Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
1
Модуль 1. Квазиклассическое приближение
( ) 0kx
()E U x
()Ux
()Ux
xb
( ) = ( ) ( ) = ( )
b
U
U x U b x b E F x b
x
22
2
()
( ) ( ) = 0
2
d f x
F x b f x
m dx
Лекция 1.4. Условия сшивки квазиклассических функций
Функции (9), (10) являются хорошими приближениями для решений дифференциального
уравнения (1) при любой фиксированной энергии E, если параметр квазиклассичности мал.
Следует, однако, иметь в виду, что параметр квазиклассичности зависит от координаты, и
потому возможны ситуации, когда при некоторых значениях координаты квазиклассические
функции являются хорошими приближениями для истинных решений уравнения Шредингера,
при некоторых — нет. В частности очевидно, что квазиклассика не работает в окрестности
таких точек, где
, или
. Для классического движения эти точки являются
точками остановки. Поэтому решения уравнения (1) в классически запрещенной и классически
доступной областях (границей между которыми и является точка остановки) нельзя «сшивать» в
точке остановки, используя сами функции (9), (10). Другими словами, для согласованного
выбора коэффициентов в функциях (9), (10), которые являются хорошими приближениями для
истинных решений в разных областях квазиклассичности вдали от точек остановки, нельзя
использовать квазиклассические функции (9), (10) в точках остановки. Существует два способа
«сшивки» квазиклассических функций.
Первый способ. В окрестности точки поворота линеаризуем функцию
(приближенно; другие слагаемые ряда Тейлора для
сделать в достаточно малой окрестности точки
):
мы выбрасываем, что всегда можно
. (1)
Подставим функцию (1) в уравнение Шредингера:
Мы получили уравнение, решением которого является известная в математике функция
Эйри. Используя это решение можно осуществить следующую процедуру «сшивки»
квазиклассические функции слева и справа от классической точки поворота. На той границе, где
перестает работать квазиклассика, но работает линейное приближение для потенциала,
квазиклассическое решение «сшивается» с функцией Эйри, которая затем на второй границе
этой окрестности «сшивается» с квазиклассическим решением. В результате получается
«сшивка» квазиклассических функций слева и справа от точки остановки. Конечно, такой
. (2)
2
способ сшивки квазиклассических функций работает, если окрестности точки остановки, где
xb
( ( ))E U x
xb
()E U x
xb
()E U x
xb
xb
xb
| ( )|
( ) =
| ( ) |
x
b
k x dx
C
f x e
kx
xb
<xb
( ) ( )
12
( ) =
( ) ( )
xx
i k x dx i k x dx
bb
CC
f x e e
k x k x
<xb
1
C
2
C
C
()Ux
( ( ) )U x E
( ) ( ( ))
i
U x E E U x e
<xb
/2 2
| ( ) | 2 ( ( )) /
i
k x e m E U x
работает квазиклассика и линейное приближение для потенциала, пересекаются.
Второй способ. Пусть
а при
от точки
, там, где работает квазиклассическое приближение, затухающее от точки
(«правая» точка поворота). При
— нуль функции
, причем пусть при
на достаточно больших расстояниях
квазиклассическое решение уравнения Шредингера имеет вид:
При
, квазиклассическое решение уравнения имеет вид:
Условие сшивки должно позволить нам связать постоянные
,
. (3)
,
и
. (4)
с постоянной
, при этом
функции (3) и (4) заданы в непересекающихся друг с другом областях. Но если функция
— аналитическая функция своего аргумента в окрестности точки остановки, то можно
,
рассмотреть аналитическое продолжение уравнения Шрединегера и его решений в
комплексную плоскость координаты. Тогда вычисления, аналогичные проделанные в
предыдущих разделах этого модуля курса, покажут, что квазиклассические решения работают и
при комплексных координатах не слишком близко к точкам остановки. А это значит, что
квазиклассические решения (3) и (4) можно связать друг с другом, обходя точку остановки в
комплексной плоскости координаты (т.е. нигде не подходя к этой точке так, что
квазиклассическое приближение перестает работать) и везде используя сами квазиклассические
функции.
Практически это делается так. Когда мы перейдем из классически запрещенной в
классически доступную область, меняется знак функции
. Если мы совершаем обход
в верхней полуплоскости, то
. (5)
Тогда при
, (6)
и, следовательно,
3
()
/4
()
2 ( )
x
b
i k x dx
i
C
f x e
e k x
. (7)
/4
2
=
2
i
C
Ce
/2 2
()
/4
( ) ( ( )) ,
| ( ) | 2 ( ( ) / ,
( ) .
2 ( )
x
b
i
i
i k x dx
i
U x E E U x e
k x e m E U x
C
f x e
e k x
/4
1
=
2
i
C
Ce
| ( )|
( ) =
| ( ) |
x
b
k x dx
C
f x e
kx
2
( ) = cos ( )
4
()
b
x
C
f x k x dx
kx
xb
xb
xb
xa
Мы получили второе слагаемое решения (4). При этом:
. (8)
Если обход совершать через нижнюю полуплоскость:
(9)
Отсюда находим вторую константу:
. (10)
Мы получали при обходах через разные полуплоскости разные решения только потому,
что наше решение — асимптотически приближенное, а не точное. Проходя через верхнюю
полуплоскость, мы получаем то решение, которое в ней является экспоненциально растущим, а
второе — экспоненциально малое, — не замечаем на фоне главного. Для нижней
полуплоскости — наоборот. Таким образом, мы получаем, что функции
(11)
и
(12)
являются приближенными квазиклассическими представлениями одного и того же решения
уравнения Шредингера справа (при
) и слева (при
) от классической точки остановки
. При этом ключевыми словами в этом предложении являются слова «одного и того же
решения уравнения Шредингера».
Для «левой» точки поворота
аналогичные рассуждения приводят к условиям сшивки
затухающего в классически запрещенной области и осциллирующего в классически
запрещенной области решений:
4
()
,;
| ( ) |
( ) =
2
cos ( ) , .
4
()
a
x
k x dx
x
a
C
e x a
kx
fx
C
k x dx x a
kx
Условие (13) означает, что функции
()
2 | ( ) |
a
x
k x dx
C
e
kx
xa
2
cos ( )
4
()
x
a
C
k x dx
kx
xa
xa
xa
xa
(13)
при
(14)
и
при
(15)
являются приближенными квазиклассическими представлениями одного и того же решения
уравнения Шредингера слева (при
) и справа (при
) от классической точки остановки
. При этом ключевыми словами в этом предложении являются слова «одного и того же
решения уравнения Шредингера».
Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют
получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального
уравнения) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Мы
рассмотрим их на следующей лекции.
1
Модуль 1. Квазиклассическое приближение
()EU
2
( ) ( ) ( ) 0f x k x f x
2
2
2 ( )
()
m E U x
kx
()aE
()bE
( ) ( )a E b E
()x b E
()x a E
2
()kx
( ) ( )a E x b E
()x a E
1
( ) exp | ( ) |
| ( ) |
x
a
C
f x k t dt
kx
( ) ( )a E x b E
23
( ) sin ( ) cos ( )
( ) ( )
xx
aa
CC
f x k t dt k t dt
k x k x
()x b E
4
( ) exp | ( ) |
| ( ) |
x
b
C
f x k t dt
kx
()aE
()bE
1
2
( ) cos ( )
4
()
x
a
C
f x k t dt
kx
Лекция 1.5. Правило квантования Бора—Зоммерфельда
Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках остановки позволяют полу-
чить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не через решения дифференциальных уравне-
ний) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Рассмот-
рим решение уравнения Шредингера при некоторой энергии E, при которой могут существо-
вать стационарные состояния дискретного спектра (
).
, (1)
где
. (2)
Обозначим классические точки остановки для классической частицы с этой энергией как
и
но). Тогда при
(для определенности
и
величина
— левая и правая точки остановки соответствен-
отрицательна, при
— поло-
жительна. Поэтому квазиклассические решения уравнения Шредингера в этих областях имеют
вид
. (3)
. (4)
В качестве нижних пределов интегрирования в этих формулах выбраны левая и правая точки
остановки соответственно. В формулах (3), (5) оставлены только затухающие на обеих беско-
нечностях функции. Функции (3)–(5) являются хорошими приближениями для ограниченных
решений уравнения Шредингера вдали от точек остановки
Согласно условиям сшивки функция (3) слева от ямы переходит внутри ямы в следующую функцию (4) внутри ямы
. (5)
и
.
. (6)
2
Аналогично, функция (5) справа от ямы переходит в следующую функцию (4) внутри ямы
4
2
( ) cos ( )
4
()
b
x
C
f x k t dt
kx
n
( ) ( )
44
bx
xa
k t dt k t dt n
0,1,2,...n
( ) , 0,1,2,...
2
b
a
k t dt n n
()kt
()aE
()bE
()E U x
2
2
k
k
/k k l
()
b
a
k t dt kl
2
2
2 2 2
11k
kn
kl
. (7)
Поэтому решение уравнения Шредингера, одновременно затухающее и справа, и слева от ямы
(т. е. отвечающее дискретному собственному значению), существует, если функции (6) и (7)
внутри ямы совпадают или отличаются знаком. Для этого аргументы косинусов могут отличать-
ся на
. Отсюда (учитывая, что косинус — четная функция координаты), получим
. (8)
где
. Отсюда
. (9)
Соотношение (9) выполняется только при определенных значениях энергии E, входящей в
функцию
остановки при данной энергии
в подынтегральной функции и в пределы интегрирования — классические точки
и
, которые определяется из уравнения
(10)
Поэтому уравнение (9) определяет энергии стационарных состояний дискретного спектра и
называется правилом квантования Бора—Зоммерфельда.
Обсудим вопрос о точности правила квантования. Вся вышеприведенная логика работа-
ет, если внутри ямы справедливо квазиклассическое приближение, причем точность определе-
ния энергий определяется точностью квазиклассических функций внутри ямы. Другими слова-
ми, точность правила квантования определяется квадратом параметра квазиклассичности
внутри ямы. Оценивая производную
и используя правило квантования, из (11) найдем точность правила квантования
(11)
(l — характерный размер ямы), интеграл
,
. (12)
3
Из формулы (12) следует, что правило квантования лучше работает для больших квантовых чи-
2
1/
E
/
l l mE
S ET E E l kl n
v
Em
2
22
1
nS
сел. При этом даже для самых маленьких квантовых чисел из-за множителя
правило кван-
тования должно давать десятипроцентную точность.
Точность правила квантования можно оценить и в физических терминах. Оценим клас-
сическое действие для частицы с энергией
.
Следовательно, точность правила квантования (12) определяется отношением постоянной
Планка к классическому действию для частицы
.
Другими словами, чем больше характерное действие частицы постоянной Планка, тем лучше
работает правило квантования.
1
Модуль 1. Квазиклассическое приближение
22
()
2
mx
Ux
( ) , 0,1,2,...
2
b
a
k t dt n n
()kx
1
( ) 2 ( )k x m E U x
a
E
22
2
2
( ) 1
2
bb
aa
mE m t
k t dt dt
E
2
ω
2
m
zt
E
2
1 z dz
1
1
2
1
2
( ) , 0,1,2,... 1 , 0,1,2,...
22
b
a
E
k t d n n z dz n n
cosz
1
2
1
12z dz
1/ 2
n
En
0,1,2,...n
Лекция 1.6. Пример использования правила квантования. Число квантовых состояний
Давайте рассмотрим пример использования правила квантования. Найдем с его помощью
уровни энергии линейного гармонического осциллятора. Итак, пусть
.
Найдем с помощью правила квантования
(1)
энергии дискретных собственных состояний осциллятора. Напомню, что функция
правиле квантования (1) есть
,
а
и b — координаты классических точек остановки частицы при энергии
вычисляем интеграл
.
Далее делаем замену
.
Тогда подынтегральная функция сводится к
обращать эту функцию в нуль, т.е. будут равны
. В результате правило квантования (1) дает
, а пределы интегрирования должны
в
. Итак,
. (2)
Интеграл в (2) легко вычисляется с помощью тригонометрической замены (
.
Поэтому из (2) получаем энергии дискретных собственных состояний
,
.
То обстоятельство, что квазиклассическое правило квантования дало для осциллятора точный
результат, связано с тем, что и для больших, и для малых квантовых чисел точное выражение
):
2
осцилляторных собственных энергий пропорционально
1/ 2n
()U x x
0
1/3
22
0
0,8088E
m
1/3
22
0
0,8853E
m
1/3
22
1
1,856E
m
1/3
22
1
1,842E
m
1/3
22
2
2,578E
m
1/3
22
2
2,589E
m
1
( ) = 2
2
p x dx n
( ) 2 ( )p x m E U x
()aE
()bE
()bE
()aE
n
E
E
1/ (2 )
, а для больших квантовых чисел
квазиклассический результат должен совпасть с точным. Для других потенциалов
квазиклассический результат не будет совпадать с точным, и для потенциалов, допускающих
точное решение уравнения Шредингера можно проследить, как квазиклассический результат
стремится к точному.
Например, в потенциале
(
) дискретные состояния могут быть найдены
точно и квазиклассически с помощью правила квантования. Результаты (для нескольких первых
уровней энергии) таковы:
Точное решение Правило квантования
…………………… ………………………
Для основного состояния — десятипроцентная точность, для первого возбужденного 1,5 % и
далее точность улучшается.
Кроме непосредственных вычислений энергий дискретных состояний правило
квантования Бора—Зоммерфельда позволяет находить число дискретных состояний системы с
энергией, меньшей заданной. Это можно сделать так. Из правила квантования имеем
(мы записали правило квантования через классический импульс
проинтегрировали в «двух направлениях» — от
(2) число
квантовых состояний с энергией, меньшей E, а сам интеграл представляет собой (по
определению) — объем фазового пространства для частицы, имеющей энергию
формулы (2) следует, что число состояний системы с энергией, меньшей заданной энергии
пропорционально объему фазового пространства системы при данной энергии. А коэффициент
пропорциональности —
(2)
до
и от
до
). В формуле
— номер уровня с энергией, равной E. С другой стороны — это число равно числу
. Поэтому из
. Или
и
,
3
( ) 2 ( )
= = число связанных состояний с энергией, меньшей
22
p x dx m E U x dx
E
. (3)
()p x dx
2
3
2
Поскольку интеграл
(3) следует, что на объем фазового пространства величиной
состояние. В трехмерном случае одно квантовое состояние приходится на ячейку фазового
пространства объемом
определяет фазовый объем системы при энергии E, из формулы
приходится одно квантовое
.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика