Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
3
cos
2
()
l
r
l
kr
Qr
kr
. (11)
r
()
l
Rr
()
l
Qr
( , )r
12
0
sin cos
22
( , ) (cos )
l
r
l
ll
kr kr
r P C C
kr kr
1
C
2
C
0
sin
2
( , ) (2 1) (cos )
l
ll
r
l
l
kr
r A l P
kr
21l
l
l
A
ikz
e
r
2 2 2 2
0
(2 1)
(cos )
2
ll
l l l l
i kr i kr i kr i kr
ii
ikz l
ll
l
l
e P A e e e e i e e
kr
l
i
l
l
A i e
0
sin
2
( , ) (2 1) (cos )
l
l
i
l
l
r
l
l
kr
r i e l P
kr
А любое решение радиального уравнения Шредингера (9) на асимптотике (при
выражается через линейную комбинацию функций
(7) и
(11).
А теперь разложим по полиномам Лежандра волновую функцию задачи рассеяния
. Поскольку на больших расстояниях от рассеивающего центра потенциал
взаимодействия налетающих частиц и рассеивающего центра исчезает, волновая функция
задачи рассеяния переходит в решение свободного уравнения Шрединегера. Поэтому с учетом
замечания в конце предыдущей страницы имеем на асимптотике
, (12)
где
и
— произвольные постоянные. Поскольку синус и косинус одного аргумента всегда
можно свести к одной тригонометрической функции введением фазы, формулу (1) можно
преобразовать к виду
)
. (13)
Где множитель
называются фазами рассеяния. Найдем коэффициент
заключается в том, что разность
вычитая из формулы (13) формулу (7) (на асимптотике, при
выделен из коэффициентов для удобства. Фазы
в формуле (13). Идея его нахождения
содержит только расходящуюся экспоненту. Поэтому
)
в формуле (13)
(14)
и приравнивая к нулю коэффициент при сходящейся экспоненте, получаем
. (15)
Теперь волновая функция задачи рассеяния определена и имеет следующую асимптотику
. (16)
4
Теперь из формулы (14) получаем
2
0
(2 1)
(cos ) 1
2
l
ikr
i
ikz
l
l
e i l
e P e
rk
0
( ) (2 1) 1 (cos )
2
ll
l
i
f l S P
k
2
l
i
l
Se
2
2
0
1
(2 1) 1 (cos )
4
ll
l
d
l S P
dk
2
2
0
4
(2 1)sin
l
l
l
k
l
0
1
2
l
0
1
2
. (17)
Поскольку коэффициент перед расходящейся сферической волной и есть амплитуда рассеяния
из формулы (17) заключаем, что
. (18)
Где величина
называется матрицей рассеяния или S-матрицей. Возводя формулу (18)
по модулю в квадрат, находим дифференциальное сечение упругого рассеяния
, (19)
а интегрируя формулу (19) по углам с использованием ортогональности полиномов
Лежандра — формулу для полного сечения рассеяния
. (20)
Из формул (19), (20) следует, что дифференциальное и полное сечения рассеяния в
заданном поле сил выражаются через совокупность фаз рассеяния
,
, …, но, вообще говоря, бесконечно). Следовательно, для вычисления сечения рассеяния
(число которых счетно:
необходимо найти радиальные волновые функции частицы в силовом поле для всех моментов
Рассматривая асимптотику этих функций на больших расстояниях от силового центра, можно
найти фазы рассеяния
,
,
, …, а затем по формулам (19), (20) — дифференциальное и
,
.
полное сечения рассеяния.
1
Модуль 5. Задача рассеяния
0
( ) (2 1) 1 (cos )
2
ll
l
i
f l S P
k
l
S
2
l
i
l
Se
l
0
sin
2
( , ) (2 1) (cos )
l
l
i
l
l
r
l
l
kr
r i e l P
kr
2
2
0
1
(2 1) 1 (cos )
4
ll
l
d
l S P
dk
2
2
0
4
(2 1)sin
l
l
l
k
l
0
1
2
0
1
2
0U
U
ikz
e
ikz
e
Лекция 5.6. Анализ формул фазовой теории рассеяния. Оптическая теорема. Случай мед-
ленных частиц
Итак, в рамках фазовой теории рассеяния волновая функция задачи рассеяния расклады-
вается по состояниям с определенным моментом, и вычисляется как сумма парциальных амплитуд рассеяния
(1)
где матрица рассеяния
выражается через фазы рассеяния
. Фазы рассеяния
опре-
деляются асимптотикой радиальной части волновой функции задачи рассеяния
. (2)
Из формулы (1) легко находятся выражения для дифференциального и полного сечения рассеяния через фазы рассеяния
, (3)
. (4)
Формулы (3), (4) и дают выражения дифференциального и полного сечения рассеяния в
заданном поле сил через совокупность фаз рассеяния
(число которых счетно:
,
,
, …,
но, вообще говоря, бесконечно). Поэтому для вычисления сечения рассеяния необходимо найти
радиальные волновые функции частицы в силовом поле для всех моментов l. Рассматривая
асимптотику этих функций на больших расстояниях от силового центра, можно найти фазы рас-
сеяния
,
,
, …, а затем по формулам (3), (4) — дифференциальное и полное сечения рас-
сеяния.
Проанализируем формулы фазовой теории рассеяния.
1. В предельном случае
, где
рассеивающим центром, рассеяния не происходит, поэтому волновая функция задачи рассеяния
совпадает с волновой функцией налетающих частиц
волновой функции (2) и функции
(формула (8) предыдущей лекции) заключаем, что волно-
потенциал взаимодействия рассеивающихся частиц с
. Следовательно, сравнивая асимптотику
2
вая все фазы рассеяния равны нулю, все элементы матрицы рассеяния — единице, а сечение
cos( 0) 1
l
P
2
2
0 0 0
1 1 1
Im ( 0) Re (2 1) 1 (2 1) 1 cos2 (2 1)sin
22
l
i
ll
l l l
f l e l l
k k k
Im ( 0)
4
k
f
z
()
( , )
ikr
ikz
fe
re
r
0
ikz
e
рассеяния (как это и должно быть) равняется нулю.
2. Найдем мнимую часть амплитуды рассеяния на нулевой угол («амплитуды рассеяния впе-
ред»). Поскольку
для любых моментов, то, очевидно,
. (5)
Сравнивая формулу (5) и формулу (4) для полного сечения рассеяния, заключаем, что выполнено следующее условие
. (6)
Формула (6) выражает т. н. оптическую теорему для упругого рассеяния и является следствием
сохранения числа частиц при рассеянии. Действительно, полное сечение рассеяния пропорцио-
нально числу рассеянных частиц. С другой стороны, это число связано с убылью частиц в пото-
ке, распространяющемся вдоль оси
. Понятно, что на математическом языке эта убыль должна
произойти из-за того что второе слагаемое граничного условия задачи рассеяния
(7)
при
содержит такую же экспоненту
как и первое слагаемое и, фактически, приводит к
уменьшению потока частиц, распространяющихся вдоль оси z. Можно показать, что именно
мнимая часть амплитуды рассеяния ответственна за убыль частиц в первоначальном потоке, откуда и получается теорема (6).
Про оптическую теорему (6) часто говорят как об условии унитарности для рассеяния.
Такая терминология связана с тем, что амплитуда рассеянной волны может быть выражена через амплитуду падающей, как результат действия некоторого оператора, который не меняет
нормировку волновой функции, поскольку последняя пропорциональна плотности потока ча-
стиц. А операторы, не меняющие нормировку функций, являются унитарными (эрмитово сопряженный к ним совпадает с обратным). Отсюда и пошла приведенная выше терминология.
Подчеркнем еще раз, что условие унитарности является следствием сохранения числа частиц: если бы в области действия потенциала имело бы место рождение или поглощение частиц,
то условие унитарности (6) нарушалось бы. Отметим, условие унитарности тесно связано с эр-
митовостью гамильтониана рассеивающих частиц. В различных разделах теоретической физи-
ки, в которых приходится иметь дело с поглощением волн или частиц, например, в оптике,
3
ядерной физике и др., часто вводят потенциалы, которые являются комплексными и, следова-
2
2
( 1)
( ) ( )
2
eff
ll
U r U r
mr
()Ur
R
R
2
2
( 1)
2
ll
E
mr
l
r
k
l kR
1kR
тельно, приводят к неэримитовости гамильтониана. В этих подходах нарушается и условие унитарности (или оптическая теорема) для рассеяния.
Практическая ценность формул фазовой теории рассеяния для эффективного и полного
сечения тем выше, чем меньшее число членов ряда играет существенную роль. Докажем, что
для малых энергий рассеивающихся частиц это число невелико. Основная идея этого доказательства заключается в том, что частицы с моментом l движутся в следующем эффективном
потенциале
, (8)
причем если
достаточно быстро спадает с расстоянием, то для достаточно больших мо-
ментов и малых энергий центробежный потенциал (второе слагаемое в (8)) может «не пустить»
рассеивающиеся частицы в область действия потенциала (в области потенциала могут оказаться
только малые «хвосты» волновых функций). Поэтому, фактически частицы с большими момен-
тами не будут «чувствовать» потенциал, следовательно, не будут рассеиваться, следовательно,
фазы рассеяния с такими моментами будут равны нулю и не дадут вклад в амплитуду и сечение
рассеяния. А ряд по моментам для амплитуды рассеяния содержит только небольшое число слагаемых.
Пусть
— радиус действия потенциала. Частицы с моментом l будут «чувствовать»
потенциал, если точка остановки классического движения в центробежном потенциале окажется
меньше
. Эта точка находится из условия
, (9)
отсюда находим
. (10)
Отсюда следует, что для фиксированной энергии потенциал будут «чувствовать» частицы с мо-
ментами
. Частицы с бóльшими моментами будут иметь малые фазы рассеяния и не да-
вать вклад в сечение. Поэтому фазовая теория рассеяния играет важную роль в исследовании
рассеяния не слишком быстрых частиц. Для быстрых частиц (
) в суммах (3), (4) необхо-
димо учитывать множество слагаемых и потому возможности фазовой теории снижаются.
4
В частности, если частицы медленные (
1kR
2
0
2
sin
d
dk
1l
2
cosab
1
(cos )P
cos
) необходимо учитывать только одно сла-
гаемое с моментом, равным нулю (или, как говорят, учитывать только s-рассеяние). В этом случае, как это следует из формулы (3) дифференциальное сечение будет равно
. (11)
Из формулы (11) следует, что дифференциальное сечение рассеяние медленных частиц не зави-
сит от угла рассеяния (является изотропным). При увеличении энергии частиц «подключается»
p-рассеяние (т. е. в формуле (3) нужно учитывать первое и второе, отвечающее
а сечение зависит от угла как
(поскольку первый полином Лежандра
, слагаемое),
). При увеличении энергии частиц начинают играть роль фазы рассеяния более высокого
порядка, и сечение становится все более асимметричным.
есть
1
Модуль 5. Задача рассеяния
0
,,
()
0, ,
U r R
Ur
rR
0
U
2
2
0
1
(2 1) 1 (cos )
4
ll
l
d
l S P
dk
l
S
2
l
i
l
Se
1kR
2
2/k mE
s
0
2
2
2
0
22
sin
1
1
4
i
d
e
d k k
0
0
()Rr
0l
2
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
2
R r U r R r ER r
m
0E
00
( ) ( )r rR r
0
()r
00
2
2 ( ( ))
( ) ( ) 0
m E U r
rr
rR
0
( ) sin cosr A r B r
Лекция 5.7. Пример использования фазовой теории рассеяния
Исследуем в рамках фазовой теории рассеяния рассеяние медленных частиц сферической
потенциальной ямой конечной глубины
(1)
где
и R глубина и радиус ямы. Напомню, что в рамках фазовой теории рассеяния мы
получили формулу для дифференциального сечения рассеяния
, (2)
где матрица рассеяния
медленных частиц
является только рассеяние частиц с нулевым моментом (
выражается через фазы рассеяния
(
, R — радиус действия потенциала) существенным
. И доказали, что в случае
-рассеяние), фазы рассеяния для
других моментов равны нулю. Поэтому для рассеяния медленных частиц фазовая теория
рассеяния дает
, (3)
где
— фаза рассеяния с нулевым моментом. Найдем эту фазу рассеяния. Ее следует искать из
асимптотики решения радиального уравнения Шредингера в потенциале (1). Радиальная часть
волновой функции задачи рассеяния (с моментом
Шредингера в потенциале (1)
Здесь
дает для функции
— энергия рассеивающихся частиц. Замена неизвестной функции
(подробно эти преобразования были сделаны в первой части курса в
лекции 4.2)
При
получим, решая уравнение (5)
) удовлетворяет уравнению
. (4)
. (5)
. (6)
2
Где
0
2
2 ( )m E U
( 0) 0r
0B
rR
00
( ) sinr C kr
2
2mE
k
rR
00
00
r R r R
0
tg tgkR k R
2
2
2
1
2
mE
RE
mR
2
0
2
2
U
mR
1R
tg R
00
tg tgkR k R kR kR
0
tg kR
0
33
0
0
33
kR R
kR k R
0
. (7)
Поскольку
,
. В области
решение уравнения определяется соотношением
, (8)
где
. (9)
Волновая функция и ее первая производная являются непрерывными. Поэтому при
выполняется следующее условие сшивки функций (6), (8)
. (10)
В результате имеем
. (11)
Решим уравнение (11) для фазы рассеяния приближенно. Пусть, кроме того, что частицы у нас
медленные
выполнены и условия применимости борновского приближения
. (13)
Тогда, очевидно, выполнено и условие
. (14)
Поэтому
Следовательно,
в (11) можно разложить в ряд Тейлора, и формула (11) дает
мал, значит, мала и фаза рассеяния
разложить в ряд Тейлора.
Раскрывая в формуле (16) скобки и оставляя только линейные по
(12)
. (15)
, и оба тангенса в (11) можно
. (16)
слагаемые, получим
3
33
22
0
0
2
2
33
mU
kR kR
k
. (17)
0
2 2 6
0
4
4
9
m U R
d
d
0
22
1
/2
U
mR
4 2 2
d
RR
d
4
1
22
0
2
8
U
mR
00
22
2 ( ) 2m E U mU
0
ctg ctgk kR R
0
ctg 0k kR
/2
0
2
В результате из формулы (3) с учетом малости фазу рассеяния
получаем для
дифференциального сечения рассеяния
. (18)
Как и должно быть в условиях применимости борновского приближения сечение не зависит от
углов и от энергии (независимость от углов сохранится и в случае невыполнимости условий
применимости борновского приближения, поскольку частицы медленные). И, кроме того, мы
получили тот же ответ (с точностью до обозначений), который был получен для сечения в
борновском приближении (формула (9) лекции 5.4). Если при этом ввести параметр борновского
приближения
,
то сечение можно записать так
(видим, что это сечение в
меньше геометрических размеров рассеивателя).
Рассмотрим теперь случай, когда частицы медленные, но условия применимости
борновского приближения не выполнены
. В этом случае уравнение (11) будет иметь
совершенно другие решения. Чтобы понять это рассмотрим конкретную глубину ямы
.
В этом случае
,
а уравнение для фазы рассеяния (которое я перепишу через котангенс)
дает
, т. е. фаза рассеяния (при малых энергиях частиц) равна
.
Отсюда находим дифференциальное сечение рассеяния
4
2
2
2
0
2 2 2
sin
11
2 ( )
d
R
d k k mE kR
.
0
2
2
2 1 , 1,2,3,...
2
mU
R n n
/2
0
2
0l
00
2
2 ( ( ))
( ) ( ) 0
m U r
rr
0
0
2
( ) sin ,
mU
r A r
0
2
( ) ,
kr
m
r Be k
ctg R k
0
sin R
2
R
R mU
ctg 0R
R
R
ctg 0R
Т. е. сечение много больше геометрических размеров рассеивателя (напомню, что
рассматриваются медленные частицы). Поскольку такое сечение много больше сечения в
борновском случае, такое сечение называется резонансным. Очевидно, что существуют и другие
максимумы сечения (при определенных глубинах ямы):
.
А фаза рассеяния при таких глубинах также равна
.
Докажем, что при таких глубинах в яме существует уровень с очень маленькой энергией.
Забудем сейчас ненадолго о рассеянии вообще, и рассмотрим совершенно другую задачу. Пусть
есть потенциальная яма (1), найдем уровни энергии с моментом
решать уравнение (5) для радиальной функции при отрицательной энергии
в этой яме. Мы должны
. (19)
Внутри ямы уравнение (19) имеет решение
, (20)
вне ямы —
. (21)
Условие сшивки функций на границе ямы дает уравнение на уровень энергии
Удобно перейти в уравнении (22) к синусу
Решения уравнения (23) можно проиллюстрировать графически. Его корни определяются
пересечениями двух функций от
прямых
, причем нужны те пересечения, где
. (22)
,
. (23)
(причем искомая энергия входит в ) — синуса и двух
.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика