Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
1
Модуль 3: Квантовые переходы
n
ˆ
()Vt
2
1
2
2
1
()
kn
t
it
n k kn
t
w V t e dt
kn
kn
()
kn
Vt
*
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
kn k n
V t dx x V t x
()nx
n
0
ˆ
H
0
ˆ
( ) ( )
n n n
H x x
Лекция 3.3. Анализ формул теории нестационарных возмущений. Адиабатические и
внезапные возмущения
В предыдущих лекциях этого модуля мы доказали, что под действием возмущений,
зависящих от времени, квантовые системы могут совершать переходы из одних стационарных
состояний в другие, и в первом порядке теории нестационарных возмущений вычислили
вероятности перехода. Вероятность перехода из
действием возмущения
определяется соотношением
где
частота перехода между состояниями n и k,
возмущения
и
— собственные функции и собственные значения невозмущенного гамильтониана
системы
-го стационарного состояния в k-ое под
, (1)
(2)
— матричны1 элемент оператора
, (3)
. (4)
Формулы (1)–(3) сводят вычисление вероятности перехода между двумя квантовыми
состояниями к квадратурам. Обсудим особенности этих формул.
Условием применимости формулы (1) является малость вероятности перехода,
вычисленной по формуле (1), по сравнению с единицей. Если при данных значениях параметров
вычисленная согласно нестационарной теории возмущений вероятность перехода окажется
сравнимой с единицей, теорией возмущений пользоваться нельзя, и задача должна решаться
точно.
Из формулы (1) следует, что вероятность перехода между двумя состояниями
определяется матричным элементом оператора возмущения. Если матричный элемент оператора
возмущения между какими-либо стационарными состояниями n и k равен нулю, то в первом
порядке теории возмущений вероятность перехода между ними равна нулю.
2
Для вычисления вероятности перехода из некоторого состояния на вырожденный
kn
nk
kn
()
kn
Vt
kn
it
e
V
T
nk
T
||
nk
kn
T
V nk
TT
22
2
kn V
nk
VT
w
V nk
TT
уровень нужно вычислить вероятности перехода в каждое состояние, отвечающее этому
уровню, а затем согласно теореме сложения вероятностей их сложить.
Из формулы (1) следует, что под действием зависящих от времени возмущений
возможны переходы как с увеличением энергии системы (
(
). Более того, формула (1) дает одинаковые вероятности перехода с увеличением или с
), так и с уменьшением
уменьшением энергии (при одинаковых матричных элементах и абсолютной величине частоты
перехода). Действительно, отличие формул для вероятностей перехода с увеличением или с
уменьшением энергии системы сводится только к разному знаку в показателе комплексной
экспоненты (из-за разного знака частоты перехода
), которая никак не проявляется из-за
того, что эта экспонента входит под квадрат модуля.
Но самая существенная особенность формулы (1) связана с тем, что подынтегральная
функция в интеграле по времени содержит произведение двух функций времени
и
с
несвязанными друг с другом временными масштабами. Пусть характерный масштаб изменения
возмущения есть
, а характерное время изменения экспоненты —
, которое обратно
пропорционально разности начальной и конечной энергий системы
. (5)
Если выполнено неравенство
(это имеет место быстро включающихся-
выключающихся возмущений и малой разности энергий начального и конечного состояний),
временная экспонента за время действия возмущения не успевает измениться, ее можно вынести
за знак интеграла. А так как ее квадрат модуля равен единице, то для внезапных возмущений
вероятность не зависит от разности энергий начального и конечного состояний, а определяется
только матричным элементом оператора возмущения
. (6)
Если выполнено обратное неравенство
(это справедливо для медленно
включающихся — адиабатических — возмущений и больших разностях энергий начального и
конечного состояний), временная экспонента в области интегрирования многократно
осциллирует, и интеграл по времени становится малым, набираясь только на одном периоде
осциллирующей экспоненты
3
2 2 2 2 2
2 2 2
kn nk kn V nk
nk
V
V T V T T
w
T
kn V
VT
/
nk V
TT
||
kn
V
T
V
T
. (7)
Если при этом и в том, и в другом случае «величина» возмущения —
вероятность перехода во втором случае меньше в силу малого отношения
— одинакова, то
.
Это означает, что переходы с заметными вероятностями происходят в те состояния, для
энергий которых выполнено неравенство
,
где
— характерное время изменения возмущения (или для возмущений, время включения
которых мало, и которые можно назвать внезапными). А переходы с большими разностями
энергий начального и конечного состояний (под действием адиабатических возмущений)
маловероятны.
1
Модуль 3. Квантовые переходы
t
22
/
ˆ
( , )
t
V x t xe
t
t
n
0
2
00
2
1
()
n
it
nn
w V t e dt
0
()
n
Vt
0n
22
/*
00
( ) ( ) ( )
t
nn
V t e x x x dx
0
0
n
n
()
i
x
1n
*
01
( ) ( )
2
x x x dx
m
( 1/ 2)
n
n
Лекция 3.4. Пример использования теории нестационарных возмущений. Правила отбора
Рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших
квантовых систем.
Пусть на гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, начиная с
момента времени
действует малое возмущение
, где
и
— числа. В
первом порядке нестационарной теории возмущений найдем вероятности переходов
осциллятора в возбужденные состояния при
(поскольку при
возмущение
стремится к нулю, начальная задача является стационарной, и ее постановка поэтому имеет
смысл; в противном случае нельзя было бы говорить о начальном стационарном состоянии
осциллятора).
В первом порядке теории возмущений вероятность перехода из основного состояния в
ое определяется выражением (17) из лекции 3.2:
. (1)
Здесь
и
— матричные элементы оператора возмущения и частоты перехода
осциллятора:
,
, (2)
-
и n — волновые функции и энергии стационарных состояний невозмущенного
гамильтониана (осциллятора). Интеграл в формуле (2) с осцилляторными функциями был
вычислен в первой части курса (лекция 2.5, формула (8)). Он отличен от нуля только для
состояния
(
и m — частота и масса осциллятора). Поэтому в первом порядке теории возмущений
и равен
отлична от нуля только вероятность перехода осциллятора в первое возбужденное состояние.
Так как энергии стационарных состояний осциллятора определяются соотношением
, то частота перехода осциллятора из основного в первое возбужденное
(3)
2
состояние равна «минус частоте осциллятора»
01
2 2 2 2
22
22
//
01
22
i t t i t t
w e dt e dt
mm
22
22
2
01
2
we
m
const
1
22
01
.
2
w
m
1
. Подставляя эти соотношения в
формулу для вероятности перехода (1), получим
. (4)
Вычисляя интеграл по времени (после выделения полного квадрата в показателе степени
экспоненты он сводится к интегралу Пуассона), получим
. (5)
Исследуем теперь зависимость вероятности перехода (5) от времени включения-
выключения возмущения, то есть рассмотрим выражение (5) при различных значениях
параметра
При этом будем считать, что
, который и определяет характерное время действия рассматриваемого возмущения.
, то есть «суммарная величина» возмущения не
изменяется.
При
(в этом случае характерное время включения-выключения возмущения
меньше периода колебаний осциллятора, т. е. возмущение можно назвать «мгновенным»,
«внезапным») экспоненту можно заменить на единицу, и вероятность перехода определяется
соотношением
При этом вероятность перехода не зависит от параметра
(6)
при неизменной «величине»
возмущения.
Если
(адиабатическое, «медленное», «плавное» включение-выключение
возмущения) вероятность перехода осциллятора (6) экспоненциально убывает при увеличении
параметра
.
Условием применимости полученного результата является малость вероятности перехода
по сравнению с единицей (а увеличивая параметр
угодно большой). Если при данных значениях параметров вычисленная согласно
нестационарной теории возмущений вероятность перехода окажется сравнимой с единицей
(или, тем более, большей единицы), теорией возмущений пользоваться нельзя, и задача должна
решаться точно.
Как следует из проведенного рассмотрения, для анализа случаев, когда вероятность
перехода между двумя состояниями равна нулю (в этом случае переход между этими
, вероятность перехода можно сделать сколь
3
состояниями не происходит, или, как говорят, запрещен), необходимо понять, для каких
a
0x
xa
0
4
ˆ
( , ) cos ( )
x
V x t V f t
a
()ft
0x
xa
2
sin , 0 ,
()
0, 0, ,
n
nx
xa
fx
aa
x x a
1,2,3,...n
n
00
00
44
( )cos ( ) sin cos sin
aa
nn
x x x n x
V f x f x dx dx
a a a x
4 1 5 3
sin cos sin sin
2
x x x x
a a a a
00
0 0 0
4 5 3
( )cos ( ) sin sin sin sin
a a a
nn
x x n x x n x
V f x f x dx dx dx
a a x a x
n
n
5n
3n
0
3
ˆ
( , ) cos ( )
x
V x t V f t
a
возможных конечных состояний матричные элементы оператора возмущения равны нулю..
Рассмотрим еще один пример.
На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной
расположенной между точками
, где
— некоторая функция времени. В какие стационарные
и
, накладывают возмущение
состояния возможны переходы из основного состояния. Ответ дать в первом порядке теории
нестационарных возмущений?
Волновые функции состояний частицы в бесконечно глубокой прямоугольной
потенциальной яме шириной a, расположенной между точками
и
определяются
соотношением
(7)
. Исследуем матричные элементы оператора возмущения между функцией основного
и некоторого
-го состояния. Если он равен нулю, переход из основного состояния в n-ое
запрещен. Имеем
,
. (8)
Используя далее известную тригонометрическую формулу
,
получим
. (9)
Таким образом, матричный элемент оператора возмущения между функцией основного и
-го состояния сводится к двум интегралам от двух собственных функций гамильтониана
частицы:
-ой и пятой и n-ой и третьей. В результате из ортогональности волновых функций
стационарных состояний заключаем, что матричный элемент (8) будет отличен от нуля только в
случае, когда
состояния под действием возмущения
и
. Другими словами в бесконечно глубокой яме из основного
частица может перейти из
4
основного состояния только в четвертое возбужденное (
5n
3n
3n , 5n , 7n , 9n
стационарные состояния. Переходы в другие состояния запрещены.
Отметим, что этот вывод получен в рамках первого порядка нестационарной теории
возмущений для волновой функции. В следующих порядках он может нарушаться. А это значит,
что под действием рассматриваемого возмущения возможны и переходы в другие состояния,
однако их вероятности (в случае малого возмущения) должны быть величинами более высокого
порядка малости по возмущению. Тем не менее, один вывод относительно вероятностей
переходов можно сделать, не опираясь на теорию возмущений. Поскольку и потенциальная
энергия частицы и возмущение являются четными относительно центра ямы, то гамильтониан
частицы коммутирует с оператором четности в любой момент времени. Это значит, что
четность есть интеграл движения, и, следовательно, сохраняется средняя четность состояния
частицы. А поскольку волновая функция частицы — четна в начальный момент времени, то она
будет четной и в дальнейшем. Следовательно, ее разложение по волновым функциям
стационарных состояний будет содержать только четные слагаемые, а, значит, возможны
) и второе возбужденное (
)
переходы только в стационарные состояния с четными относительно центра ямы волновыми
функциями, которые отвечают квантовым числам
другие состояния запрещены точно. Если бы начальное состояние было бы нечетным
относительно центра ямы, то переходы происходили бы только в нечетные состояния. Такого
рода условия, которые строго запрещают те или иные квантовые переходы принято называть
«правилами отбора».
и т.д. Переходы в
1
Модуль 3. Квантовые переходы
k
k
ˆˆ
( , ) ( )cosV x t V x t
1T
nk
22
2
22
00
1
( ) cos
kn kn
TT
i k t kn i k t
k n kn
V
w V t e dt t e dt
kn
V
ˆ
()Vx
( ) ( )
0
1 1 1
cos
2 ( ) ( )
kn kn
kn
T
i T i T
i k t
kn kn
ee
t e dt
ii
( ) /
nk
( ) /
kn
( ) /
nk
( ) /
kn
0
kn
n
k
kn
2
2
22
cos sin 1
4 ( )
kn
k n kn kn
kn
V
w T i T
Лекция 3.5. Переходы под действием периодических возмущений
Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на
частицу, находящуюся в
-ом стационарном состоянии с энергией
, действует малое
периодическое возмущение
, (1)
где
так что
— частота возмущения, причем возмущение действует в течение длительного времени T,
(в противном случае бессмысленно говорить о периодичности возмущения,
даже если оно описывается формулой (1)). Докажем, что в первом порядке теории возмущений
переходы с заметной вероятностью происходят только в такие состояния n, энергия которых
отличаются от энергии начального состояния на величину
:
.
Исходим из формулы теории нестационарных возмущений
, (2)
где
— матричный элемент оператора
. Интеграл по времени вычисляется элементарно:
. (3)
Рассмотрим зависимость вероятности перехода (2), (3) от частоты возмущения
больших значений времени действия возмущения T. Как будет показано ниже, первое
слагаемое в формуле (3) как функция частоты возмущения имеет максимум при частоте
, второе — при частоте
вероятности (2), (3) от частоты возмущения
и
и ограничится в первом случае только первым слагаемым
формулы (3), во втором — вторым. Отметим, что так как
переходам
в состояния n с энергией
Рассмотрим случай, когда
для вероятности перехода. В результате имеем из (3) для вероятности перехода
для
. Поэтому при анализе зависимости
достаточно рассмотреть только значения
, первый случай отвечает
, большей энергии
, второй — с меньшей.
, и ограничимся только вторым слагаемым формулы
. (4)
2
Вычисляя квадрат модуля выражения под модулем, получим
2
2
22
sin
( ) 2
kn
kn
kn
kn
V
T
w
kn
w
T
kn
1
kn
T
2
sin
2
2
2
4
kn
kn
VT
w
/
kn
T
/
kn
iT
kn
kn
1
kn
T
2
sin
T
22
2
2 2 2
()
kn kn
kn
kn
V V T
w
kn
()
kn
w
2
T
T
T
. (5)
Рассмотрим зависимость вероятности перехода
значениях
. При
, то
вероятность перехода (5) имеет устранимую особенность. Если
в (4) можно разложить в ряд и найти
(4) от частоты возмущения при больших
. (6)
Далее. При
перехода будет обращаться при
осциллировать, но амплитуда осцилляций при отходе от
разность
входит в знаменатель формулы (4). Если же
может для разных
вероятность перехода обратится в нуль. Также в нуль вероятность
(i — целое). Т. е. вероятность перехода будет
будет убывать, из-за того, что
, то
принимать все значения от нуля до единицы и, следовательно, значение
вероятности перехода при таких частотах много меньше ее значения в максимуме.
. (7)
в (5)
Качественный график зависимости вероятности перехода от частоты показан на рисунке.
3
А что будет происходить с этим графиком, если мы рассмотрим предел
T
T
1/ T
kn
kn
nk
k
n
nk
2
2
1 sin
( ) lim ( )
A
Ax
f x x
Ax
x
( 0)
A
fx
x
()fx
2
x
A
2
2
sin
1
1
Ax
dx
Ax
2
12
4
kn
kn k n
w
V
T
(а именно такой
предел мы должны рассмотреть, если хотим говорить о периодическом возмущении). Тогда
главный максимум будет «вытягиваться» и «сжиматься», причем площадь под главным
максимумом будет пропорциональна
.
Таким образом, можно сформулировать следующие правила для вероятности перехода
под действием периодического возмущения: если частота возмущения
интервале частот
вблизи частоты, равной
, то вероятность перехода
лежит в узком
существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием
возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем ýже, чем больше время
действия возмущения). Другими словами, при фиксированной частоте возмущения
квантовая
система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния n, энергии
которых определяется соотношением
, где
— энергия начального состояния.
Аналогичное рассмотрение второго слагаемого в (3) приводит к возможности перехода в
состояния
с энергиями
. Переходы в состояния с другими энергиями под
действием периодических возмущений маловероятны.
Формулу (5) для вероятности перехода под действием периодического возмущения
обычно записывают по-другому. Можно доказать, что
,
. (8)
Действительно, при малых
,
при больших модулях
знаменателе. И в пределе
синус не превосходит единицу, поэтому
центральный максимум вытягивается и сжимается. При этом
убывает за счет
в
,
откуда и следует сделанное выше утверждение. С использованием формулы (8) формулу (5) для
вероятности перехода перепишем так
. (9)
Прокомментируем формулу (9). Во-первых, видим, что вероятность перехода
пропорциональна времени действия возмущения. Физически это совершенно очевидно. Переход
Соседние файлы в предмете Квантовая механика