Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
1
Модуль 4. Системы тождественных частиц
*
1 2 1 2 1 2 1 2
ˆ
if
dx dx x x V x x x x
12
ˆ
( , ,...)V x x
, 1 2
( , ,...)
if
xx
()Ux
22
12
2
ˆ
ˆ
( , ,...) ( ) ( )
2
aa
a a a
a
d
H x x U x h x
m
dx
a
ˆ
()
a
hx
i
E
i
f
ˆ
()
a
hx
()
k
fx
ˆ
()
a
hx
Лекция 4.5. Метод вторичного квантования: основная идея метода
При вычислении средних значений или вероятностей переходов квантовых систем,
состоящих из большого количества частиц, приходится вычислять квантовомеханические
средние или матричные элементы с многочастичными волновыми функциями. Т. е. вычислять
интегралы вида
, (1)
где
— оператор какой-либо физической величины, относящийся к рассматриваемой
многочастичной системе и действующий на функции координат всех частиц системы,
— волновые функции стационарных состояний системы, зависящие от координат
всех частиц и обладающие определенными свойствами симметрии относительно перестановок
координат, если частицы тождественные (симметричные для бозонов и антисимметричные для
фермионов). Удобным методом вычисления интегралов типа (1) для систем тождественных
частиц является метод вторичного квантования. Название метода связано с тем, что в рамках
метода рассматриваются волновые функции («квантовомеханические величины») в
представлении чисел заполнения, которые возникают при квантовании задачи. До сих пор мы
рассматривали волновые функции в представлении «классических величин» — координат,
импульсов и др. Отсюда — термин «вторичное квантование» в названии метода. Основная идея
метода заключается в следующем.
Рассмотрим квантовую систему, состоящую из большого числа тождественных
невзаимодействующих частиц, движущихся в некотором внешнем поле
.Гамильтониан
такой системы имеет вид
где индекс
нумерует частицы; гамильтониан
Стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом (2) допускает разделение переменных
и легко решается, если известны собственные значения
одночастичного гамильтониана
. Собственными функциями гамильтониана (2) являются
произведения собственных функций
принято называть одночастичным.
и собственные функции
одночастичного гамильтониана
, (2)
2
1 2, 1 2
, ... 1 2 1 2
( , ,...) ( ) ( )...
k k k k
x x f x f x
, (3)
1 2 1 2
...
...
k k k k
EE
i
k
i
k
i
k
1
k
2
k
i
k
i
k
n
1 2,
, ... 1 2
( , ,...)
kk
xx
i
k
12
12
, ,... 1 2 , ,... 1 2
( , ,...) ( , ,...)
kk
k k n n
x x x x
12
...
kk
nn
а также функции, отличающиеся от (3) перестановками аргументов и их произвольные
линейные комбинации, а собственными значениями — суммы соответствующих собственных
значений
. (4)
Здесь индексы
представляют собой набор квантовых чисел состояний одной частицы. В
системах тождественных бозонов допустимыми являются только симметричные линейные
комбинации функций вида (3), в системах фермионов — антисимметричные. Для бозонов
квантовые числа
принципу Паули) все квантовые числа
в выражениях (3), (4) могут повторяться, для фермионов (согласно
в выражениях (3), (4) различны. Об этой ситуации
говорят, что все фермионы находятся в различных одночастичных состояниях.
Очевидно, нужным образом симметризованная (для бозонов или фермионов) линейная
комбинация функций вида (3) определяет такое состояние системы тождественных частиц, в
котором одна частица (неизвестно какая благодаря тождественности) находится в состоянии с
квантовыми числами
и т. д. Назовем число частиц, которые находятся в одночастичном состоянии
заполнения этого одночастичного состояния и обозначим
, одна (тоже неизвестно какая) — в состоянии с квантовыми числами
, числом
. Из-за антисимметричности
волновых функций в системах тождественных фермионов введенные числа заполнения могут
принимать только два значения 0 и 1, в системах тождественных бозонов — любые целые
неотрицательные значения (не превосходящие, конечно, числа частиц в системе). Поскольку
набор всех чисел заполнения однозначно определяет собственную функцию
, в
качестве индексов у собственных функций гамильтониана (2) можно указывать не квантовые
числа состояний
, в которых находятся частицы, а числа заполнения всех одночастичных
состояний
. (5)
При этом сумма всех чисел заполнения
равна полному числу частиц в системе. По
своему построению волновые функции (5) описывают такие состояния системы тождественных
частиц, в которых числа заполнения одночастичных состояний имеют определенные значения
(здесь и далее состояния с определенными значениями чисел заполнения я буду обозначать
заглавной греческой буквой
). При этом, если взять суперпозицию состояний с разными
3
числами заполнения, то согласно постулатам квантовой механики такая функция будет
12
( , ,...)xx
12
, ,..., ,...
i
n n n
12
( , ,...)xx
12
12
1 2 1 2 , ,... 1 2
, ,...
( , ,...) ( , ,...) ( , ,...)
nn
nn
x x C n n x x
12
( , ,...)C n n
12
, ,... 1 2
( , ,...)
nn
xx
12
( , ,...)C n n
12
( , ,...)xx
12
, ,...nn
12
( , ,...)C n n
1
0,1,2,...n
2
0,1,2,...n
12
, ,...nn
12
( , ,...)xx
описывать состояние, в котором с определенными вероятностями могут быть обнаружены числа
заполнения, отвечающие состояниям-слагаемым. Перебирая все возможные значения чисел
заполнения в (5) (при фиксированной их сумме, которая равна числу частиц в системе), мы
перечислим все собственные функции оператора Гамильтона для этой системы частиц, то есть
построим полную систему функций в пространстве состояний данной системы тождественных
частиц.
Рассмотрим теперь волновую функцию
произвольного состояния (не
обязательно стационарного) рассматриваемой системы тождественных частиц. Так как функции
(5) для всех возможных значений чисел заполнения
функция
может быть разложена в ряд по этой системе
образуют полную систему, то
(6)
где
— коэффициенты разложения, суммирование проводится по всем возможным
значениям чисел заполнения всех одночастичных состояний. Поскольку собственные функции
описывают состояния с определенными значениями чисел заполнения, то
согласно постулатам квантовой механики квадрат модуля коэффициента
вероятность того, что в состоянии
соответственно
Поэтому согласно логике определения волновой функции в различных
представлениях функция чисел заполнения
числа заполнения состояний 1, 2, ... равны
представляет собой волновую функцию
определяет
квантовой системы в представлении чисел заполнения или вторичноквантованную волновую
функцию (ср. с определением волновой функции в импульсном представлении). Аргументами
функции являются целые неотрицательные целые числа: первым аргументом — число
заполнения одночастичного состояния 1, которое может принимать значения
вторым — число заполнения одночастичного состояния 2, которое может принимать значения
и т. д. Другими словами, аргументами вторичноквантованных волновых функций
являются дискретные переменные
собственных функций гамильтониана, то есть описывает состояние с определенными
значениями чисел заполнения, то в сумме (6) представлено только одно слагаемое с единичным
коэффициентом, и, следовательно, в пространстве чисел заполнения такому состоянию отвечает
). Если функция
,
совпадает с одной из
4
функция
12
( , ,...)C n n
12
, ,...nn
12
( , ,...)xx
12
2
12
, ,...
( , ,...) 1
nn
C n n
12
*
1 2 1 2
, ,...
, ( , ,...) ( , ,...)
nn
C C C n n C n n
,
1 2 1 2
1 2 1 2
12
*
1 2 , ,... 1 2 1 2 , ,... 1 2
, ,... , ,...
*
1 2 1 2
, ,...
, ( , ,...) ( , ,...), ( , ,...) ( , ,...)
( , ,...) ( , ,...) , ,
n n n n
n n n n
nn
C n n x x C n n x x
C n n C n n C C
C
12
, ,... 1 2
( , ,...)
nn
xx
i
12
( , ,...)C n n
12
2
12
, ,...
( , ,...)
ii
nn
n n C n n
, равная единице только для одного набора аргументов
нулю для всех остальных значений аргументов.
, и равная
Из условия нормировки функции
(6) и ортонормированности функций с
определенными значениями чисел заполнения следует условие нормировки
вторичноквантованных волновых функций
(7)
которое отражает тот факт, что сумма вероятностей различных значений чисел заполнения
равна единице. В (7) суммирование проводится по всем возможным значениям чисел
заполнения всех одночастичных состояний. Отсюда следует, что скалярное произведение
вторичноквантованных волновых функций нужно определить так
(8)
Очевидно, скалярное произведение двух волновых функций любых состояний системы
тождественных частиц
можно вычислять, используя как координатные, так и
вторичноквантованные волновые функции этих состояний
где
и C — вторичноквантованные волновые функции состояний и
использована ортонормированность функций
Поскольку вторичноквантованная волновая функция определяет вероятности различных
значений чисел заполнения, с ее помощью можно найти средние значения любых функций
чисел заполнения, например, среднее число заполнения некоторого одночастичного состояния
в состоянии системы частиц, которое описывается вторичноквантованной волновой функцией
:
Если найти выражения для операторов физических величин в представлении чисел заполнения,
то аналогичным образом можно вычислять и любые средние. При таких вычислениях нигде не
нужно следить за симметрией волновых функций — эта симметрия уже учитывается выбором
(10)
. (В (10)
).
. (9)
5
правильного базиса — функциями с определенными значениями чисел заполнения. По
сравнению с вычислением соответствующих интегралов в координатном представлении такой
метод существенно упрощает вычисления и, кроме того, позволяет вычислять скалярные
произведения функций с разным числом частиц (что невозможно сделать в координатном
представлении).
В рамках метода вторичного квантования дается рецепт построения операторов любых
физических величин в представлении чисел заполнения, и формулируются правила вычисления
средних в этом представлении. Кроме того, язык чисел заполнения является более адекватным
описанию тождественных частиц, поскольку в этом методе (в отличие от координатного
представления) не возникает понятий — первая частица, вторая частица и т. д., поскольку в
этом языке не возникает понятий «первая частица», «вторая частица» и т. д.
1
Модуль 4. Системы тождественных частиц
ˆ
i
a
ˆ
i
a
ˆ
i
a
i
n
i
ˆ
i
a
1
ii
nn
i
n
ˆ
i
a
1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., 1,...
ˆ
ii
i n n n i n n n
an
ˆ
i
a
i
ˆ
i
a
i
ˆ
i
a
ˆ
i
a
ˆ
i
a
12
, ,..., 1,...
i
n n n
1 2 1 2
, ,..., 1,... , ,..., ,...
ˆ
,
ii
n n n i n n n i
an
1 2 1 2
, ,..., 1,... , ,..., ,...
ˆ
,
ii
i n n n n n n i
an
Лекция 4.6. Метод вторичного квантования. Бозонный случай
Для построения операторов физических величин в представлении чисел заполнения
вводятся специальные операторы
функции. Для бозонов оператор
определенным значением числа заполнения
уменьшает число заполнения этого состояния на единицу
на
. Другими словами, при действии оператора
и
, действующие на вторичноквантованные волновые
определяется следующим образом: действуя на функцию с
одночастичного состояния
, оператор
и умножает эту функцию
на любую базисную функцию метода
вторичного квантования получается другая базисная функция, отвечающая на единицу
меньшему числу заполнения
. (1)
Т. е. действии оператора
на волновую функцию состояния с определенными значениями
чисел заполнения получается также состояние с определенными значениями чисел заполнения,
в котором, однако, число заполнения
заполнения других одночастичных состояний не меняются. Поэтому оператор
оператором уничтожения частицы в
-го одночастичного состояния меньше на единицу; числа
называется
-ом одночастичном состоянии и связывает волновые
функции состояний с разным числом частиц, которые, отметим, в координатном представлении
имеют разное число аргументов. Поэтому введение операторов
и
(см. ниже) требует
введения пространства состояний системы тождественных частиц, в котором число частиц не
определено. Элементами этого пространства являются функции с разным числом переменных (в
координатном представлении), скалярное произведение которых по определению равно нулю.
Введенные операторы
равенство (1) на функцию
(10) не являются эрмитовыми. Действительно, умножая скалярно
, получим
. (2)
Используя определение сопряженного оператора, в скалярном произведении (2) можно
перенести оператор на вторую функцию
. (3)
Отсюда заключаем
2
1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., 1,...
ˆ
1
ii
i n n n i n n n
an
, (4)
ˆ
i
a
1
i
n
ˆ
i
a
12
, ,...nn
ˆ
i
a
ˆ
j
a
ˆˆ
, 0,
ˆˆ
, 0,
ˆˆ
,,
ij
ij
i j ij
aa
aa
aa
ˆ
i
a
ˆ
j
a
ˆ
i
a
ˆ
j
a
ˆ
i
a
ˆ
j
a
ij
ij
ˆˆ
ij
aa
i
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 , ,... 1 2 , ,...
, ,... , ,...
ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ,...) ( , ,...) 1
i j i j n n i j n n
n n n n
a a C n n a a C n n n n
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 , ,... 1 2 , ,...
, ,... , ,...
ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ,...) ( , ,...) 1
j i j i n n i j n n
n n n n
a a C n n a a C n n n n
ij
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 , ,... 1 2 , ,...
, ,... , ,...
ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ,...) ( , ,...)( 1)
i i i i n n i n n
n n n n
a a C n n a a C n n n
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 , ,... 1 2 , ,...
, ,... , ,...
ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ,...) ( , ,...)
i i i i n n i n n
n n n n
a a C n n a a C n n n
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 , ,... 1 2 , ,...
, ,... , ,...
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ,...) ( , ,...)
i i i i i i i i n n n n
n n n n
a a a a C n n a a a a C n n
т. е. оператор, сопряженный оператору
состояния на единицу (и возникает множитель
повышает число заполнения одночастичного
). Поэтому оператор
называется
оператором рождения частицы в одночастичном состоянии i. Из определений бозонных
операторов рождения и уничтожения и того факта, что система функций
при различных
значениях чисел заполнения образует базис в пространстве функций системы тождественных
частиц можно получить следующие коммутационные соотношения для операторов
и
(5)
то есть операторы
операторы
и
коммутатор равен единице. Действительно, действие, например, пары операторов
и
(а также
и
коммутируют, если
) коммутируют для любых значений индексов;
, и не коммутируют, если
, причем их
при
разных значениях индексов
и j на любую функцию можно записать так
, (6)
а в обратном порядке — так
. (7)
Т. е. получаются одинаковые функции. Если же
вместо (6), (7) получим
, (8)
. (9)
Вычитая функцию (9) из функции (8), получим
, (10)
откуда и следует последнее из коммутационных соотношений (5). Аналогично доказываются и
другие коммутационные соотношения.
С помощью операторов рождения и уничтожения можно определить операторы чисел
заполнения одночастичных состояний и числа частиц в системе. Легко проверить, что волновые
3
функции любых состояний с определенным числом заполнения одночастичного состояния
i
ˆˆ
ii
aa
i
n
1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., ,...
ˆˆ
ii
i i n n n i n n n
a a n
ˆ ˆ ˆ
i i i
n a a
ˆ
ˆˆ
ii
i
N a a
12
ˆˆ
( , ,...) ( )
a
a
V x x V x
a
12
ˆ
ˆˆ
( , ,...)
ij i j
ij
V n n V a a
ij
V
ˆ
()
a
Vx
()
i
x
12
( , ,...)xx
ˆ
,EH
12
ˆ
ˆ
( , ,...) ( )
a
a
H x x h x
(и
только они) являются собственными функциями оператора
значению
:
, отвечающими собственному
. (11)
Поэтому оператор
является оператором числа заполнения одночастичного состояния i.
Аналогично доказывается, что оператор
, (12)
где сумма распространяется на все одночастичные состояния, является оператором числа частиц
в системе.
Операторы физических величин в представлении чисел заполнения могут быть
выражены через операторы рождения и уничтожения частиц. Эти выражения таковы. Если
оператор некоторой физической величины представляет собой сумму одинаковых операторов,
каждый из которых действует на координату только одной частицы
(13)
(индекс
нумерует частицы системы), то в представлении чисел заполнения этот оператор
имеет вид
, (14)
где
— матричный элемент оператора
с одночастичными волновыми функциями
суммирование проводится по всем одночастичным состояниям. Операторами типа (13)
являются операторы любых аддитивных величин — импульса системы частиц, момента
импульса системы, кинетической энергии системы и т. д.
Используем формулу (14) для операторов в представлении чисел заполнения для
вычисления средних. Пусть, например, система невзаимодействующих частиц находится в
состоянии с волновой функцией
состоянии
, проводя вычисления в представлении чисел заполнения. Для этого
. Найдем среднюю энергию системы в этом
найдем гамильтониан в представлении чисел заполнения. Из формул (13)–(14) получаем
, (15)
,
4
где
ˆ
()
a
hx
**
ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ij i j i j j j ij
h x h x x dx x x dx
j
ˆ
ˆˆ
i i i
i
H a a
1 2 1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., ,... , ,..., ,...
ˆ
ˆˆ
i i i
n n n i i i n n n i i n n n
ii
H a a n
ii
i
En
12
,
1
ˆˆ
( , ,...) ( )
2
ab
ab
V x x V x x
1 2 ,
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ,...)
2
ij kl i j k l
ijkl
V n n V a a a a
,ij kl
V
ˆ
()
ab
V x x
— одночастичный гамильтониан. Учитывая, что базисом нашей задачи являются его
же собственные функции, получим
(16)
(
— одночастичные энергии). Поэтому для гамильтониана системы невзаимодействующих
частиц в представлении чисел заполнения получаем
. (17)
Далее. Для состояний с определенными значениями чисел заполнения имеем
. (18)
Из формулы (17) следует, что функция (17) является собственной функцией гамильтониана
системы и, следовательно, является состоянием с определенной энергией
. (19)
Формула (17) имеет простой физический смысл: в системах тождественных
невзаимодействующих частиц в состояниях с определенными значениями чисел заполнения
одночастичного гамильтониана системы энергия складывается из энергий частиц, занимающих
определенные одночастичные состояния. Важно отметить, что при вычислениях нам не нужно
было следить за симметрией волновой функции — она автоматически учитывается
коммутационными соотношениями для операторов рождения и уничтожения частиц.
Для операторов, представляющих собой сумму слагаемых, каждое из которых действует
на координаты сразу двух частиц (например, для оператора потенциальной энергии
взаимодействия частиц)
, (20)
в представлении чисел заполнения имеют место следующие соотношения
, (21)
где
— матричный элемент оператора
с одночастичными волновыми функциями,
суммирование проводится по всем одночастичным состояниям. Технически вычисление
матричных элементов и средних от оператора (21) проводится абсолютно так же, как и для
оператора (14).
1
Модуль 4. Системы тождественных частиц
1 2 1 2
1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., 1,...
, ,..., ,... , ,..., 1,...
ˆ
,
ˆ
1.
ii
ii
i n n n i n n n
i n n n i n n n
an
ˆˆ
ii
aa
i
ˆ
i
a
ˆ
i
a
ˆˆ
, 0,
ˆˆ
, 0,
ˆˆ
,,
ij
ij
i j ij
aa
aa
aa
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,A B AB BA
ˆ
A
ˆ
B
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
i i i i
a a a a
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i i i i i i
a a a a a a
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1
i i i i i i i i i i i i i i i i
a a a a a a a a a a a a a a a a
Лекция 4.7. Метод вторичного квантования. Фермионный случай
Вся принципиальная сторона вычисления средних и матричных элементов в системах
тождественных фермионов проводится так же, как и в системах бозонов с небольшой разницей
в определении операторов рождения и уничтожения частиц. Эти операторы должны быть
определены так, чтобы определяемые ими функции были антисимметричными при
перестановке аргументов. Для этого в определение операторов рождения и уничтожения
(лекция 4.6, формулы (1), (4)) вводятся определенные фазовые множители
(1)
В результате получается, что оператор
заполнения одночастичного состояния
по-прежнему является оператором числа
, а вот перестановочные соотношения (5) из
предыдущей лекции 4.6 изменяются. Для фермионных операторов рождения и уничтожения
и
справедливы соотношения, похожие на соотношения (5) в лекции 4.6, но коммутаторы
нужно заменить на антикоммутаторы
(2)
где
обозначает антикоммутатор операторов
и
. Докажем перестановочные
соотношения (2). Для этого убедимся, что для операторов, удовлетворяющих равенствам (2),
справедливо соотношение
. (3)
Раскрываем левую часть формулы (3)
и, пользуясь последним из соотношений (2), получаем
(4)
. (5)
Соседние файлы в предмете Квантовая механика