Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
1
Модуль 4. Системы тождественных частиц
12
( , ,..., )r r t
t
1
r
2
r
1
r
2
r
2
r
1
r
1
r
2
r
2
12
( , ,..., )r r t
2
21
( , ,..., )r r t
1
r
2
r
Лекция 4.1. Волновые функции систем тождественных частиц. Перестановочная
симметрия. Бозоны и фермионы. Принцип Паули
Согласно постулатам квантовой механики волновая функция физической системы,
состоящей из нескольких частиц, определяет вероятности различных положений всех частиц
системы в любой момент времени и, следовательно, должна зависеть от координат всех частиц
и времени
, (1)
где первый аргумент относится к первой частице, второй — ко второй и т. д., причем квадрат
модуля волновой функции (1) определяет плотность вероятности того, что в момент времени
первая частица находится в точке с координатой
, вторая —
и т. д. Отметим, что индексы у
радиус-векторов в списке аргументов волновой функции (1) связаны не с номером частицы, а
отмечают только разные точки пространства, номер частицы определяется местом в списке
аргументов волновой функции — на первом месте записываются те значения координаты,
которые может принимать координата первой частицы, на втором — второй и т. д. Если все
частицы системы тождественные (например, электроны, протоны или другие одинаковые
частицы), то функция (1) должна удовлетворять определенным условиям симметрии
относительно перестановок аргументов. Действительно, поскольку в микромире невозможно
проследить за перемещением частиц (отсутствует траектория), то такие события, как «первая
частица находится в точке с координатой
с координатой
, вторая —
» являются принципиально неразличимыми (при условии,
, вторая —
» и «первая частица находится в точке
конечно, что частицы тождественные). Можно говорить только о том, что одна из частиц
(неизвестно, какая) находится в точке с координатой
, а вторая —
. Это значит, что
множество значений функции (1) для системы тождественных частиц является избыточным,
поскольку величины
и
(2)
определяют, фактически, вероятность одного и того же события — одна из частиц находится в
точке с координатой
, другая — в точке с координатой
. Поэтому, чтобы сохранить описание
квантовых систем, состоящих из тождественных частиц, с помощью волновых функций,
зависящих от координат частиц, необходимо наложить на волновые функции, которыми могут
2
описываться такие системы, дополнительные условия. Волновая функция (1) для системы
12
, ,...,r r t
21
, ,...,r r t
22
1 2 2 1
( , ,..., ) ( , ,..., )r r t r r t
1 2 2 1
( , ,..., ) ( , ,..., )
i
r r t e r r t
1 2 2 1 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )
i i i
r r t e r r t e e r r t
1
i
e
2
( / )
1 2 1
( , ) sin( / )
xb
x x x a e
22
12
( ) /
12
( , )
x x b
x x e
(1,2,3) (3,2,1)
(1,2,3) (2,1,3) (2, 3,1) (3, 2,1)
(3,2,1) (3,2,1)
тождественных частиц может быть только такой функцией, квадраты значений которой в
«точке» с координатами
и в «точке» с координатами
должны быть
одинаковыми:
(3)
(и аналогично для других перестановок). То есть при перестановке любых двух аргументов
квадрат модуля волновой функции не должен меняться. Отсюда получаем, что волновая
функция системы тождественных частиц может быть только такой функцией своих аргументов,
что при перестановке двух из них ее значение если и изменятся, то только на множитель с
единичным квадратом модуля
, (4)
где
— действительное число. Снова переставляя первый и второй аргументы функции в
правой части выражения (4), найдем
. (5)
Отсюда заключаем, что
. Таким образом, тождественность частиц приводит к тому, что
частицы могут описываться только функциями, которые не меняются при перестановке
аргументов, либо меняют при перестановке знак. Например, система двух тождественных
частиц в принципе не может описываться такой волновой функцией
волновая функция вида
в принципе может описывать одно из возможных
состояний системы. Волновые функции, не меняющие знак при перестановке аргументов,
принято называть симметричными, меняющие знак, — антисимметричными.
Очевидно, никакие функции не могут быть одновременно симметричными при
перестановке одних аргументов и антисимметричными — других. Действительно, пусть
существует функция трех переменных, симметричная при перестановке первого-второго и
второго-третьего аргументов, и антисимметричная при перестановке первого-третьего
аргументов. Тогда для этой функции одновременно должны были бы выполняться условия
и
для тождественно не равной нулю функции результату
, что приводит к бессмысленному
. То есть свойство
симметрии или антисимметрии касается перестановки любой пары аргументов волновой
;
функции.
3
Очевидно, способность описываться симметричными или антисимметричными
0s
1s , 2s
1/ 2s , 3/2s , 5/ 2s
()Ux
n
n
22
2
()
2
d
Ux
m dx
2 2 2 2
1 2 1 2
22
12
( , ) ( ) ( )
22
dd
H x x U x U x
mm
dx dx
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
22
12
( ) ( ) ( , ) ( , )
22
dd
U x U x f x x Ef x x
m dx m dx
волновыми функциями определяется природой частиц, и не зависит от их конкретного
состояния. Действительно, пусть, например, возможны два состояния системы электронов —
одно с симметричной волновой функцией, другое с антисимметричной. Тогда согласно
принципу суперпозиции возможно и состояние-суперпозиция, волновая функция которого
представляет собой линейную комбинацию этих функций. Очевидно, эта волновая функция
определенной симметрией по отношению к перестановкам аргументов не обладает.
В релятивистской квантовой теории доказывается, что частицы с целым спином (
, ...) описываются симметричными волновыми функциями и называются бозонами,
частицы с «полуцелым» спином (
, ...) описываются
антисимметричными волновыми функциями и называются фермионами.
Рассмотрим теперь систему тождественных невзаимодействующих частиц и построим
волновые функции стационарных состояний этой системы. Итак, пусть две тождественных
невзаимодействующих частицы движутся в потенциале
функции стационарных состояний системы, считая, что собственные значения
функции
гамильтониана
. Найдем энергии и волновые
и собственные
(6)
известны (и для простоты не вырождены). И пока никак не будем учитывать спин.
Оператор Гамильтона системы двух тождественных частиц имеет вид
(7)
,
является симметричным относительно перестановок координат и для фермионов и для бозонов,
поскольку частицы тождественные (поэтому в первых двух слагаемых одинаковые массы, и
одинаковы потенциальные энергии, поскольку с полем частицы взаимодействуют одинаково).
Волновые функции стационарных состояний зависят от координат обеих частиц и
удовлетворяют уравнению Шредингера
. (8)
4
Будем искать решения уравнения (8) с разделенными переменными
1 2 1 1 2 2
( , ) ( ) ( )f x x x x
1
()x
2
()x
22
1 1 2 2
12
1 1 2 2
( ) ( )
22
( ) ( )
( ) ( )
xx
mm
U x U x E
xx
1
x
2
x
1
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ),
2
x U x x x
m
2
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ),
2
x U x x x
m
12
E
1
2
n
1
2
n
22
2
( ) ( )
2
n n n
d
U x x
m dx
1 2 1 2
( , ) ( ) ( ), ,
nk n k nk n k
f x x x x E
n
nk
nk n k
E
12
( ) ( )
nk
xx
21
( ) ( )
nk
xx
nk
, где
и
— некоторые неизвестные функции одной переменной. Подставляя эту функцию
в уравнение (8), получим
. (9)
Первое слагаемое левой части зависит только от переменной
, второе — только от
Поэтому, чтобы равенство (9) выполнялось при любых значениях переменных, первое и второе
слагаемые в левой части должны равняться некоторым постоянным. Обозначим эти постоянные
и
. Тогда уравнение (10) дает
(10)
(11)
. (12)
.
Уравнения (10), (11) являются уравнениями на собственные значения и собственные функции
гамильтониана (6), который принято называть одночастичным, а его собственные состояния —
одночастичными состояниями и которые по условию задачи считаются известными. Поэтому
каждая из функций
гамильтониана, а числа
и
является одной из собственных функций
и
— собственными значениями
одночастичного
. (13)
Следовательно, решения уравнения (8) могут быть перечислены двумя целыми индексами и
имеют вид
(14)
причем индексы
Очевидно, все уровни энергии с
значению
и k независимо друг от друга принимают все возможные для них значения.
являются двукратно вырожденными: собственному
отвечают две различные собственные функции
и
(или любые их линейные комбинации). Состояния с
невырожденными.
являются
5
Учтем теперь тождественность частиц. Для этого потребуем, чтобы волновые функции
1 2 1 2
( , ) ( ) ( )
nn n n
f x x x x
1 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
nk n k n k
f x x x x x x
12
( ) ( )
nk
xx
21
( ) ( )
nk
xx
nk
1 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
nk n k n k
f x x x x x x
1/ 2
nk
0s
0s
1 2 3
( , , )f x x x
1
()nx
2
()nx
3
()nx
стационарных состояний обладали определенной симметрией относительно перестановок
аргументов — были бы симметричны относительно перестановок в случае бозонов, и
антисимметричны в случае фермионов. Очевидно, функции
(15)
и
(16)
являются собственными функциями гамильтониана системы двух частиц и симметричны
относительно перестановок аргументов, то есть описывают стационарные состояния системы
двух тождественных бозонов. При этом все состояния не вырождены, поскольку любая другая
линейная комбинация функций
и
в случае
не будет
симметричной относительно перестановок и потому не может описывать состояния системы
бозонов.
Аналогично функции
(17)
являются собственными функциями гамильтониана системы двух частиц и антисимметричны
относительно перестановок аргументов, то есть описывают стационарные состояния системы
двух тождественных фермионов (множитель
здесь и в формуле (16) введен из-за условия
нормировки). При этом, так же как и в случае бозонов, все состояния не вырождены. Однако в
отличие от бозонного случая здесь невозможны состояния, в которых оба фермиона находятся в
одинаковых стационарных состояниях одночастичного гамильтониана (
), поскольку в этом
случае функция (17) тождественно равна нулю (более точную формулировку этого
утверждения, учитывающую наличие спина у фермиона см. ниже).
Проведенное рассмотрение имеет буквальный смысл для бозонов с
и для фермионов (спин которых является полуцелым и потому всегда больше нуля)
необходимо включить в рассмотрение спин.
Построим теперь волновые функцию стационарного состояния
тождественных невзаимодействующих частиц, находящихся в одночастичных состояниях
. Для бозонов с
системы трех
,
,
.
6
Поскольку частицы не взаимодействуют, то волновая функция системы должна быть
1
n
2
n
3
n
1
n
2
n
3
n
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
2 1 3 1 3 2 1 3 2
1
( , , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )).
n n n n n n n n n
n n n n n n n n n
f x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
1
()
n
x
2
()
n
x
3
()
n
x
12
nn
1 1 3 1 3 1 3 1 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1
( , , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
6
n n n n n n n n n
f x x x x x x x x x x x x
1
()
n
x
3
()
n
x
1 2 3
n n n
1 1 1
1 2 3 1 2 3
( , , ) ( ) ( ) ( )
n n n
f x x x x x x
1
()
n
x
1 2 3
n n n
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
2 1 3 1 3 2 1 3 2
1
( , , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
n n n n n n n n n
n n n n n n n n n
f x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
произведением трех одночастичных функций
,
,
, или линейной комбинацией таких
произведений. При этом в случае бозонов волновая функция должна быть симметрична
относительно перестановок. Очевидно, в случае состояния, которому отвечают три разных
индекса
,
и
, симметричная комбинация имеет вид
(18)
В состоянии с волновой функцией (18) одна из частиц находится в одночастичном состоянии с
волновой функцией
третья — в одночастичном состоянии с волновой функцией
, вторая — в одночастичном состоянии с волновой функцией
.
Волновая функция стационарного состояния системы бозонов, которому отвечают два
совпадающих индекса, например
, имеет вид
. (19)
,
В состоянии с волновой функцией (19) два бозона находятся в одночастичном состоянии
с волновой функцией
Стационарное состояние системы бозонов с
, один — в состоянии с волновой функцией
описывается волновой функцией
.
(20)
В этом состоянии все частицы находятся в состоянии с волновой функцией
.
Волновая функция любого состояния тождественных фермионов должна быть
антисимметрична относительно перестановки аргументов. Поэтому для построения волновых
функций стационарных состояний необходимо найти такие линейные комбинации тройных
произведений, которые удовлетворяют этому условию. В случае собственного состояния с
такие функции существуют. Действительно, функция
(21)
является антисимметричной. Если же хотя бы два индекса из трех совпадают, то, как видно из
(21), антисимметричная комбинация тождественно равна нулю, то есть не является собственной
7
функцией по определению. Поэтому все три фермиона могут находиться только в различных
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( )
1
( , , ) ( ) ( ) ( )
6
( ) ( ) ( )
n n n
n n n
n n n
x x x
f x x x x x x
x x x
1
()nx
2
()nx
3
()nx
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) ...
( ) ( ) ( ) ...
1
( , , ,...)
( ) ( ) ( ) ...
!
... ... ... ...
n n n
n n n
n n n
x x x
x x x
x x x
x x x
n
1/ !n
n
1 2 3
( ) ( ) ( )
i j k
n n n
x x x
одночастичных состояниях.
Легко проверить с помощью непосредственной проверки, что волновую функцию (21)
можно записать в виде определителя
. (22)
Очевидно, и волновые функции стационарных состояний любого количества
невзаимодействующих фермионов, один из которых находится в одночастичном состоянии
, второй — в состоянии
, третий —
и т. д., можно представить в виде
аналогичного определителя, который называется определителем Слэттера.
(23)
(множитель
, где
— число фермионов в рассматриваемой системе, введен из условия
нормировки). Действительно, определитель (23) представляет собой сумму слагаемых, каждое
из которых есть произведение элементов, взятых по одному из каждой его строки и каждого
столбца, то есть слагаемых вида
. При этом перестановка любых двух
аргументов волновой функции приводит к перестановке столбцов определителя, и,
следовательно, меняет его знак, то есть функция (23) антисимметрична. Отметим, что из
выражения (23) следует, что два фермиона не могут находится в одинаковом одночастичном
состоянии (то есть любые два из индексов не могут совпадать), поскольку в этом случае
определитель имеет две одинаковых строки и, следовательно, обращается в нуль. Это
утверждение называется Принципом Паули (более точную формулировку принципа Паули,
учитывающую спин фермиона, дадим в следующей лекции).
1
Модуль 4. Системы тождественных частиц
0s
1
()x
2
()x
1
()x
2
()x
0x
1
0x
2
0x
12
( , )f x x
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f x x x x x x
1/ 2
0x
2
1 2 1 2 1 2
00
( , 0) ( , )w x x dx dx f x x
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
00
* * * *
1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2
1
( , 0) ( ( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )).
w x x dx dx x x x x
x x x x x x x x
Лекция 4.2. Корреляции в движении тождественных невзаимодействующих частиц
Докажем, что в системе тождественных невзаимодействующих частиц существуют опре-
деленные корреляции в их движении, то есть некоторое взаимодействие между частицами. Для
доказательства существования такого взаимодействия рассмотрим следующий пример: пусть
есть система двух тождественных невзаимодействующих бозонов со спином
каждый, ко-
торая находится в таком состоянии, в котором один из них описывается одночастичной волно-
вой функцией
, и
, другой — одночастичной волновой функцией
. Пусть обе функции и
обладают определенной четностью (это требование не является существенным
для появления взаимодействия между частицами — просто в этом случае результаты получают-
ся более наглядными). Найдем вероятность того, что обе частицы находятся в полупространстве
.
Основная идея задачи заключается в том, чтобы построить волновую функцию системы
и проинтегрировать ее квадрат по полупространству
,
. Так как спин бозонов равен
нулю, волновая функция системы бозонов зависит только от их пространственных координат и
является симметричной относительно их перестановки. Поскольку бозоны не взаимодействуют,
волновая функция системы должна быть произведением волновых функций, зависящих от ко-
ординат только одного бозона, и быть симметричной относительно перестановки координат ча-
стиц. Поэтому волновая функция
рассматриваемого состояния системы двух бозонов
имеет вид
(множитель
введен в (1) из условия нормировки). Согласно постулатам квантовой меха-
ники вероятность того, что обе частицы системы находятся в полупространстве
ляется выражением
Подставляя функцию (1) в выражение (2), получим
(1)
. опреде-
. (2)
(3)
2
Интегралы от первого и второго, а также третьего и четвертого слагаемого равны (в этом легко
12
xx
21
xx
2
22
*
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1
0 0 0
( , 0) ( ) ( ) ( ) ( )w x x dx x dx x dx x x
1
()x
2
()x
2
1
()x
2
2
()x
22
1 1 1 2 2 2
00
1
( ) ( )
4
dx x dx x
0x
2
12
1
( , 0)
4
w x x A
A
*
1 1 1 2 1
0
( ) ( )A dx x x
1 2 1 1 2 2
( , ) ( ) ( )f x x x x
0x
1
0x
2
0x
убедиться, если сделать во втором и четвертом интеграле замены переменных интегрирования
,
Так как обе функции
). Поэтому выражение (3) можно привести к виду
и
имеют определенную четность, то функции
— четные, и из условия нормировки функций следует, что
Поэтому вероятность того, что обе частицы находятся в области
нием
, (6)
где буквой
обозначен интеграл
. (7)
. (4)
и
. (5)
определяется соотноше-
Интеграл (7), вообще говоря, не равен нулю. Поэтому вероятность (6) больше 1/4.
Если частицы были бы нетождественными, волновая функция системы имела бы вид
, и вероятность того, что обе частицы в рассматриваемом состоянии име-
ют координаты
, равнялась бы 1/4. Последний результат является естественным, посколь-
ку: (а) вероятность того, что каждая частица в рассматриваемом состоянии имеет положитель-
ную координату, равна 1/2, (б) частицы не взаимодействуют, и, следовательно, любые события,
происходящие с частицами, являются независимыми, (в) вероятность события
и
происходящего с двумя независимыми частицами, равна произведению вероятностей событий,
происходящих с каждой частицей в отдельности (теорема умножения вероятностей независи-
мых событий). Поскольку для тождественных частиц эта вероятность отличается от 1/4, то для
таких частиц утверждение (б) (и, следовательно (в)) является неверным. То есть даже невзаимо-
действующие тождественные частицы не являются независимыми. Это значит, что существует
взаимное влияние этих частиц друг на друга, приводящее к корреляциям в их движении. При-
чем, как это следует из полученных результатов, для рассматриваемой системы тождественных
,
бозонов эти корреляции носят характер притяжения (поскольку вероятность обеим частицам
3
иметь координаты, большие нуля, больше ¼). Очевидно, что влияние частиц друг на друга зави-
0x
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f x x x x x x
2
2 2 2
*
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1
0 0 0
1
( , 0) ( ) ( ) ( ) ( )
4
w x x dx x dx x dx x x A
*
1 1 1 2 1
0
( ) ( )A dx x x
1
2
1
x
2
x
сит от состояний частиц. В частности, если бы интеграл (7) от произведения волновых функций
был равен нулю, корреляции в их движении отсутствовали. Если же волновая функция системы
была бы антисимметричной, то такое взаимодействие частиц носило бы характер отталкивания,
поскольку вероятность обнаружить обе частицы в полупространстве
была бы меньше ¼.
Действительно, для антисимметричной по отношению к перестановкам координат частиц функ-
ции
(8)
имеем
, (9)
где, как и ранее
. (10)
Такое взаимодействие тождественных частиц называется обменным, поскольку его при-
рода заключается в том, что каждая частица находится и в одночастичном состоянии
ночастичном состоянии
и, следовательно, знает об обоих состояниях. Подчеркнем, что об-
, и в од-
менное взаимодействие связано с симметрией волновой функции; в обычном («потенциальном») смысле наши частицы не взаимодействуют.
Таким образом, условия симметрии волновой функции привели к удивительному эффек-
ту — сил, которые бы связывали наши частицы, — нет, а взаимодействие есть! И это связано с
тем, что благодаря симметризации волновая функция не является произведением функций, за-
висящих только от координаты
, на функцию, зависящую только от координаты
, и следо-
вательно вероятность любого события, происходящего и с первой, и со второй частицей не есть
произведение вероятности события, происходящего с первой частицей, на вероятность событи-
ия, происходящего со второй частицей. А потому согласно теореме произведения вероятностей
независимых событий события, происходящие с частицами не независимы.
Проявление обменного взаимодействия можно увидеть и вот еще на каком примере. Если
две частицы описываются симметричной функцией, то вероятность обнаружить их в одной точ-
ке удваивается по сравнению со случаем нетождественных частиц (притяжение между частица-
ми), если антисимметричной, то вероятность обнаружить частицы в одной точке пространства
Соседние файлы в предмете Квантовая механика