Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
4
квантовой системы — процесс вероятностный, а для периодической функции, за время,
kn
kn
1/4
1/4
cos t
ˆˆ
( ) ( )
i t i t
V x e V x e
1/4
kn
kn
2
12
4
kn
kn k n
w
V
T
содержащее много периодов, вероятность и должна быть пропорциональна времени.
Вероятность перехода отлична от нуля, если аргумент дельта-функции равен нулю. Или
.
Конечно, через дельта-функцию не может выражаться наблюдаемая величина (вероятность),
поэтому формула (9) требует «снятия» дельта-функции с помощью интегрирования (по энергии
начального или конечного состояния или частоты возмущения). В следующих лекциях мы
рассмотрим пример такого рода.
Формулу (9) (без множителя
) впервые вывел Энрико Ферми, и потому формула (9)
называется формулой (или «золотым правилом») Ферми. Множитель
того, что возмущение зависело от времени как
. Ферми писал для возмущения
, поэтому наша формула отличается от формулы Ферми на множитель
когда
Мы рассмотрели случай, когда
(переход с увеличением энергии), все для вероятности перехода формулы
— переход с уменьшением энергии. В случае,
сохраняются, только меняется знак в аргументе дельта-функции
. (10)
у нас возник из-за
.
1
Модуль 3. Квантовые переходы
ˆ ˆ ˆ
=
i t i t
V Fe F e
=
n
(1)
m
a
()
(1)
0
1 ( 1)
= = =
()
)
exp 2sin
22
=.
()
it
t
n
i t i t
n
n n n
n
nn
n
n
ie
a F e dt F
F i t t
2
2
(1) 2
2
2
sin
||
2
| ( ) | =
2
n
n
nn
n
t
F
w a t d d
=
2
n
2
2
(1) 2
22
||
sin ( )
| ( ) | =
n
n
F
t
at
t
2
2
sin ( )
lim = ( )
tt
2
2
||
= 2 ( )
n
nn
F
w t E E d t
Лекция 3.6. Переходы в непрерывный спектр
Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных
состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда
электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как
(здесь явно учтена эрмитовость возмущения)
. (1)
Так как спектр конечных состояний непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности
удовлетворяющая условию
, (2)
и, следовательно, переход всегда будет. В выражении для
Вероятность перехода за время t равна:
оставляем только:
(3)
. (4)
Вводим
. Тогда:
. (19)
Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных
колебаний системы. Рассмотрим
.
. (20)
Поэтому
. (21)
2
И, следовательно, вероятность перехода в единицу времени есть
22
22
= | | ( ) | |
n n En
dw
F E E d F
t
En
F
n
EE
Причем при вычислении матричных элементов
спектра с определенной энергией
, нормированные на дельта-функцию от энергии.
. (22)
используются состояния непрерывного
1
Модуль 3. Квантовые переходы
1/ T
nk
kn
kn
nk
nk
k
nk
kn
ˆ ˆ ˆ
( ) = .
i t i t
V t Fe F e
/
n k nk
=nk
n
f
k
f
00
ˆˆ
= , = .
n n n k k k
H f f H f f
Лекция 3.7. Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное
приближение
В лекции 3.5 мы доказали, что если частота возмущения лежит в узком интервале
частот
вблизи частоты, равной
или
, то вероятность перехода
существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием
возмущения с частотой, вне этого интервала. Причем этот интервал тем ýже, чем больше время
действия возмущения. Другими словами, при фиксированной частоте возмущения
квантовая
система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния n, энергии
которых определяется соотношением
или
, где
— энергия
начального состояния. Переходы в состояния с другими энергиями под действием
периодических возмущений маловероятны. При этом, если выполняются строгие равенства
, вероятность перехода
при достаточно больших T может стать большой, и
для ее вычисления теория возмущений может оказаться неприменимой.
В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным.
Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода
между двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить
только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции
,
системы по волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь.
Итак, пусть
(1)
и частота
равна частоте перехода
между двумя состояниями n и k в
системе:
. (2)
Для волновых функций
и
стационарных состояний n и k справедливо
стационарное уравнение Шредингера:
(3)
В соответствии с главной идеей резонансного приближения будем искать решения временного
уравнения Шредингера
2
0
ˆˆ
= ( )i H V
t
(4)
n
f
k
f
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
nk
i t i t
n n k k
x t a t e f x a t e f x
( , )xt
n
a
k
a
0t
k
n
a
k
a
( 0) 0
n
at
( 0) 1
k
at
ˆˆ
=
n k n k
i t i t i t i t
nk
n k n n k k
da da
i e f i e f a e Vf a e Vf
dt dt
n
f
k
f
( ) ( ) ,
( ) ( ),
nk
nk
it
n
n nn k nk
it
k
n kn k kk
da
i a V t a V t e
dt
da
i a V t e a V t
dt
()
qr
Vt
*
ˆ
( ) ( ) ( , ) ( ), , ,
qr q r
V t dxf x V x t f x q r k n
n
a
*
()
i t i t
nn nn nn
V t F e F e
k
a
()
* * 2
()
nk nk
i t i t
it
nk nk kn nk kn
V t e F F e F F e
в виде разложения только по функциям
и
. (5)
Обратите внимание, разложение функции
содержит только два слагаемых, а не всю
полную систему собственных функций невозмущенного гамильтониана. Именно в этом и
состоит резонансное приближение — мы пренебрегаем возможностью перехода в другие
состояния кроме состояний n и k; а вот эти состояния будем учитывать точно. И из
коэффициентов выделены соответствующие временные экспоненты: если бы гамильтониан не
зависел от времени, то коэффициенты
Поскольку в начальный момент времени (
стационарном состоянии, для коэффициентов
и
не зависели бы от времени.
) система находилась в
и
справедливы следующие начальные
-ом
условия
,
.
Подставляя это выражение в уравнение (4), получим
. (6)
Умножая теперь равенство (6) скалярно сначала на
, потом на
и используя условия
ортонормированности этих функций, получим
(7)
где
— матричные элементы оператора возмущения
. (8)
Исследуем зависимость коэффициентов системы (7) от времени. Коэффициент перед
первом уравнении
. (9)
Коэффициент перед
в первом уравнении
в
. (10)
3
Коэффициент перед
n
a
()
* 2 *
()
nk nk
i t i t
it
kn kn nk kn nk
V t e F e F F e F
k
a
*
()
i t i t
kk kk kk
V t F e F e
nk
F
*
nk
F
*
,
.
n
k nk
k
n nk
da
i a F
dt
da
i a F
dt
k
a
2
2
22
nk
n
n
F
da
a
dt
( 0) sin
n
a t t
( 0) cos
k
a t t
/
nk
F
во втором уравнении
. (11)
Коэффициент перед
во втором уравнении
. (12)
Все слагаемые этих коэффициентов (за исключением двух) являются сильно осциллирующими
функциями времени. И потому при усреднении по интервалу времени, включающему
достаточно большое количество осцилляций, обращаются в нуль. А вот слагаемые
формуле (10) и
в формуле (11) от времени не зависят. В результате после усреднения по
в
времени система уравнений (7) дает
(13)
Дифференцируя первое уравнение по времени, и подставляя производную
из второго
уравнения, получим
. (14)
Уравнение (14) является уравнением гармонических колебаний, решение которого легко
находится. Используя также начальные условия, находим
,
Из формулы (15) следует, что система периодически (с периодом
. (15)
) переходит из
одного состояния в другое и обратно. Частота
называется частотой Раби.
1
Модуль 3. Квантовые переходы
0t
0
ˆ
H
k
()
k
x
0
( , 0) ( )exp
k
k
t
x t x i
()
k
x
k
0
ˆ
H
ˆ
V
0
( , )
ˆˆ
( , )
xt
i H V x t
t
0
ˆˆ
HV
( , 0) ( )exp
n
nn
n
Et
x t C f x i
()
n
fx
n
E
0
ˆˆ
HV
n
C
n
0
ˆˆ
HV
k
0
ˆ
H
0
ˆˆ
HV
2
k n n
wC
0t
Лекция 3.8. Переходы под действием мгновенно включающихся возмущений
Еще один случай, когда возможно простое решение нестационарной задачи (кроме
случая малых возмущений) — это случай внезапно включающихся возмущений, то есть
возмущений, которые включаются за очень короткое время и далее от времени не зависят.
Пусть до
находилась в
(
и
-ом стационарном состоянии
— собственная функция и собственное значение гамильтониана
момент мгновенно включается возмущение
система описывалась независящим от времени гамильтонианом
, то есть описывалась функцией
, которое от времени не зависит. Т. е. после
включения возмущения уравнение Шредингера имеет вид
при этом гамильтониан
от времени не зависит. Поэтому общее решение уравнения
Шредингера имеет вид
и
(1)
). Пусть в этот
, (2)
(3)
(
и
— собственные функции и собственные значения гамильтониана
коэффициенты
обнаружить квантовую систему в
следовательно, определяют вероятность перехода из
гамильтониана
Так как возмущение включается мгновенно, то за время включения волновая функция
системы не успевает измениться. Действительно, проинтегрируем уравнение (2) по бесконечно
малому интервалу
волновой функции в момент включения возмущения
определяют согласно постулатам квантовой механики вероятность
-ом стационарном состоянии гамильтониана
-го собственного состояния
в n-ое собственное состояние гамильтониана
:
. (4)
вблизи момента
. В левой части равенства получим «скачок»
), а
, и,
2
0
ˆˆ
( , ) ( , ) ( , )i x t x t H V x t dt
. (5)
0
ˆ
H
ˆ
V
0
( , 0) ( )
k
x t x
0t
0t
0
( , 0) ( , 0)x t x t
*
( ) ( ) ( ) ( )
k n n n n k
n
x C f x C f x x dx
*
()
m
fx
()
n
fx
2
*
( ) ( )
k n n k
w f x x dx
0
ˆ
H
0
ˆˆ
HV
ˆ
V
0
ˆˆ
HV
0
ˆˆ
HV
И если операторы
нуль при
меняется. А это значит, что функция
решения (3) в момент времени
и
являются конечными, то интеграл в правой части (5) обращается в
, и, следовательно, волновая функция в момент включения возмущения не
является начальным условием для
. Поэтому в момент времени
для волновой функции квантовой системы
и, следовательно,
Умножая правую и левую часть равенство (7) на функцию
ортонормированностью функций
, найдем вероятности переходов при мгновенном
включении возмущения
справедливо равенство
, (6)
. (7)
, интегрируя и пользуясь
. (8)
Из этого соотношения следует, что вероятность перехода под действием внезапных возмущений
определяется интегралами перекрытия собственных функций возмущенного и невозмущенного
гамильтонианов. Подчеркнем, что соотношение (8) позволяет находить вероятность перехода из
стационарного состояния одного гамильтониана (
включения возмущения) в стационарные состояния другого —
, который описывает квантовую систему до
, который описывает
квантовую систему после включения возмущения. Отметим также, что в отличие от формул
нестационарной теории возмущений оператор
собственные функции оператора
. Кроме того, поскольку при выводе формулы (8) не
вошел в конечное выражение неявно, через
использовалась малость возмущения (использовалась только мгновенность его включения),
вероятности переходов, вычисленные согласно формуле (8) могут быть сравнимыми с
единицей. По этой же причине вероятности, вычисленные по формуле (8) нормированы на
единицу. Действительно, сумма вероятностей перехода во все возможные состояния
гамильтониана
должна равняться единице, как сумма вероятностей полной группы
событий. С другой стороны, эта сумма дает
3
**
( ) ( ) ( ) ( )
k n n k n k
nn
w f x x dx f x x dx
Меняя местами порядки интегрирований и суммирования, получим
**
( ) ( ) ( ) ( )
k n k k n n
nn
w dxdx x x f x f x
()
n
fx
0
ˆˆ
HV
*
( ) ( ) = ( )
nn
n
f x f x x x
2
*
( ) ( ) ( ) ( ) 1
k n k k k
n
w dxdx x x x x dx x
3
H
3
He
3He
2
ˆ
/V e r
2
*
0 1 1 0
( ) ( )w f r r dr
0
()r
1
()fr
3
He
s
p
m
. (9)
. (10)
Используя условие полноты системы собственных функций
гамильтониана
(формула (4) лекции 1.6)
, (11)
получим из (9)
. (12)
Рассмотрим пример применения формулы (8). Ядро атома трития
основном состоянии испытывает
-распад, в результате которого один из нейтронов, входящих
, находившегося в
в состав ядра, превращается в протон, электрон и электронное антинейтрино. Две последние
частицы вылетают из ядра. Поэтому в результате
-распада количество протонов в ядре
увеличивается на единицу, а количество нейтронов уменьшается. Остаточным ядром является
. Считая, что
-распад происходит мгновенно и вылетевший электрон не взаимодействует с
оставшимся атомным электроном, найти вероятность того, что последний будет находиться на
втором энергетическом уровне водородоподобного иона
При
включению возмущения
-распаде ядра его заряд увеличивается на единицу, что эквивалентно мгновенному
. Так как по условию задачи распад происходит за бесконечно
.
малое время, для вычисления вероятности перехода можно воспользоваться формулой (8)
, (13)
где в качестве
трития (заряд ядра которого равен e), в качестве
находящегося на втором энергетическом уровне водородоподобного иона
следует взять волновую функцию электрона в основном состоянии атома
, волновую функцию электрона,
(заряд ядра 2e).
Второй энергетический уровень водородоподобного иона является четырехкратно
вырожденным, поскольку ему отвечают одна волновая функция с моментом, равным нулю (
состояние), и три волновых функции
числом
.
-состояний, отличающихся магнитным квантовым
-
4
Очевидно, вероятности перехода в
p
s
3
He
3
He
2
/
1
2
3
1
( ) , ,
ra
s
r e a
me
a
2
/
2
2
3
1
( ) 1 , .
2
ra
s
r
r e a
a me
a
01
128
729
w
3
10
-состояния равны нулю, так как интеграл (13) для
таких переходов равен нулю из-за ортогональности сферических функций. Поэтому в условиях
данной задачи возможен переход только в
-состояние. Вероятность перехода электрона с
первого энергетического уровня атома трития на второй энергетический уровень иона
определяется интегралом перекрытия волновой функции первого s-состояния в атоме трития и
второго s-состояния в ионе
. Эти волновые функции имеют вид:
(14)
(15)
Вычисление интеграла (13) с функциями (14), (15) дает
. (16)
В заключение отметим, что при вычислении вероятности перехода предполагалось, что
вылетевший из ядра электрон не взаимодействует с атомным электроном, а действующее на
него возмущение связано только с изменением заряда ядра. Это приближение является
хорошим, если энергия вылетевшего из ядра электрона много больше энергии атомного
электрона. Для рассмотренного процесса отношение этих энергий
, поэтому
использованное приближение достаточно хорошо работает.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика