Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
5
На рисунке построены графики этих
R
R
R
0
2
R
R mU
0
1
2
2R mU
22
0
2
8
U
mR
ctg R k
2 2 2 2
00
2 2 2
2
22
ctg ctg =
m
mU mU
R k R
0
0
22mUmU
R
функций, причем нужные области пересечения
выделены жирным. А наклоны прямых
определяются коэффициентом перед
в
правой части уравнения (23). Для ситуации,
приведенной на рисунке (для той глубины, для
которой нарисованы прямые) есть четыре точки
нужные пересечения синуса и прямых
, т. е. в яме есть четыре уровня энергии. Из этого
графика видим, что уровни энергии в сферической яме есть не всегда, причем первый уровень
появляется, когда прямая
проходит через «верхушку» первого полупериода синуса, т. е.
. (24)
Или
. (25)
Т. е. как раз при той энергии, когда в сечении получается первый резонанс. Точно также видно,
что каждый резонанс в сечении рассеяния имеет место при такой энергии, при которой в яме
появляется уровень. Здесь используют такую терминологию: о резонансном сечении говорят как
о рассеянии на мелком уровне энергии или (если уровень еще не появился, но потенциал близок
к (25)) о рассеянии на виртуальном уровне.
Найдем сечение, если глубина потенциала близка к резонансной, но не в точности ей
равна. Условие существования уровня энергии
(22) в этом случае можно
переписать так
. (26)
Поскольку
.
6
С другой стороны, уравнение (11) на фазу рассеяния (которую в этом случае мы
0
2 2 2 2
0
ctg ctgR k kR
0
0
22
2
2
m E U
mU
22
00
0
2 2 2
22
2
ctg = ctg
mU mU
mE
R kR
2
0
= ctgE
2
0
sin
2
0
ctg
2
2
0
2
sin
2
d
dk
mE
2 4 6
00
2 6 2 3 6 3 6
00
1
Б
d
UU
d
d
mE m R U m R U E E
d
0
U
6
0
1
22
00
22
sin
Б
d
d k k
обозначим
) можно переписать так
, (27)
и для глубокой ямы и медленных частиц
.
Поэтому уравнение (27) дает
. (28)
Используя далее формулу (26) и малость энергии рассеивающихся частиц, получим
, (29)
где
— уровень энергии в яме. Выражая теперь
через
, получим для сечения
рассеяния частиц на яме, в которой есть мелкий уровень
. (30)
Формула (30) для резонансного сечения называется формулой Вигнера.
Найдем отношение резонансного сечения к борновскому
,
где
— параметр борновости потенциала,
— глубина потенциала в этом случае. Энергия
рассеивающихся частиц и глубина потенциала не связаны друг с другом, но обе величины
являются малыми. Если они одного порядка, то борновского сечения меньше резонасного в
раз.
Очевидно, сечение (30) много больше сечения рассеяния в случае выполнения условий
борновского приближения. Действительно, в случае выполнения условий применимости
борновского приближения фаза рассеяния мала
, и сечение определяется соотношением
. (31)
7
А в случае невыполнения этих условий фаза рассеяния не мала,
2
0
sin 1
2
0
22
sin
1d
d k k
2
0
1
1
Б
d
d
d
d
, и сечение по порядку
величины таково
. (32)
Поэтому
.
Таким образом сечение рассеяния на яме, в которой появляется уровень (и соответственно не
выполнены условия применимости борновского приближения, зависит от энергии в
соответствии с формулой (30) и резко возрастает по сравнению с борновским случаем. Поэтому
такое рассеяние называется резонансным, а формула (30) для резонансного сечения называется
формулой Вигнера.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика