Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
5
На следующей лекции мы попробуем применить этот метод к ряду конкретных
квантовомеханических задач.
1
Модуль 2. Теория возмущений
0
ˆ
H
0
ˆ
H
1
2
0 1 1
0 2 2
ˆ
,
ˆ
.
HH
1
2
11 22
0VV
12 21
0V V V
0
ˆˆ
( ) =
i i i
H V f E f
1 1 2 2
=
i
f СС
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆˆ
=
ii
С С VС VC E C E C
*
1
*
2
1
2
1
C
2
C
i
E
Лекция 2.5. Примеры использования теории возмущений в вырожденном случае
Чтобы почувствовать возможности теории возмущений с вырождением давайте
рассмотрим несколько учебных примеров.
Пример 1. Пусть есть некоторая квантовая система, которая описывается гамильтонианом
который имеет двукратно вырожденный уровень, т.е. некоторому собственному значению
гамильтониана
отвечают две собственных функции —
и
.
(1)
Пусть на эту квантовую систему накладывается такое возмущение, диагональные матричные
элементы которого с функциями
нулю
(для упрощения формул, мы считали здесь матричные элементы
и
равны нулю
, недиагональные — не равны
действительными). Найти правильные функции нулевого приближения и поправки к энергиям в
первом порядке теории возмущений.
Решение. В соответствии с общими правилами теории возмущений с вырождением ищем
правильные функции нулевого приближения и поправки к энергиям в первом порядке теории
возмущений из возмущенного уравнения Шредингера
,
но решение его ищем в виде разложения по функциям, относящимся к вырожденному уровню
(последнее является приближением). Учитывая (1) и (3) в уравнении (2) легко подействовать
невозмущенным гамильтонианом
Умножая уравнение (4) сначала на функцию
интегрируя, и пользуясь условиями ортонормированности функций
уравнений относительно коэффициентов правильных функций
, (2)
(3)
. (4)
и интегрируя, потом на функцию
и
и
, и возмущенных энергий
, получим систему
и
2
12
12
0,
0.
i
i
E C VC
VC E C
(5)
1
C
2
C
i
E
i
E
1
C
2
C
i
E
0
i
i
EV
VE
i
E
2
2
0
i
EV
1
E
2
E
1
EV
2
EV
i
E
1
C
2
C
1i
EE
12
12
0,
0.
VC VC
VC VC
1
f
1
EV
1 2 1 1 2
C C f
1 1 2
1
2
f
2
f
2
EV
1 2 2 1 2
C C f
Система двух уравнений (5) содержит три неизвестных —
быть решена относительно всех неизвестных. Но энергию
,
и
— и потому не может
можно найти. Действительно,
будем рассматривать систему (5) как систему линейных однородных алгебраических уравнений
относительно
и
, а неизвестные энергии
будут определять коэффициенты этой
системы. Ненулевые решения у этой системы существуют (а нам нужны именно ненулевые
решения), если определитель, составленный из коэффициентов системы, равен нулю
. (6)
Раскрывая определитель (6), получаем уравнение для возмущенных энергий
. (7)
Отсюда находим две возмущенных собственных энергии
,
Только для этих значений энергии
система уравнений (5) имеет ненулевые решения
и
. (8)
и
.
Найдем эти решения. Для этого подставим сначала в систему (5)
и найдем
коэффициенты
(9)
(Конечно, уравнения получились зависимыми; только в этом случае определитель системы
равен нулю) Из системы (9) коэффициенты однозначно не находятся, поскольку это однородные
уравнения. Но можно найти соотношения между ними, которое и определяет правильную
функцию нулевого приближения
для состояния с энергией
.
Коэффициенты можно найти однозначно, если привлечь условие нормировки
. (10)
Аналогично находим правильную функцию
для состояния с энергией
3
и из условия нормировки
2 1 2
1
2
f
12
V
12 1 2 1 2 1 2 11 12 21 22
11
ˆˆ
, , 0
22
V f Vf V V V V V
1
EV
2
EV
11 1 1 1 2 1 2 11 12 21 22
22 2 2 1 2 1 2 11 12 21 22
11
ˆˆ
, , ,
22
11
ˆˆ
, , .
22
V f Vf V V V V V V
V f Vf V V V V V V
0
ˆ
H
0
ˆ
H
1
2
0 1 1
0 2 2
ˆ
,
ˆ
.
H
H
1
2
12 21
0VV
11
VV
22
VU
UV
0
ˆˆ
( ) =
i i i
H V f E f
1
2
1 1 2 2
=if СС
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆˆ
=
ii
С С VС VC E C E C
. (11)
Проверим, что недиагональные матричные элементы оператора возмущения с правильными
функциями нулевого приближения
равны нулю. Действительно, из (10), (11) имеем
. (12)
Также легко проверить, что найденные нами поправки к энергиям
и
действительно определяются матричными элементами оператора возмущения с правильными
функциями нулевого приближения. Вычисляя матричные элементы, получим:
(13)
Пример 2. Пусть есть некоторая квантовая система, которая описывается гамильтонианом
который имеет двукратно вырожденный уровень, т.е. некоторому собственному значению
гамильтониана
отвечают две собственных функции —
и
.
,
Пусть на эту квантовую систему накладывается такое возмущение, недиагональные матричные
элементы которого с функциями
,
(
). Найти правильные функции нулевого приближения и поправки к
и
равны нулю
энергиям в первом порядке теории возмущений.
Решение. Ищем правильные функции нулевого приближения из возмущенного уравнения
Шредингера
с решением в виде линейной комбинации функций
Подставляя (16) в (15), получим
(14)
, диагональные — различны
(15)
и
. (16)
. (17)
4
Умножая уравнение (17) сначала на функцию
*
1
*
2
1
2
1
C
2
C
i
E
1
2
0,
0.
i
i
E V C
E U C
0
0
0
i
i
EV
EU
i
E
0
ii
E U E V
1
E
2
E
1
EV
2
EU
1i
EE
1
2
0 0,
0.
C
U V C
UV
2
0C
1
C
1
EV
11
f
2
f
2
EU
22
f
и интегрируя, потом на функцию
и
интегрируя, и пользуясь условиями ортонормированности функций
уравнений относительно коэффициентов правильных функций
и
и
, получим систему
, и возмущенных энергий
(18)
Ненулевые решения у системы (18) существуют, если ее определитель равен нулю
. (19)
Раскрывая определитель (19), получаем уравнение для возмущенных энергий
. (20)
Отсюда находим две возмущенных собственных энергии
,
и
. (21)
Теперь подставим в систему (5)
. Получим
(22)
Так как
коэффициент
отвечающая собственному значению
, второе уравнение удовлетворяется, если
. А из первого следует, что
может быть любым. Поэтому правильная функция нулевого приближения,
, есть
. (23)
Аналогично находим правильную функцию
для состояния с энергией
. (24)
Таким образом, правильные функции нулевого приближения в данной задаче совпадают с
изначальными собственными функциями, а поправки к энергиям равны диагональным
матричным элементам с изначальными функциями. Конечно, этот результат можно было
ожидать заранее. Правильными являются такие линейные комбинации изначальных функций,
для которых равны нулю диагональные матричные элементы оператора возмущения, а поправки
к энергиям раны диагональным матричным элементам с правильными функциями. А поскольку
в этой задаче недиагональные матричные элементы с изначальными функциями равны нулю, то
5
они и есть правильные функции, а поправки к энергиям равны диагональным матрияным
0
ˆ
H
0
ˆ
H
1
2
0 1 1
0 2 2
ˆ
,
ˆ
.
H
H
1
2
12 21
0VV
11 22
V V V
1
2
1
2
элементам с ними, т.е. с изначальными функциями.
Пример 3. Пусть есть некоторая квантовая система, которая описывается гамильтонианом
который имеет двукратно вырожденный уровень, т.е. некоторому собственному значению
гамильтониана
отвечают две собственных функции —
и
.
(25)
Пусть на эту квантовую систему накладывается такое возмущение, недиагональные матричные
элементы которого с функциями
и
равны нулю
, диагональные — одинаковы
. Найти правильные функции нулевого приближения и поправки к энергиям в
первом порядке теории возмущений.
Решение. Поскольку недиагональные матричные элементы оператора возмущения с
изначальными функциями
и
равны нулю, то эти функции и являются правильными
функциями нулевого приближения. Поэтому поправки к энергиям обоих уровней равны V. Это
значит, что уровень энергии сместится по отношению к первоначальной энергии, но останется
,
вырожденным. Поэтому никаких условий на правильные функции у нас нет, и любая линейная
комбинация функций
и
будет собственной функцией возмущенной задачи.
1
Модуль 2. Теория возмущений
0
E
r
n
l
0
E
()
r
j n lm
r
l
21l
r
n
l
m
000
ˆ
cosV erE ezE erE
()
r
n lm
r
*
0
( ) cos ( ) 0
rr
mm n lm n lm
V eE dr r r r
m
m
()
r
n lm
r
( , )
lm
Y
10
Y
10
cos Y
*
10
( , ) ( , ) ( , )
mm lm lm
V d Y Y Y
d
( 1)l
Лекция 2.6. Эффект Штарка
Рассмотрим несколько примеров применения теории возмущений в случае
вырожденного спектра к физическим задачам. Сначала исследуем влияние на вырожденные
квантовые системы электрического поля.
Пусть трехмерная частица находится в сферически симметричном потенциале, в котором
отсутствует «случайное» вырождение уровней энергии. На эту систему накладывается слабое
однородное электрическое поле с напряженностью
. Докажем, что в первом порядке теории
возмущений расщепления энергетических уровней частицы не происходит.
Стационарные состояния частицы (в отсутствии спина; а на взаимодействие с
электрическим полем спин никак не влияет) в центрально-симметричном поле можно
классифицировать с помощью трех квантовых чисел: радиального квантового числа
орбитального момента
направленную вдоль вектора
моментом
является
и его проекции m на одну из координатных осей (например, ось,
) —
. При этом уровень энергии частицы с
-кратно вырожденным по проекции момента (по условию
«случайное» вырождение отсутствует). То есть собственные значения оператора Гамильтона,
отвечающие собственным состояниям с одинаковыми значениями радиального квантового
числа
и момента
, но с разными значениями
проекции момента на ось z совпадают.
При наложении однородного электрического поля к гамильтониану частицы добавляется
возмущение
. Очевидно, все матричные элементы оператора
,
возмущения с функциями
(и диагональные, и недиагональные) равны нулю
(я отметил эти матричные элементы только теми индексами, которые могут быть различными:
и
). Действительно, зависимость невозмущенной собственной функции
определяется сферической функцией
(поскольку
где
— телесный угол. Поскольку все сферические функции обладают определенной
). Поэтому угловая часть матричного элемента (1) такова
четностью, которая определяется моментом и не зависит от проекции (она равна
(1)
от углов
, оператора возмущения — сферической функцией
, (2)
), то
2
функция
*
( , ) ( , )
lm lm
YY
m
10
( , ) cosY
rr
ˆ
cos cos cosP
000
ˆ
cosV erE ezE erE
2
/8ea
0l
1l
/2
1 2, 0, 0 00
3/2
1
1 ( , )
2
2
r
ra
n l m
r
eY
a
a
/2
2,3,4 1, 1, 1,0,1 1 1,0,1
5/2
1
( , )
26
r
ra
n l m m
re Y
a
2, 0, 0 1
r
n l m
2 1, 1, 1
r
n l m
3 1, 1, 0
r
n l m
4 1, 1, 1
r
n l m
0
ˆ
cosV erE
1 1 2 2 3 3 4 4i
f C C C C
0
ˆˆ
( ) =
i i i
H V f E f
является четной независимо от m и
. Функция
является нечетной относительно преобразования
:
. (3)
Поэтому интеграл (2) и равен нулю (знак подынтегральной функции по половине
пространства — плюс, по половине пространства — минус). Следовательно, расщепления
уровня энергии заряженной частицы в центрально-симметричном поле без случайного
вырождения под действием возмущения
не происходит.
Рассмотрим теперь именно влияние однородного электрического поля на атом водорода
(эффект Штарка). В этом случае существует два вырождения — по проекции момента (как и в
любом центральном поле), и по моменту, когда являются вырожденными состояния с разными
моментами. В этом случае расщепление уровня (как мы увидим ниже) будет происходить.
Чтобы почувствовать, как происходит расщепление, рассмотрим простейший атомный уровень
с вырождением по моменту — первый возбужденный уровень энергии электрона в атоме
водорода.
Напомню, что первый возбужденный уровень энергии электрона в атоме водорода имеет
энергию
отвечают одно состояние с моментом
(a — боровский радиус) и является четырехкратно вырожденным: ему
и три состояния с моментом
. Волновые
функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню электрона в атоме, могут
быть выбраны в следующем виде:
, (4)
(5)
(чтобы не загромождать формулы индексами я ввел обозначения
,
,
). При наложении на атом однородного
электрического поля к гамильтониану электрона добавляется возмущение
Ищем правильные функции в виде неизвестных линейных комбинаций функций (4), (5):
.
Подставляя эти линейные комбинации в возмущенное уравнение Шредингера
,
.
, (6)
3
и умножая его последовательно на
i
11 1 12 2 13 3 14 4
21 1 22 2 23 3 24 4
31 1 32 2 33 3 34 4
41 1 42 2 43 3 44 4
0,
0,
0,
0.
E V C V C V C V C
V C E V C V C V C
V C V C E V C V C
V C V C V C E V C
31 13
VV
31 13 0
3V V eaE
0
0
0 3 0
0 0 0
0
3 0 0
0 0 0
E eaE
E
eaE E
E
2 2 2
0
30E E eaE
1,2
E
30
3E eaE
40
3E eaE
1l
1m
1m
1l , 0m
0l , 0m
и интегрируя, получим систему уравнений для
коэффициентов
(7)
Среди всех матричных элементов, входящих в систему уравнений (7) не равны нулю только
матричные элементы
. Остальные занулятся из-за соображений четности, или разных
проекций момента. Вычисляя их, получим (соответствующие интеграл вычисляется
элементарно)
. (8)
Система однородных уравнений для неизвестных коэффициентов (7) имеет ненулевые решения,
если ее определитель равняется нулю
. (9)
Раскрывая определитель (9) получаем
. (10)
Из уравнения (10) находим энергии подуровней, на которые расщепляется первый
возбужденный уровень атома водорода под действием однородного электрического поля (в
первом порядке теории возмущений)
Поскольку первый корень является двукратно вырожденным, то четырехкратно вырожденный
невозмущенный уровень энергии расщепится на три подуровня, один из которых будет
двукратно вырожденным, остальные два — невырожденными. Таким образом, вырождение,
имеющее место невозмущенного атома, снимается только частично.
Очевидно, этим подуровням отвечают следующие правильные функции. Тем
подуровням, которые не сдвинутся по сравнению с невозмущенной задачей, — состояния с
моментом
Сдвинутым состояниям — линейные комбинации состояний с
и проекциями
,
и
,
. (11)
(или любая их линейная комбинация).
и
.
4
Причем одному состоянию — сумма, другому — разность этих функций. Предлагаем
слушателям убедиться в этом самостоятельно.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика