Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
1
Модуль 5. Задача рассеяния
2
( ) ( ) ( )
2
ikr
m
f e U r r dr
()r
ikz
e
(0) (1) (2)
( ) ( ) ( ) ( ) ...r r r r
(0)
()r
(1)
()r
(2)
()r
(0)
(1) (0)
22
(2) (1)
2
( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ) ,
22
( ) ( ) ( ) .
2
ikz
ikr ikr
ikr ikr ikz
ikr
ikr
re
me me
r e U r r dr e U r e dr
rr
me
r e U r r dr
r
Лекция 5.3. Борновское приближение в задаче рассеяния: идеи, формулы, условия
применимости
Полученная в конце прошлой лекции формула для амплитуды рассеяния
(1)
не является решением задачи рассеяния, поскольку в подынтегральное выражение в правой
части (1) входит неизвестная волновая функция задачи рассеяния
. Более того, найти эту
функцию, как правило, не удается из-за значительных математических трудностей,
возникающих при решении уравнения Шредингера для волновой функции задачи рассеяния.
Поэтому для вычисления сечения приходится использовать приближенные методы. Важнейшим
из таких приближенных методов является метод Борна (или, как чаще говорят, борновское
приближение). Для построения борновского приближения будем использовать выражение (1)
для амплитуды рассеяния.
Основная идея борновского приближения заключается в следующем. Пусть
потенциальная энергия мала и может рассматриваться как возмущение. Тогда волновая функция
задачи рассеяния должна мало отличаться от волновой функции падающих частиц
поскольку при нулевом потенциале она буквально сводится к этой функции. Кроме того,
волновая функция задачи рассеяния в случае малого потенциала может быть найдена в виде
разложения по степеням потенциальной энергии
, (2)
,
где слагаемые
,
,
и т. д. пропорциональны нулевой, первой, второй и т. д.
степеням потенциала. Для нахождения поправок к волновой функции используем интегральное
уравнение задачи рассеяния (уравнение (…) из предыдущей лекции). Поскольку интегральное
слагаемое — первого порядка по возмущению, имеем
(3)
2
В соответствии с этим рядом для волновой функции возникает аналогичный ряд для разложения
2
( ) ( )
2
iqr
m
f e U r dr
0
q k k
0
k
k
0
k
q
2 sin
2
qk
1kR
iqr
e
1
iqr
e
2
( ) ( )
2
m
f U r dr
z
0
k
k
q
амплитуды рассеяния по степеням возмущения. В частности, в первом порядке теории
возмущений имеем из второго соотношения формулы (3)
, (4)
где вектор
волновой вектор рассеянных частиц, направленный под углом рассеяния
(
— волновой вектор падающих частиц, направленный по оси z, k —
) — с точностью до
множителя есть переданный при рассеянии импульс (иногда вектор q называют вектором
столкновения). Для упругого рассеяния, которое только и рассматривается здесь, модули
волновых векторов
и
являются одинаковыми.
Разложение (2), которое, фактически, представляет собой теорию возмущений по
потенциальной энергии взаимодействия рассеивающей и рассеивающейся частиц, называется
борновским разложением, а его первый член — формула (4) для амплитуды рассеяния —
представляет собой первое борновское приближение.
Формула (4) дает выражение для амплитуды рассеяния в квадратурах и не требует
решать дифференциальное уравнение. Для ее использования достаточно вычислить один
интеграл. Обсудим особенности формулы Борна.
Во-первых, зависимость от угла рассеяния и энергии
рассеивающихся частиц входит в формулу Борна только
через вектор столкновения
(см. рисунок). Из этого рисунка
находим
. (5)
То есть в условиях выполнимости первого борновского приближения сечение зависит от
энергии и угла рассеяния только в виде комбинации (5). В частности, если сечение не зависит от
энергии, то оно не зависит от угла рассеяния и наоборот.
При малых энергиях частиц
интегрирования в формуле Борна экспоненту
(где R — радиус действия потенциала) в области
можно заменить на единицу
, и
амплитуда рассеяния определяется соотношением
, (6)
3
то есть не зависит от энергии частиц и угла рассеяния (о последнем говорят, как об
1kR
( ) ( 0)ff
1
kR
iqr
e
2
2
1
0
d
d
kR
(1) (0)
( ) ( )rr
()fR
1kR
3
0
2
()
mU R
f
изотропности рассеяния).
При больших энергиях частиц
сечение оказывается резко анизотропным (или, как
говорят, «вытянуто» или «направлено» вперед). Это связано с тем, что при больших углах
рассеяния экспонента в случае быстрых частиц сильно осциллирует, что приводит к
подавлению интеграла. Следовательно, в случае быстрых частиц выполнено неравенство
. (7)
Другими словами, при больших энергиях рассеяние происходит в основном в конус с углом
раствора
. (8)
А поскольку внутри этого конуса экспоненту
в формуле Борна можно заменить на
единицу, то значение сечения внутри конуса не зависит от энергии, то полное сечение рассеяния
(если, оно сходится) можно оценить как
. (9)
Т. е. в условиях выполнимости борновского приближения полное сечение (если оно сходится)
обратно пропорционально энергии частиц.
Остановимся теперь на условиях применимости борновского приближения. Для быстрой
сходимости ряда последовательных приближений нужно, чтобы поправка первого порядка к
волновой функции была мала по сравнению с волновой функцией нулевого приближения
. (10)
Отсюда следует, что если потенциал имеет конечный радиус действия, для применимости
борновского приближения амплитуда рассеяния должна быть мала по сравнению с радиусом
действия потенциала
. (11)
Дальнейшую оценку сделаем на основе формулы Борна для амплитуды рассеяния быстрых и
медленных частиц.
Медленные частицы
. В этом случае из формулы Борна (4) имеем
, (12)
4
где
0
U
2
0
2
U
mR
2
0
2
U
mR
1kR
iqr
e
iqr
e
1/ 1/qR kR
3
0
2
1
()
mU R
f
kR
0
U
2
0
2
U kR
mR
— характерное значение потенциала. В результате условие (11) вместе с оценкой для
амплитуды (12) дает ограничение на величину потенциальной энергии взаимодействия
рассеивателя и рассеивающихся частиц
, (13)
для которой для вычисления дифференциального сечения рассеяния можно пользоваться
борновским приближением. Поскольку в сферической потенциальной яме глубиной
(14)
появляется первый уровень энергии, то , можно сказать, что борновское приближение работает,
если величина потенциала много меньше глубины ямы, в которой есть связанное состояние.
Быстрые частицы
рассеяния из-за осцилляций экспоненты
. В этом случае формула Борна дает уменьшение амплитуды
. Поэтому амплитуду можно оценить как интеграл
не по всей области действия потенциала, а по одному периоду осциллирующей функции
который по порядку величины есть
. Поэтому из формулы Борна имеем в этом
случае
, (15)
где
— характерное значение потенциала, и условие (12) дает ограничение на величину
потенциальной энергии взаимодействия рассеивателя и рассеивающихся частиц
. (16)
Из формулы (13) следует, что для достаточно быстрых частиц борновское приближение всегда
работает (независимо от величины потенциала).
,
1
Модуль 5. Задача рассеяния
0
,,
()
0,
U r R
Ur
rR
0
0U
2
( ) ( )
2
iqr
m
f e U r dr
0
q k k
0
k
2 sin
2
qk
z
2 cos
0
2
00
( ) sin
R
iqr
mU
f drr d e
cosx
1
2
0
2
01
()
R
iqrx
mU
f drr dxe
x
0
2
0
2
( ) sin
R
mU
f drr qr
q
Лекция 5.4. Пример использования борновского приближения
В рамках борновского приближения рассмотрим рассеяние частиц на потенциале
(1)
(сферическая яма конечной глубины). Здесь
— глубина ямы, R — радиус ямы. Исполь-
зуем формулу для амплитуды рассеяния в первом борновском приближении
, (2)
где вектор
волновой вектор рассеянных частиц, направленный под углом рассеяния
(
— волновой вектор падающих частиц, направленный по оси z, k —
) — с точностью до
множителя есть переданный при рассеянии импульс.
. (3)
Зависимость амплитуды рассеяния от угла рассеяния и энергии частиц входит только через пе-
реданный импульс q, все остальные величины в (2) от угла рассеяния и энергии рассеянных ча-
стиц не зависят. Вычисление амплитуды рассеяния согласно формуле (2) сводится к вычисле-
нию интеграла. Вычисляем его в сферических координатах. Ось
системы координат, в кото-
рой вычисляется интеграл, направим по переданному импульсу q. Тогда вычисление борнов-
ской амплитуды рассеяния (2) сводится к интегралу
В интеграле по полярному углу делаем замену переменной
Интеграл по переменной
Интеграл в (4) можно вычислить методом интегрирования по частям, или с помощью диффе-
ренцирования по параметру. Имеем
. (2)
. Получаем
. (3)
вычисляется элементарно. Получаем
. (4)
2
2
00
sin sin cos
sin cos
RR
d d qR qR qR qR
drr qr dr qr
dq dq q q
. (5)
2
22
0
46
sin cos
4
qR qR qR
mU
d
dq
1kR
2
0
2
U
mR
1kR
2
0
2
U kR
mR
1kR
1qR
2
33
2 2 2
2
00
4 6 2
62
4
4
9
qr qr
qR qR
m U ma U
d
a
dq
1kR
1
kR
1qR
1
qR
В результате находим дифференциальное сечение рассеяния
. (6)
Условия применимости соотношения (6) стандартны для борновского приближения. В случае
рассеяния медленных частиц (
) определенное ограничение накладывается на величину
потенциала
. (7)
В случае быстрых частиц (
) ограничение на потенциал более мягкое
. (8)
И для достаточно быстрых частиц всегда выполнено.
Рассмотрим сечение (6) в частном случае быстрых и медленных частиц. Для медленных
частиц
при любых углах рассеяния справедливо и условие
(q — переданный
импульс (3)), поэтому можно разложить синус и косинус в формуле (6) в ряды Тейлора (с точ-
ностью до кубических и квадратичных членов соответственно, поскольку члены первого поряд-
ка сокращаются. Имеем
Как и должно быть в соответствии с общими свойствами борновского приближения, сечение
рассеяния медленных частиц не зависит ни от угла, ни от энергии рассеивающихся частиц. При
этом из формул (7)–(9) следует, что сечение рассеяния много меньше геометрических парамет-
ров рассеивающего центра (радиуса действия потенциала).
Случай быстрых частиц
По-прежнему справедливо условие
больших углов рассеяния (
. В случае рассеяния на малые углы
, и для сечения мы получаем значение (9). В случае
) для произведения
. (9)
. (10)
выполнено обратное неравенство
3
1qR
. Поэтому в скобках формулы (6) можно пренебречь
sinqR
cosqR qR
2 4 2
2
2
0
44
4
cos
()
m R U
d qR
R
d qR
4
1
sin / 2
0
2
1
kR
/
()
rR
U r e
r
z
2
0
( ) ( )
iqr iqr
im
f U r e e dr
q
2
2 2 2 2
2
()
1 4 sin ( / 2)
mR
f
kR
d
d
4
sin ( / 2)
Медленные частицы
Быстрые частицы
по сравнению с
. В
результате получаем для сечения рассеяния
. (11)
Из формулы (11) следует, что (1) сечение много меньше геометрических параметров потенциала
(квадрата радиуса), (2) осциллирует как функция угла рассеяния с уменьшающейся по закону
(12)
амплитудой и (3) на интервале углов рассеяния от
осцилляций. Качественные графики
зависимости дифференциального се-
чения рассеяния частиц от угла рассе-
яния приведены на рисунке. Обратим
внимание слушателей, что в условиях
применимости борновского прибли-
жения сечение рассеяния много
меньше квадрата радиуса потенциала.
Рассмотрим (правда, не с такой степенью подробности) еще один пример. Рассеяние на
потенциале Юкавы
до
испытывает
(13)
. (14)
Вычисляя в формуле (2) интеграл по углам (для этого удобно направить ось
получим
Вычисляя интеграл (15) (который вычисляется элементарно, и потому не требует комментариев), получаем
по вектору q),
. (15)
. (16)
4
При больших энергиях и не слишком малых углах рассеяния формула (16) сводится к резерфор-
()Ur
r
/rRe
довской. Это связано с тем, что большим углам рассеяния отвечают малые прицельные пара-
метры, и, следовательно, частицы не замечают экранировки кулоновского потенциала
множителем
, который порядка единицы при малых расстояниях. При малых углах рассея-
ния сечение не расходится (как резерфордовское) из-за экранировки потенциала, которое обеспечивает, таким образом, сходимость полного сечения.
1
Модуль 5. Задача рассеяния
E
z
()
( , )
ikr
ikz
fe
re
r
()f
2
2/k mE
0l
Y
l
P
cos
ikz
e
cos
00
( ) (cos ) (2 1) ( ) (cos )
ikz ikr l
l l l l
ll
e e C r P i l R r P
()
l
Cr
(2 1)
l
il
()
l
Rr
1
,
1
2
( ) ( )
21
ll
l l l
P x P x dx P
l
()
l
Rr
Лекция 5.5. Фазовая теория рассеяния. Фазы рассеяния. Выражение сечения через фазы
рассеяния
Наряду с теорией рассеяния, изложенной в предыдущей лекции, часто используется
другой вариант теории, именуемый фазовой теорией рассеяния. Основная идея этой теории
заключается в разложении волновой функции задачи рассеяния по состояниям с определенным
моментом (по сферическим функциям). В результате и для амплитуды рассеяния получается
разложение на так называемые парциальные амплитуды (амплитуды рассеяния частиц с
определенным моментом), знание которых позволяет свести вычисление амплитуды рассеяния к
суммированию бесконечного ряда. Изложим подробно эту теорию рассеяния.
Пусть рассеяние частиц происходит на сферически симметричном потенциале, и частицы
с определенной энергией
падают на потенциал вдоль оси
. Тогда на больших расстояниях
от рассеивающего центра волновая функция задачи рассеяния имеет вид «плоской волны плюс
расходящейся сферической волны»:
, (1)
где
— амплитуда рассеяния,
. Разложим функцию (1) по сферическим
функциям. При этом заметим, что благодаря выбранной геометрии задачи (падение частиц
вдоль оси z) угол рассеяния
координат, а от азимутального угла
фактически, разложение будет производится по функциям
множителя совпадают с полиномами Лежандра
Начнем с разложения функции
в формуле (1) есть полярный угол сферической системы
в формуле (1) вообще ничего не зависит. Поэтому,
, которые с точностью до
от
.
. Очевидно, такое разложение имеет вид
(2)
(принято выделять из коэффициентов разложения
«засовывать» в функцию
получим для функции
). Пользуясь условием ортогональности для полиномов Лежандра
множитель
, а все остальное
, (3)
2
1
1
1
( ) ( )
2
ikrx
ll
l
R r e P x dx
i
Вычисляя интеграл (4) по частям, получим
1
1
1
1
1
11
( ) ( ) ( )
22
ikrx
ikrx
l l l
ll
e
R r P x e P x dx
i ikr i kr
()
l
Px
(1) 1
l
P
( 1) ( 1)
l
l
P
1
1
( ) ( 1)
2
ikr l ikr
l
r
l
R r e e
i kr
/2i
ie
sin
2
()
l
r
l
kr
Rr
kr
00
sin
(2 1)
2
(2 1) (cos ) 1 (cos )
2
l
ikz l ikr ikr
ll
ll
l
kr
il
e i l P e e P
kr kr
()
l
Rr
2
2
( 1)
( ) ( )
2
r
ll
R r ER r
mr
r
( ) ( )r rR r
()r
2
22
2 ( 1)
( ) ( ) 0
2
m l l
r E r
mr
0r
. (4)
, (5)
где
— производная от полинома Лежандра. Интеграл в правой части формулы (5) по
порядку величины совпадает с интегралом (4). Поэтому второе слагаемое в (5) на больших
расстояниях пропадает. А поскольку
,
из (5) имеем на больших
расстояниях от рассеивающего центра
. (6)
Используя далее формулу
, получим из (6)
. (7)
Или
. (8)
Сделаем здесь небольшой комментарий к разложению экспоненты. Так как экспонента —
решение свободного уравнения Шредингера, то коэффициенты ее разложения
полиномам Лежандра являются решением свободного радиального уравнения Шредингера
(уравнение (4) из лекции 4.2 с нулевым потенциалом из первой части курса)
где
первой части курса сделать замену
— радиальная часть оператора Лапласа, m — масса частиц. Если, как и в лекции 4.2
, то для функции
А поскольку уравнение (10) является уравнением второго порядка, то наряду с решением,
имеющим асимптотику (7), существует еще одно решение, имеющее особенность при
Очевидно, асимптотика такого решения имеет вид
по
, (9)
получится уравнение
. (10)
.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика