Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
1
Модуль 1. Квазиклассическое приближение
()aE
()bE
( ) ( )a E b E
()x a E
()x b E
E
xa
2
( ) exp ( ) exp ( ) cos ( ) ,
4
( ) ( ) ( )
x x x
a a a
C C C
f x i k t dt i k t dt k t dt x a
k x k x k x
/4
( ) exp | ( ) | ,
| ( ) |
x
a
C
f x k t dt a x b
kx
()x b E
( ) exp ( ) ,
()
x
b
A
f x i k t dt x b
kx
A
xb
E
b
a
x
()Ux
Лекция 1.7. Прохождение потенциальных барьеров
Рассмотрим теперь в рамках квазиклассического
приближения прохождение частиц через потенциальные
барьеры. Пусть частицы с энергией E, меньшей высоты
барьера, падают на барьер слева, и пусть классическими
точками поворота при данной энергии являются точки
и
(
; см. рисунок). Тогда в области
наше решение содержит падающую и
отраженную волны, в области
— только прошедшую волну. Свяжем волновую
функцию слева и справа от барьера, используя квазиклассическое приближение.
Чтобы в области под барьером оно работало, нужно, чтобы энергия
была много
меньше высоты барьера. Или, другими словами, в квазиклассическом случае коэффициент
прохождения должен быть мал. Тогда в области слева от точки
амплитуды падающей и
отраженной волн должны быть практически одинаковыми, и квазиклассическое решение в этой
области решение имеет вид
(1)
(фаза
под аргумент косинуса введена для удобства). Согласно условиям сшивки
квазиклассических функций (см. лекцию 1.4) функция (1) в подбарьерной области будет
содержать только затухающую под барьер экспоненту
Рассмотрим теперь сшивку функций на второй границе. В области
содержит только прошедшую волну
, (3)
где
— амплитуда прошедшей волны. В какую функцию в подбарьерной области перейдет это
решение? Очевидно, эта функция содержит и затухающую и растущую под барьер экспоненту,
причем затухающей экспонентой следует пренебречь. Другими словами, функция (3) перейдет в
области
в функцию
. (2)
наше решение
2
( ) exp ( ) ,
()
b
x
B
f x k t dt x b
kx
, (4)
B
2
cos ( )
4
()
x
a
C
k t dt
kx
exp ( ) exp ( )
()
bx
ab
C
k t dt i k t dt
kx
()kx
22
пад пр
, exp 2 ( )
b
a
kk
j C j C k t dt
mm
пр
пад
exp 2 ( )
b
a
j
D k t dt
j
2
2
Lk
kL k
kk
1D
()
b
a
k t dt
4
HeD T n
причем коэффициент
может отличаться от коэффициента A только фазой. Это значит, что
решение
(5)
слева от барьера в области справа от барьера (с точностью до фазового множителя) имеет вид
. (6)
Находя по функции (5) плотность потока падающих частиц, а по функции (6) — прошедших
(при этом нужно дифференцировать только экспоненту, но не предэкспоненциальный
множитель, чтобы не возникла малая производная
)), получим
,
найдем квазиклассический коэффициент прохождения барьера
. (7)
По порядку величины, показатель экспоненты есть величина, обратная параметру
квазиклассичности
. (8)
Отсюда
.
Важной чертой соотношения (7) является резкая зависимость коэффициента
прохождения от энергии. Действительно, при небольшом увеличении энергии частиц интеграл
уменьшается незначительно, но он входит в показатель степени экспоненты, и это может
привести к значительным изменениям коэффициента прохождения барьера.
Отражением такой зависимости является резкая зависимость времени жизни звезд от их
массы. Известно, что звезда излучает, главным образом, за счет термоядерной реакции
, (9)
3
идущей внутри звезды из-за очень высокой температуры. А температура возрастает за счет
гравитационного сжатия. Известно также, что при реальных температурах внутри звезд, энергия
теплового движения дейтерия и трития ниже высоты разделяющего их кулоновского барьера,
поэтому реакция (9) идет благодаря квантовому прохождению кулоновского барьера. Так вот,
звезда с массой, близкой к солнечной, сгорает за 10 миллиардов лет, а звезда с массой в десять
раз большей солнечной, — всего за 10 миллионов лет (имея при этом в десятки тысяч раз
бóльшую светимость). Это связано с тем, что внутри звезды возрастает температура, и резко (за
счет экспоненты в формуле (7)) возрастает проницаемость кулоновского барьера, что приводит
к существенному увеличению числа актов реакции, выделению гораздо большей энергии и
более быстрому выгоранию звезды.
1
Модуль 2. Теория возмущений
0
ˆ ˆ ˆ
=,H H V
ˆ
V
0
ˆ
=
n n n
H
0
ˆ
H
ˆ
=
m m m
Hf E f
ˆ
H
m
f
{}
n
=
m n n
n
fC
n
C
0
ˆˆ
( ) =
n n m n n
nn
C H V E C
Лекция 2.1. Теория возмущений при отсутствии вырождения. Вывод формул
Точное решение стационарного уравнения Шредингера, как правило, представляет собой
существенную математическую проблему и возможно только для простейших квантовых
систем. Поэтому при решении уравнения Шредингера приходится прибегать к приближенным
методам. Одним из таких методов является теория возмущений. Основная идея этого метода
заключается в том, что часто в условиях задачи фигурируют величины разного порядка — среди
них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается
настолько, что становится возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в
решении задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, второй — в приближенном
вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче.
Метод нахождения этих поправок и называется теорией возмущений.
Итак, пусть оператор Гамильтона некоторой квантовой системы является стационарным
(не зависит от времени) и имеет вид
где
— малая величина, которую в
дальнейшем мы будем называть возмущением. Пусть далее, все, что связано с невозмущенным
гамильтонианом, нам известно
Спектр собственных значений и собственных функций гамильтониана
. (1)
может быть как
дискретным, так и непрерывным.
Рассмотрим теперь уравнение Шредингера для возмущенного гамильтониана квантовой
системы и найдем поправки к m-ому уровню энергии и отвечающей ему собственной функции
возмущенного оператора Гамильтона
Любое собственное состояние гамильтониана
по собственным функциям
. (2)
(и в том числе функцию
) можно разложить
, (3)
где
— некоторые коэффициенты. Подставим это выражение в уравнение Шредингера (2). В
результате получим:
. (4)
2
Теперь умножаем (4) на функцию
*
k
*
k n kn
dq
( ) =
k m k kn n
n
C E V C
kn
V
*
ˆˆ
,
kn k n k n
V V dq V
ˆ
V
()
m
CV
()EV
(0) (1)
(0) (1) (2)
=,
=.
n n n
m m m m
C C C
E E E E
ˆ
0V
{}
n
n
(0) (0) (0)
=1, = 0,
n m n m m m
C C E
(0) (1) (1) (2) (0) (1)
=
k k m m m k kn n n
n
C C E E V C C
(0)
(0)
,
.
mm
mm
E
f
(0) (1) (1) (0)
=
k m k m k kn n mn
n
C E C V C V
km
(1)
m mm
EV
и интегрируем по всем переменным, от которых зависят
собственные функции (При этом мы воспользовались ортнормированностью собственных
функций невозмущенного гамильтониана
).
В результате этих преобразований возмущенное уравнение Шредингера (4) принимает
следующий вид:
Величина
в правой части равенства (5) представляет собой скалярное произведение
. (5)
, (6)
которое равно матричному элементу матрицы оператора возмущения в базисе из собственных
функций невозмущенного гамильтониана. Считаем, что все, что связано с
, мало. По малым
матричным элементам будем делать разложение, которое, фактически, представляет собой ряды
Тейлора для функций малого параметра
и
:
(7)
В нулевом приближении (
уравнения
и
. Поэтому в нулевом порядке по возмущению коэффициенты разложения
) формулы (7) должны привести к решениям невозмущенного
таковы:
. (8)
Подставляя разложения (7) в уравнение (5), получим
. (9)
Будем теперь собирать слагаемые одного порядка малости. Легко проверить, что в нулевом
порядке уравнение (9) удовлетворяется.
В первом порядке по малому возмущению имеем
.
При
находим
. (10)
3
При
km
(1)
km
k
mk
V
C
(1)
m
C
m
f
(1)
0
m
C
(0) (2) (1) (1) (2) (1)
=
k m k m k m k kn n
n
C E C E C V C
km
2
(2)
||
mn
m
nm
mn
V
E
2
||
mn
m m mm
nm
mn
V
EV
nm
m m n
nm
nm
V
f
| | | |
mn m n
V
0
ˆ
H
0
ˆ
H
, (11)
а коэффициент
нормировки. Чтобы функция
не определяется из уравнения, а должен быть выбран из условия
была нормирована в первом порядке по возмущению, нужно
взять
.
Второй порядок
.
При
получаем для собственной энергии
(12)
(формула для собственной функции во втором порядке теории возмущений далее нигде
использоваться не будет).
Формулы (10), (11) и (12) дают поправки первого и второго порядка к энергии уровня и
первого порядка к волновой функции:
,
………… ..(13)
Условие применимости полученных формул — малость вычисленных по теории
возмущений поправок по сравнению с основными слагаемыми. Как следует из формулы (13),
поправки малы, если
. (14)
Обратим внимание на то, что суммирования в (13) проводятся по всем собственным
состояниям оператора
за исключением того состояния, к которому ищутся поправки.
Поэтому нигде в этих формулах знаменатели не обращаются в нуль. Если же спектр
собственных значений невозмущенного гамильтониана
является вырожденным, то условие
применимости теории возмущений (14) нарушается для любого, сколь угодно малого
возмущения, и полученными формулами пользоваться нельзя. В этом случае следует
использовать несколько другой вариант теории возмущений, который принято называть теорией
возмущений при наличии вырождения и который будет рассмотрен в следующих лекциях.
4
Формулы теории возмущений для поправок к энергиям и волновым функциям
0
ˆ
H
0 n
стационарных состояний можно обобщить и на случай наличия у невозмущенного оператора
Гамильтона
непрерывного спектра собственных значений (при этом речь по-прежнему идет
о поправках к энергиям состояний дискретного спектра — в случае непрерывного спектра
любая энергия — собственное значение). В этом случае в правые части (11), (15) должен быть
добавлен интеграл по состояниям непрерывного спектра. Можно также получить формулы и
для поправок теории возмущений к энергиям и волновым функциям стационарных состояний
более высокого порядка. Нам эти формулы далее не понадобятся.
Обратим внимание на еще одно важное обстоятельства, которое часто используется в тех
или иных рассуждениях. Поскольку в числителе каждого слагаемого поправки второго порядка
к уровню энергии — неотрицательная величина, и энергия основного состояния
невозмущенного гамильтониана меньше энергии любого другого
, то поправка второго
порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна. Поэтому, если поправка первого
порядка к энергии основного состояния равна нулю, то энергия основного состояния
понижается, независимо от того, какое на систему действует возмущение.
В следующей лекции мы рассмотрим примеры применения теории возмущений к
вычислению энергий и волновых функций стационарных состояний ряда задач.
1
Модуль 2. Теория возмущений
2
ˆ
()
2
kx
Vx
(1) *
ˆ
= ( ) ( )
n nn n n
E V x V x dx
()
n
x
(1) * 2
= ( ) ( )
2
n n n
k
E x x x dx
(1)
1
=
22
n
k
En
m
2
(2)
||
nm
n
mn
nm
V
E
nm
V
2
( ) ( )
2
nm n m
k
V x x x dx
Лекция 2.2. Теория возмущений при отсутствии вырождения. Примеры использования
Рассмотрим несколько примеров использования теории возмущений. Пусть на
одномерный гармонический осциллятор наложено возмущение
.
Найдем поправки первого и второго порядка к энергетическим уровням осциллятора по теории
возмущений и сравнить с точным ответом (очевидно, точное решение уравнения Шредингера
для такого возмущения находится, поскольку возмущенный гамильтониан также представляет
собой осциллятор, но с другой частотой).
Согласно формулам теории возмущений поправка первого порядка к уровням энергии
квантовой системы определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения с
невозмущенными собственными функциями
, (1)
где
— собственные функции гамильтониана невозмущенного осциллятора. Для
исследуемого возмущения имеем
. (2)
Интеграл в (2) вычислялся в первой части курса — формула (14) лекции 2.5. Используя эту
формулу, имеем из (2)
. (3)
Поправка второго порядка определяется формулой (12) из предыдущей лекции
, (4)
где
— недиагональный матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными
собственными функциями
.
2
Из формулы (14) лекции 2.5 первой части курса следует, что недиагональный матричный
n
22
, 2 , 2
(2)
| | | |
22
n n n n
n
VV
E
2 2 2
(2)
2 3 2 3 2 3
1
( 1)( 2) ( 1)
32 32 8 2
n
k k k
E n n n n n
m m m
(1) (2)
22
2 3 2 2 4
=
1 1 1 1
1.
2 2 2 8 2 2 2 8
n n n n
E E E
k k k k
n n n n
m m m m
2
/km
2
||
||
mn
mn
k
V
k
m
m
2
||
1
||
mn
mn
V
k
m
2 2 2
2 2 2
1/
()
2 2 2
m k m x
m x kx
Ux
2 2 2
22
2 2 2
1
1/
()
2 2 2 2
m k m x
mx
m x kx
Ux
1
2
1
k
m
1
2
11
1
22
n
k
E n n
m
элемент оператора квадрата координаты отличен от нуля только, если индексы отличаются на 2.
Поэтому поправка к энергии
-ого уровня определяется соотношением
.
Используя далее формулу (14) лекции 2.5 первой части курса, получим
. (5)
В результате в двух порядках теории возмущений имеем для возмущенных энергий
Таким образом, формулы теории возмущений дают разложение возмущенных энергий в ряд по
степеням безразмерного параметра
, который и является параметром теории возмущений
,
и для которого (чтобы теория возмущений работала) должно быть выполнено условие
.
Убедимся теперь, что точные формулы дают тот же результат. Поскольку возмущенную
потенциальную энергию можно представить в виде
,
то точные энергии возмущенного осциллятора определяются обычными «осцилляторными»
формулами, но с измененной частотой
,
.
Поэтому точные возмущенные энергии равны
. (7)
Раскладывая корень в формуле (7) в ряд Тейлора до второго порядка малости, получим
3
2
2 2 4
1
1
2 2 8
n
kk
En
mm
.
ˆ
()V x x
(1) *
= ( )
n nn n n
E V x x dx
()
n
x
(1)
=0
n
E
nk
x
1kn
22
(2)
11
11
| | | |
=
nn nn
n
n n n n
VV
E
2
(2)
2
=
2
n
E
m
2
2
( 1/ 2)
2
n
En
m
Таким образом (как это и должно быть) формулы теории возмущений представляют собой
разложение точных формул в ряд Тейлора по степеням возмущения.
Рассмотрим еще один пример. Пусть на одномерный гармонический осциллятор
наложено возмущение
. Найдем поправки первого и второго порядка к
энергетическим уровням осциллятора.
Согласно формулам теории возмущений поправка первого порядка к уровням энергии
квантовой системы определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения с
невозмущенными собственными функциями
, (8)
где
— собственные функции гамильтониана невозмущенного осциллятора. Поскольку
диагональные матричные элементы оператора координаты с осцилляторными функциям равны
нулю (формула (12) лекции 2.5 из первой части курса), то поправка первого порядка теории
возмущений (8) равна нулю
.
Поправки второго порядка определяются соотношением (12) из предыдущей лекции.
Поскольку матричные элементы оператора координаты
не равны нулю только для
(формула (12) лекции 2.5 первой части курса), в сумме (12) представлены только два слагаемых,
и поэтому эта сумма легко вычисляется. Имеем
Используя далее матричные элементы оператора координаты с невозмущенными
осцилляторными функциями (формула (12) лекции 2.5 первой части курса), находим
В результате в первых двух порядках теории возмущений уровни энергии возмущенного
осциллятора имеют вид
. (9)
. (10)
. (11)
Соседние файлы в предмете Квантовая механика