Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
4
равняется нулю, независимо от того какими являются волновые функции одночастичных состо-
12
xx
1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )
2
f x x x x x x x x
1
x
22
1 1 1 1 2 1
( , ) 2 | ( )| | ( )|w x x x x
1 2 1 1 2 2
( , ) ( ) ( )f x x x x
1
x
22
1 1 1 1 2 1
( , ) | ( ) | | ( )|w x x x x
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f x x x x x x
12
( ) 0f x x
2
2
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1
1
( , ) | ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) 0
2
w x x f x x x x x x
яний. Доказательство этих утверждений элементарно. Значение симметричной волновой функ-
ции (1) при
.
Следовательно, вероятность обнаружить обе частицы в малом элементе объема около точки
пропорциональна величине
. (11)
Для нетождественных невзаимодействующих частиц волновая функция была бы равна
,
а вероятность обнаружить обе частицы в малом элементе объема около точки
пропорцио-
нальна величине
, (12)
т. е. вдвое меньше вероятности (11).
Для антисимметричной пространственной волновой функции
, и потому вероятность обнаружить частицы в одной точке пространства равна ну-
лю
Утверждения доказаны.
,
.
1
Модуль 4. Системы тождественных частиц
2
ˆ
S
ˆ
z
S
1
x
2
x
I
II
1
2
1 2 I
II
1 2 I
II
I
II
1
2
Лекция 4.3. Симметрии пространственных и спиновых волновых функций систем
тождественных частиц. Собственные функции операторов
и
в системе двух частиц с
одинаковыми спинами
Во всех предыдущих рассуждениях мы нигде не учитывали спиновые координаты
волновой функции, хотя и говорили о спине частиц. Тем не менее, наши рассуждения не
приводили к ошибкам, поскольку можно считать, что координаты
и
волновых функций
(см., например, формулы (16)–(21) Лекции 4.1) содержат как пространственные, так и спиновые
переменные, которые мы переставляли одновременно. Рассмотрим теперь вопросы о
возможности перестановок только пространственных или только спиновых переменных, и
симметрии и пространственной и спиновой частей волновой функции.
Во-первых, заметим, что
тождественными являются два
события, показанные на двух
верхних рисунках, а совсем не
события, показанные на двух
нижних (здесь точка показывает
положение частиц в пространстве,
стрелочка — ориентацию спина,
т. е. набор спиновых координат
частиц 1 и 2, римские числа I и II
отмечают точки пространства).
Последние события — физически
различны, и могут реализовываться с разными вероятностями. Это значит, что перестановочная
симметрия касается перестановки сразу всех координат, а не только пространственных. И быть
симметричной (для бозонов) или антисимметричной (для фермионов) должна быть волновая
функция системы тождественных частиц, а не ее пространственная или спиновые части.
Никаких условий симметрии или антисимметрии требования тождественности частиц только на
пространственную или только на спиновую функцию не накладывают.
Тем не менее, в некоторых ситуациях пространственная и спиновые функции по
отдельности могут обладать определенной симметрией по отношению к перестановкам
2
пространственных и спиновых координат частиц соответственно. Давайте рассмотрим подробно
1
12
11
00
2
12
01
10
3
12
10
01
4
12
00
11
1 2 3 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0
, , ,
0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1
f f f f
1
f
2
f
4
f
3
f
z
12
ˆ
ˆˆ
S s s
1
ˆ
s
2
ˆ
s
1, 2,
ˆ
ˆˆ
x x x
S s s
1, 2,
ˆ
ˆˆ
y y y
S s s
1, 2,
ˆ
ˆˆ
z z z
S s s
2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
x y z
S S S S
z
1, 2, 1, 2, 1, 2,
1, 2, 1, 2, 1, 2,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
x y x x y y
x y x x y y
S S iS s s i s s s s
S S iS s s i s s s s
такие ситуации.
Для этого рассмотрим спиновые волновые функции двух частиц со спином ½ каждая.
Поскольку спиновая функция одной частицы представляет двухкомпонентный столбец,
пространство таких функций четырехмерно, и в качестве базиса в нем можно выбрать
следующие функции
,
,
,
, (1)
где индексы 1 и 2 около столбцов показывают, к какой частице относится соответствующая
функция. Построим из этих функций базисные функции определенной симметрии
(симметричные и антисимметричные). Четыре функции
(2)
являются линейно независимыми и потому образуют базис в пространстве состояний системы
двух частиц со спином ½ каждая. Кроме того, эти функции, очевидно, обладают определенной
симметрией по отношению к перестановкам спиновых координат —
по отношению к перестановкам,
— антисимметрична.
,
и
симметричны
Докажем, что эти функции являются собственными функциями оператора квадрата
суммарного спина и его проекции на ось
. Оператор суммарного спина определяется как
, (3)
где
и
— операторы спина каждой частицы, которые действуют только на спиновые
функции этой частицы. Из формулы (3) находим операторы проекций суммарного спина на
координатные оси
,
,
Введем также операторы, повышающий и понижающий проекцию суммарного спина на ось
Поскольку между операторами (4) имеют место те же коммутационные соотношения, как и
между операторами орбитального и спинового моментов, операторы
,
. (4)
.
(5)
3
являются операторами, повышающими и понижающими проекцию суммарного спина на ось z
1
f
ˆ
z
S
z
1,
ˆ
z
s
2,
ˆ
z
s
1 1, 2, 1
2 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
11
ˆ
ˆˆ
1
0 0 0 0 0 0 0 0
22
z z z
S f s s f
1
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1 2 1, 2, 1, 2,
ˆ
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 2 2 2 2
z z x x y y z z
S s s s s s s s s s s s s s s s s s s
1,
ˆ
s
2,
ˆ
s
1
f
2 2 2
1 1 2 1, 2, 1, 2, 1
1 2 1 2
1 1 1 1
3 3 1 1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 2 0 2
0 0 0 0
4 4 2 2
zz
S f s s s s s s f
1
f
2
ˆ
S
ˆ
z
S
1S
1
z
S
1 1, 1
z
SS
ff
ˆ
S
2
ˆ
S
ˆ
z
S
1S
0
z
S
1 1, 0
z
SS
ff
1, 1 1, 0 1, 2, 2
1 2 1 2 1 2
1 1 0 1 1 0
ˆ
ˆˆ
0 0 1 0 0 1
zz
S S S S
S f f s s f
2
f
2
ˆ
S
ˆ
z
S
1S
0
z
S
2 1, 0
z
SS
ff
ˆ
S
1, 0 1, 1 1, 2, 4
1 2 1 2 1 2
0 1 1 0 0 0
ˆ
ˆˆ
1 0 0 1 1 1
zz
S S S S
S f f s s f
4
f
2
ˆ
S
ˆ
z
S
1S
1
z
S
4 1, 1
z
SS
ff
на единицу. Ну а теперь проверим, что функция
проекции суммарного спина на ось
. Учитывая, что каждый из столбцов, входящих в (2),
является собственной функцией либо оператора
(во всех этих формулах
). Теперь подействуем на эту функцию оператором квадрата
является собственной для оператора
, либо оператора
суммарного спина, который представим так
где
и
— операторы, повышающий и понижающий проекцию спина на ось z для первой
и второй частицы. Действуя оператором (7) на функцию
Из формул (6), (8) следует, что функция
является собственной для операторов
, получим
, получаем
(6)
, (7)
. (8)
и
и
отвечает собственным значениям
оператором
значениям
, найдем собственную функцию операторов
,
:
.
Из формулы (9) следует, что функция
отвечающей собственным значениям
еще раз оператором
. Получим
Из формулы (10) следует, что функция
отвечающей собственным значениям
,
:
. Действуя на эту функцию
и
, отвечающую собственным
. (9)
является собственной функцией операторов
,
:
. Подействуем на эту функцию
. (10)
является собственной функцией операторов
,
:
.
и
и
,
,
4
Итак, три функции
1
f
2
f
4
f
2
ˆ
S
1S
1,0, 1
z
S
1 1, 0
z
SS
ff
2 1, 0
z
SS
ff
4 1, 1
z
SS
ff
3
f
ˆ
z
S
0
z
S
2 1, 0
z
SS
ff
2
ˆ
S
0S
3 0, 0
z
SS
ff
1
f
2
f
3
f
4
f
2
ˆ
S
ˆ
z
S
1 1, 1
12
2 1, 0
1 2 1 2
3 0, 0
1 2 1 2
4 1, 1
12
11
,
00
0 1 1 0
1
,
1 0 0 1
2
0 1 1 0
1
,
1 0 0 1
2
00
11
z
z
z
z
SS
SS
SS
SS
ff
ff
ff
ff
1/ 2
,
и
являются собственными функциями оператора
,
отвечающими суммарному спину
А поскольку оставшаяся функция
отвечающей собственному значению
и трем возможным значениям проекций
,
,
.
является собственной функцией оператора
, и ортогональна функции
:
(эти
утверждения проверяются непосредственно), то она также является и собственной функцией
оператора
Итак, мы доказали, что все функции
операторов
, отвечающей суммарному спину
,
и
, отвечающей следующим собственным значениям:
,
и
являются собственными функциями
.
(11)
,
(множители
Важно подчеркнуть, что все спиновые функции, отвечающие определенному
суммарному спину, обладают определенной симметрией по отношению к перестановкам
спиновых координат. Причем это связано не с тождественностью частиц (здесь
тождественность вообще не требовалась, нужно только, чтобы у них был одинаковый спин —
½), а с построением.
введены из условия нормировки).
1
Модуль 4. Системы тождественных частиц
1S
0S
2Ss
22Ss
24Ss
21Ss
23Ss
12
11
00
00
... ...
2
z
Ss
2Ss
2 , 2 1 2
12
11
00
( , )
00
... ...
z
S s S s z z
ss
Лекция 4.4. Перестановочная симметрия пространственной части волновой функции
систем тождественных частиц с определенным суммарным спином. Зависимость
обменного взаимодействия от суммарного спина
В предыдущей лекции мы доказали, что в системе из двух частиц со спином ½ каждая
(не обязательно тождественных) существуют четыре состояния с определенным суммарным
спином — три состояния с определенным суммарным спином
проекциями, и одно состояние с
(и, естественно, нулевой проекцией). Причем все эти
и тремя возможными
четыре функции по построению являются функциями с определенной перестановочной
симметрией: первые три — симметричны, последняя — антисимметрична.
Аналогичная ситуация имеет место в системе двух частиц с произвольными (но
одинаковыми спинами) s: волновые функции состояний с определенным значением
суммарного спина имеют определенную симметрию по отношению к перестановкам спиновых
координат частиц. При этом состояния с суммарным спином
являются симметричными, а состояния с суммарным спином
,
,
,
, ...
, ... —
антисимметричными.
Для доказательства заметим, что в состоянии
(1)
проекция суммарного спина имеет определенное значение
равна суммарному спину, который не может превосходить 2s (если векторы спина частиц
параллельны). Отсюда следует, что этому состоянию отвечает определенный суммарный спин
По построению эта функция является симметричной относительно перестановок спиновых
координат частиц (только так можно получить максимальную проекцию суммарного спина). В
лекции 3.5 первой части курса на основе коммутационных соотношений между проекциями и
, она должна быть меньше или
. (2)
2
квадратом момента было доказано, что при действии на собственную функцию операторов
z
ˆ ˆ ˆ
xy
L L iL
1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( )
x y x x y y x y x y
S S iS s s i s s s is s is s s
2 , 2 1 2 2 , 2 1 1 2
ˆ
( , ) ( , )
zz
S s S s z z S s S s z z
S s s s s
ˆ
S
2,
z
S s S
2Ss
2Ss
2Ss
21
z
Ss
2 , 2 1 1 2 1 2 2 , 2 1 2
1 2 1 2
1 0 0 1
0 1 1 0
ˆˆ
( , ) ( , )
0 0 0 0
... ... ... ...
zz
S s S s z z S s S s z z
s s s s s s
21Ss
21
z
Ss
2 1, 2 1 1 2
1 2 1 2
1 0 0 1
0 1 1 0
( , )
0 0 0 0
... ... ... ...
z
S s S s z z
ss
21Ss
ˆ
S
квадрата момента и его проекции на ось
понижающего оператора
получится (с
точностью до множителя) собственная функция этой же пары операторов, отвечающая тому же
собственному значению квадрата момента и на единицу меньшему собственному значению
оператора проекции. И поскольку коммутационные соотношения для спиновых операторов —
такие же, как и для любого момента, то понижающим проекцию суммарного спина является
оператор
. (3)
Поэтому
. (4)
Продолжая действовать оператором
определенным суммарным спином
на функции
, мы получим все функции с
и всеми значениями проекции. Но оператор (3)
симметричен относительно перестановок координат частиц. А поскольку и функция (2), и
оператор (3) — симметричны, то и результат будет симметричен. Таким образом, все состояния
с максимальным суммарным спином
и всеми возможными значениями проекций —
симметричны.
В частности, симметричной является функция состояния с
и
(4):
. (5)
Функция с определенными значениями суммарного спина
и проекции
должна строиться с помощью тех же спиновых функций отдельных частиц. А поскольку она
ортогональна функции (5), то между теми же слагаемыми должен быть знак «–»:
, (6)
и, следовательно, эта функция антисимметрична. Поэтому будут антисимметричны и спиновые
функции состояний с
и всеми возможными значениями проекции суммарного спина
(так как все они могут быть получены с помощью действия симметричного оператора
на
3
антисимметричную функцию). В частности, антисимметричной является функция состояния с
21Ss
22
z
Ss
22Ss
22
z
Ss
21Ss
22
z
Ss
22Ss
2Ss
22Ss
24Ss
21Ss
23Ss
2Ss
2Ss, 22Ss
24Ss
21Ss
23Ss
1/ 2s
1S
и
же спиновых функций отдельных частиц и ортогональна функции с
Поэтому она и все остальные состояния с суммарным спином
. А поскольку функция с
и
строится с помощью тех
и
симметричны. И так
далее.
Таким образом, по построению спиновые функции всех состояний с определенным
суммарным спином обладают определенной симметрией: состояния со спином
,
, ... являются симметричными, состояния с суммарным спином
, ... — антисимметричными.
Обратим внимание на то, что свойство симметрии или антисимметрии спиновых
функций не связано с тем, являются частицы фермионами или бозонами, более того, не связано
с тем, являются ли они тождественными. Эти свойства симметрии связаны с принципами
построения функций с определенным суммарным спиновым моментом.
Рассмотренная симметрия спиновых функций по отношению к перестановкам спиновых
координат приводит к тому, что определенной симметрией в состояниях с определенным
.
,
,
суммарным спином обладает и координатная функция. Пусть, например, суммарный спин
системы двух тождественных бозонов равен
. Тогда спиновая функция симметрична. А
поскольку полная волновая функция системы бозонов симметрична по отношению к
одновременной перестановке и пространственных, и спиновых координат частиц, то и
координатная функция должна быть симметрична. Если рассматриваемые частицы —
фермионы (полная волновая функция антисимметрична), и суммарный спин системы равен
спин —
,
,
, ... , то пространственная часть антисимметрична, если суммарный
, ... —, то пространственная часть волновой функции симметрична.
В состояниях, в которых суммарный спин не имеет определенного значения, спиновая
часть волновой функции определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых
переменных, вообще говоря, не обладает, поэтому и пространственная часть волновой функции
также не имеет определенной симметрии по отношению к перестановкам.
Такой характер симметрии пространственной части волновой функции приводит к
разным обменным корреляциям в движении частиц в случае разных суммарных спинов.
Действительно, пусть, например, два тождественных невзаимодействующих фермиона со
спином
находятся в состоянии с определенным значением суммарного спина
которое симметрично по отношению к перестановкам спиновых координат. Тогда
,
4
пространственная часть волновой функции антисимметрична, и для системы
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f r r r r r r
1
()r
2
()r
0S
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f r r r r r r
12
rr
1/ 2s
12
()V r r
12
()V r r
*
1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
E r r r r V r r r r r r drdr
0S
1S
22
**
1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E J A r V r r r dr dr r r V r r r r drdr
невзаимодействующих фермионов имеет вид
, (7)
где
фермионы находятся в состоянии с суммарным спином
и
— одночастичные пространственные волновые функции фермионов. Если
, то антисимметричной является
спиновая функция, а пространственная — симметрична
. (8)
Но в состоянии (7) вероятность обнаружить фермионы в одной точке пространства (
равна нулю, а в состоянии (8) — вдвое больше вероятности обнаружить в одной точке
нетождественные частицы. Таким образом, обменные корреляции в первом случае носят
характер отталкивания, во втором притяжения.
Аналогичные утверждения имеют место и для частиц с произвольным спином — в
зависимости от суммарного спина частиц пространственная часть волновой функции (как для
бозонов, так и для фермионов) может быть как симметричной, так и антисимметричной, а это
приводит к разному «потенциальному» взаимодействию между частицами в состоянии с разным
суммарным спином.
)
Чтобы понять это различие давайте «включим» слабое взаимодействие между частицами
и поймем, как меняется энергия системы частиц. Итак, пусть есть система двух слабо
взаимодействующих тождественных частиц (для определенности со спином
частицы — фермионы). Учтем взаимодействие между ними
по теории возмущений —
; т. е.
т. е. будем считать, что в нулевом порядке фермионы не взаимодействуют, а поправку к энергии
системы найдем как диагональный матричный элемент оператора взаимодействия
с
невозмущенными функциями. Так как взаимодействие действует только на пространственные
координаты, для поправки к энергии имеем с использованием пространственных функций (7),
(8)
, (9)
где знак «+» относится к состоянию с суммарным спином
суммарным спином
. Раскрывая скобки в выражении (9), получим
, знак «–» — к состоянию с
. (10)
5
Первый интеграл
J
2
11
()r
2
22
()r
*
1 1 2 1
( ) ( )rr
2 1,2 3, 2 5,...S s s s
2 , 2 2, 2 4,...S s s s
2s
в выражении (10) имеет простой физический смысл — это взаимодействие
двух частиц, одна из которых характеризуется плотностью вероятности
плотностью вероятности
. Именно таким было бы взаимодействие нетождественных
, вторая —
частиц. Второй интеграл не имеет классического аналога, связан именно с симметризацией
волновой функции и имеет разный знак в состояниях с разным суммарным спином. Он
представляет собой взаимодействие двух частиц, которые характеризуются плотностью
, т. е. описывает ситуацию, когда частицы «обмениваются состоянием». Именно
поэтому этот интеграл называется обменным.
Таким образом, специфика тождественных частиц приводит к тому, что состояние
системы существенно зависит от их суммарного спина. При этом для «близких» состояний
обменный интеграл может оказаться больше «плотностного» и может привести к понижению
энергии системы даже для отталкивания между ними. Именно таким является образование
химических связей между атомами за счет обменного взаимодействия электронов.
Симметрия пространственных и спиновых волновых функций может привести к еще
одному интересному эффекту — ограничению возможных значений суммарного спина системы
тождественных частиц при определенной симметрии пространственных функций. Пусть мы
имеем такое состояние системы двух тождественных частиц, когда пространственные волновые
функции частиц одинаковы. Тогда в системе фермионов могут реализоваться только значения
суммарного спина
, в системе бозонов —
Такая
ситуация имеет место в атомных ядрах, одно из возбужденных состояний которых можно
интерпретировать как бозон со спином
. В этих ядрах существуют и состояния, которые
можно интерпретировать как два таких бозона. А поскольку пространственное состояние этой
системы симметрично (бозоны находятся в одинаковых пространственных состояниях), то
спиновая функция бозонов также должна быть симметрична. Следовательно, суммарный спин
такой системы бозонов может быть равен только 0, 2 и 4, что и наблюдается на опыте.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика