаточно оператора им-
пульса (постулат № 5) и логики других постулатов.
2. Решить уравнение Шредингера. Его решения дадут пространство состояний. Выбрать
нужное (используя те условия, в которых находится система).
3. Построить оператор исследуемой величины (из постулата № 5 и логики других по-
стулатов).
4. Решить уравнение на собственные значения и собственные функции этого оператора
в пространстве состояний.
5. Совокупность собственных значений даст возможные наблюдаемые значения иссле-
дуемой величины.
6. Разложить волновую функцию состояния квантовой системы по этой системе функ-
ций. Квадраты коэффициентов разложения дадут искомые вероятности.
1
Модуль 0. Повторение основных принципов квантовой механики
n
f
n
f
nn
n
cf
*
m
f
*
= ( ) ( )
nn
c f x x dx
=,
nn
cf
* * * * * 2
( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) | | 1
n n n n n
n n n
x x dx c f x x dx c f x x dx c
*
( ) ( ) = ( )
nn
n
f x f x x x
**
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )
n n n n n n
n n n
x c f x dx f x x f x dx x f x f x
A
*
ˆˆ
= ( ) ( ) ,A x A x dx A
ˆ
A
Лекция 0.2. Простейшие следствия постулатов. Операторы
Рассмотрим простейшие математические и физические следствия постулатов.
(1) Поскольку собственные функции эрмитовых операторов, отвечающих различным собствен-
ным значениям, ортогональны, то коэффициенты разложения волновой функции
ственным функциям
состояние
. Действительно, умножая разложение волновой функции
представляют собой проекцию состояния на базисное, собственное
по соб-
(1)
на
, интегрируя и пользуясь ортонормированностью базисных функций, получим
. (2)
С использованием определения скалярного произведения это равенство можно записать как
скалярное произведение собственной функции оператора на волновую функцию состояния
квантовой системы
.
(2) Коэффициенты разложения нормированной волновой функции по нормированным соб-
ственным функциям нормированы. Действительно,
. (3)
(3) Для собственных функций выполнено условие
, (4)
которое называется условием полноты системы собственных функций.
,
откуда и следует данное утверждение. Можно провести доказательство и в обратную сторону:
если условие (4) выполнено для какой-то системы функций, — она базисная.
(4) Среднее значение результатов многих измерений физической величины
определяется со-
отношением, которое называется квантовомеханической формулой для средних
, (5)
где
— оператор физической величины A. Доказательство дается следующими формулами:
2
2
()
n n n n
nn
A a w a a c
.
**
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
n
A a f x x dx f x x dx
*
*
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
nn
n
A dx Af x x dx f x x
**
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
nn
n
A dx f x A x dx f x x
* * *
ˆˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nn
n
A dx A x dx x f x f x x A x dx
ˆ
=,AA
()x
12
( ) ( ) 0 0 ... 1 ...
k k n
k
x c f x f f f
x
ˆ
( ) ( )x x x x
a
()
a
fx
( ) ( )
a
f x C x a
C
x
p
()
ˆ
()
x
dx
p x i
dx
Для коэффициентов используем формулу проекции волновой функции на базисное состояние
.
Вводим оператор
.
Пользуемся его эрмитовостью
.
Условием полноты системы собственных функций
.
Это равенство можно записать через скалярное произведение волновой функции квантовой си-
стемы на результат действия на эту функцию оператора физической величины
.
(5) Если волновая функция квантовой системы
совпадает с одной из собственных функ-
ций оператора некоторой физической величины, то при измерении этой физической величины в
таком состоянии с достоверностью будет получено единственное значение. Это значит, что дан-
ная физическая величина имеет определенное значение в таком состоянии.
. (6)
(6) Координате частицы
отвечает оператор умножения на координату
,
его собственными значениями
чению отвечает единственная (с точностью до множителя) собственная функция
— любые действительные числа, каждому собственному зна-
,
где
Импульсу частицы
— упомянутый выше множитель.
отвечает оператор дифференцирования по координате
Его собственными значениями являются любые действительные числа p, его собственной
.
3
функцией, отвечающей собственному значению
p
()
p
fx
()
p
ix
p
f x Ce
C
x
x
p
2 2 2
2
ˆˆ
( ) ( )
22
x
pd
H U x H U x
m m dx
ˆ
()Ux
()Ux
— единственная (с точностью до множите-
ля) функция
,
где
Для построения оператора, являющегося функцией динамических переменных
— упомянутый выше множитель.
и
(и, в
частности, оперетора Гамильтона) необходимо заменить в классической функции Гамильтона
координату на оператор координаты, импульс на оператор импульса
,
где
— оператор умножения на функцию
.
1
Модуль 0. Повторение основных принципов квантовой механики
ˆ
=iH
t
( , ) ( ) ( )x t f x g t
()fx
()gt
()
ˆ
( ) = ( ) ( )
dg t
i f x g t Hf x
dt
( ) ( )f x g t
ˆ
( ) ( )
=
( ) ( )
g t Hf x
i
g t f x
ˆ
H
t
E
( )= ( )i g t Eg t
ˆ
( ) ( )Hf x Ef x
E
()fx
( ) ( )
n
f x f x
n
EE
()gt
()
n
E
it
n
g t C e
n
C
( , ) ( )
n
E
it
nn
x t C f x e
Лекция 0.3. Зависимость волновой функции от времени. Стационарные состояния
Согласно постулатам квантовой механики, волновая функция квантовой системы удо-
влетворяет уравнению Шредингера
. (1)
Уравнение (1) допускает решение в случае, когда гамильтониан квантовой системы не зависит
явно от времени. Будем искать решение временного уравнения Шредингера в виде функции с
разделенными переменными
, где
и
— искомые функции времени.
Подставляя эту функцию в уравнение Шредингера (1) и учитывая, что оператор Гамильтона
действует только на функции координат, получим
. (2)
Разделив уравнение (2) на произведение
, имеем
. (3)
Так как правая часть уравнения (3) зависит только от координат (
по предположению не со-
держит времени), а левая — только от времени, то уравнение (3) удовлетворяется при любых x
и
только тогда, когда и правая и левая часть уравнения (3) равны некоторой постоянной. Обо-
значим эту постоянную
. Тогда
, (4)
. (5)
Из равнения (10) следует, что постоянная
функция
Решая уравнение (9) для функции
где
— произвольная постоянная. Таким образом, любая функция вида
совпадает с одним из собственных значений, а
— с одной из собственных функций оператора Гамильтона:
,
. (6)
, получим
, (7)
, (8)
2
где
()
n
fx
n
E
( , ) ( )
n
E
it
nn
n
x t C f x e
()
n
fx
0t
n
C
( , 0)xt
( , 0)xt
( , ) ( )
n
E
it
nn
x t C f x e
*
— собственная функции оператора Гамильтона, а
— соответствующее собствен-
ное значение, является решением уравнения (1). Так как уравнение (1) — линейное, то любая
линейная комбинация функций вида (8) с произвольными коэффициентами
(9)
также является решением временного уравнения Шредингера (1). А поскольку система соб-
ственных функций оператора Гамильтона
ременной x, то функция (9) в момент времени
может воспроизвести любое начальное условие
решение уравнения Шредингера для любого начального условия
является полной в пространстве функций пе-
при определенном выборе коэффициентов
. Это значит, что функция (9) дает
, то есть является
общим решением временного уравнения Шредингера (в случае, когда гамильтониан не зависит
явно от времени).
В связи с тем, что решения основного уравнения квантовой механики — уравнения Шре-
дингера (1) выражаются через решения уравнения (5) на собственные значения и собственные
функции оператора Гамильтона, последнее также играет важнейшую роль в квантовой механи-
ке. Поэтому его также принято называть уравнением Шредингера. Чтобы не путать эти два раз-
ных уравнения, уравнение (1) принято называть временным уравнением Шредингера, а уравне-
ние (5) — стационарным уравнением Шредингера.
Среди всех решений (9) временного уравнения Шредингера (1) выделяются функции, которые представляют собой одно слагаемое выражения (9)
вероятности, определяемые функцией (10), не зависят от времени. Действительно, вероятности
определяются билинейной комбинацией
стояния, которые описываются волновыми функциями вида (10), называются стационарными.
Если же решение (9) содержит несколько слагаемых, то вероятности различных физических ве-
личин и их средние значения, как правило, зависят от времени. Тем не менее, для ряда величин
вероятности и средние не зависят от времени даже в нестационарных состояниях. Например,
среднее значение энергии в любом состоянии системы, гамильтониан которой не зависит от
времени, не зависит от времени. Действительно, используя квантовомеханическую формулу для
средних имеем
. (10)
Эти функции замечательны тем, что несмотря на то, что они зависят от времени, никакие
, из которой «уходит» время. По этой причине со-
3
*
ˆ
( ) = ( , ) ( , )E t dx x t H x t
. (11)
( , )xt
()
n
fx
* * * *
ˆ
( ) = ( ) ( ) ( ) ( )
n m n m
E E E E
i t i t i t i t
n n m m n m m n m
n m n m
E t dx C f x e H C f x e C e C e E dxf x f x
()
n
fx
2
2
()
n
E
it
n n n
C f q e C
Подставляя в качестве волновой функции системы
ции
являются собственными функциями гамильтониана, получим
выражение (9) и учитывая, что функ-
. (12)
Поскольку функции
ортогональны, в сумме остаются только диагональные слагаемые, из
которых «уходит» время. Отсюда и следует сделанное выше утверждение.
Отметим еще одно важное обстоятельство, связанное со стационарными состояниями.
Поскольку общее решение (9) представляет собой разложение по собственным функциям опера-
тора Гамильтона, то согласно постулатам квантовой механики величины
представляют собой вероятности различных значений энергии. Поэтому при измерении энергии
системы в стационарном состоянии можно обнаружить единственное значение, и, следователь-
но, энергия в стационарном состоянии всегда имеет определенное значение.
Если же гамильтониан явно зависит от времени, переменные в уравнении Шредингера не
разделяются, и уравнение, как правило, не может быть решено. Поэтому в таких случаях прихо-
дится прибегать к приближенным методам решения.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика