Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
2
Но из первого из соотношений (2) следует, что
ˆˆ
0
ii
aa
ˆˆ
ii
aa
1 2 1 2
, ,..., ,... , ,..., ,...
ˆˆ
ii
i i n n n i n n n
a a n
ˆˆ
ii
aa
1 2 1 2 1 2
2
2
, ,..., ,... , ,..., ,... , ,..., ,...
ˆ ˆ ˆ ˆ
i i i
i i n n n i i i n n n i n n n
a a n a a n
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
i i i i
a a a a
1 2 1 2 1 2
2
, ,..., ,... , ,..., ,... , ,..., ,...
ˆ ˆ ˆ ˆ
i i i
i i n n n i i n n n i n n n
a a a a n
2
ii
nn
12
ˆˆ
( , ,...) ( )
a
a
V x x V x
a
12
ˆ
ˆˆ
( , ,...)
ij i j
ij
V n n V a a
ij
V
ˆ
()
a
Vx
()ix
. Отсюда и получаем соотношение (3). С
другой стороны, определения (1) означают, что оператор
по-прежнему является
оператором числа заполнения одночастичного состояния i. А это означает, что для состояния с
определенными числами заполнения являются собственными для этого оператора
. (6)
Действуя на это равенство еще раз оператором
, получаем
. (7)
С другой стороны, так как
, то
. (8)
Сравнивая (7), (8) заключаем, что
, (9)
а, следовательно, числа заполнения одночастичных состояний равны либо нулю, либо единице,
как и должно быть согласно принципу Паули. Таким образом антикоммутационные
соотношения (2) действительно учитывают антисимметрию волновой функции.
Все остальные формулы переносятся на фермионный случай без всяких изменений. В
частности, для операторов физических величин, представляющих собой сумму одинаковых
операторов, каждый из которых действует на координату только одной частицы (импульс,
момент, кинетическая энергия и т. д.)
(10)
(индекс
нумерует частицы системы), в представлении чисел заполнения справедливо
соотношение
, (11)
где
— матричный элемент оператора
с одночастичными волновыми функциями
суммирование проводится по всем одночастичным состояниям.
Для операторов, представляющих собой сумму слагаемых, каждое из которых действует
на координаты сразу двух частиц (например, для оператора потенциальной энергии
,
взаимодействия частиц)
3
12
,
1
ˆˆ
( , ,...) ( )
2
ab
ab
V x x V x x
, (12)
1 2 ,
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ,...)
2
ij kl i j k l
ijkl
V n n V a a a a
,ij kl
V
ˆ
()
ab
V x x
в представлении чисел заполнения имеют место следующие соотношения
, (13)
где
— матричный элемент оператора
с одночастичными волновыми функциями,
суммирование проводится по всем одночастичным состояниям. И все остальные вычисления
для фермионного случая выполняются так же как и для бозонного.
Важно подчеркнуть, что использование метода вторичного квантования для вычисления
матричных элементов и средних в нерелятивистской квантовой механике существенно
упрощает вычисления, поскольку позволяет не следить за симметрией волновых функций —
она автоматически учитывается перестановочными соотношениями для операторов рождения и
уничтожения частиц. Тем не менее, вычисления матричных элементов и средних могут быть
выполнены и в координатном представлении. Важным теоретическим достоинством метода
вторичного квантования является то обстоятельство, что вторичноквантованная волновая
функция не содержит нефизических индексов, отмечающих координаты принципиально
неразличимых частиц. Кроме того, введенное в методе вторичного квантования линейное
пространство состояний систем тождественных частиц с переменным числом частиц оказалось
востребованным не только как математическая абстракция. В природе существуют процессы
рождения и уничтожения частиц, и для релятивистской квантовой теории, в которой такие
процессы рассматриваются, метод вторичного квантования является, по существу,
единственным методом вычисления матричных элементов.
1
Модуль 5. Задача рассеяния
()dN
d
()
()
dN
d
j
d
()dd
d
()Ur
Лекция 5.1. Постановка задачи рассеяния в квантовой механике. Волновая функция
задачи рассеяния
Процессом рассеяния называется отклонение частиц от первоначального движения
благодаря взаимодействию с рассеивателем. Процесс рассеяния дает информацию о
взаимодействии рассеивающихся частиц и их структуре. Первые эксперименты по рассеянию
частиц были поставлены Э.Резерфордом. На основе этих экспериментов Резерфорд построил
планетарную (ядерную) модель атома. Если в процессе рассеяния не меняется структура
рассеивающихся частиц и не меняется их внутреннее состояние, то рассеяние называется
упругим. Если внутреннее состояние частиц меняется, то рассеяние называется неупругим.
Ниже будет рассматриваться только упругое рассеяние.
В реальной постановке опытов по рассеянию (даже в классической механике, не говоря
уже о механике квантовой) мы не имеем возможности проследить за отклонением каждой
частицы: мы всегда имеем поток частиц, падающих на рассеиватель, а измеряем распределение
частиц по углу рассеяния, то есть описываем процесс рассеяния статистически — т. е. измеряем
количество частиц, рассеивающихся на разные углы. Для статистической характеристики
процесса рассеяния вводится понятие дифференциального сечения рассеяния, которое
определяется как отношение числа частиц
в малый интервал телесного угла
к плотности потока падающих частиц j
, рассеянных в единицу времени под углом
. (1)
Поскольку отношение (1) пропорционально углу
, то отношение
(2)
является характеристикой взаимодействия частиц в процессе рассеяния, и не зависит от числа
падающих частиц и телесного угла
. Эта величина, имеющая размерность площади,
называется дифференциальным сечением рассеяния. Дифференциальное сечение показывает
величину площади площадки, перпендикулярной сечению налетающего пучка, попадая в
которую частицы рассеиваются под углом . Интеграл по полному телесному углу (если он
сходится) называется полным сечением рассеяния.
Задача об упругом столкновении, как и всякая задача двух тел, сводится к задаче о
движении одной частицы с приведенной массой в поле
силового центра. В этом случае мы
2
описываем движение частиц в системе отсчета, в которой покоится центр инерции
()r
()r
ˆ
( ) ( )H r E r
2
ˆ
()
2
H U r
m
( ) 0Ur
2
( ) ( )
2
r E r
m
12
1
2
2
2
2 2 2 2
12
3
2
( ) , ,
2
( ) , ,
( ) ,
22
ikz
ikx ikx
ik x ik y
mE
r Ce k
mE
r Ae Be k
kk
r De e E
mm
рассеивающейся и рассеивающей частицы. «Возвращение назад» в лабораторную систему
отсчета совершается стандартными кинематическими методами.
Основная идея квантовомеханического описания процесса рассеяния заключается в
следующем. Волновая функция рассеивающихся частиц позволяет найти и плотность потока
падающих, и плотность потока рассеянных частиц, а, следовательно, количество рассеянных
под углом
необходимо найти волновую функцию
частиц и сечение рассеяния. Поэтому для описания процесса рассеяния
рассевающихся частиц. При этом если
рассматривается рассеяние частиц с определенной энергией E, то волновая функция
является решением стационарного уравнения Шредингера
, (3)
где
(4)
гамильтониан рассеивающихся частиц. Поскольку потенциальная энергия обращается в нуль на
больших расстояниях от рассеивающего центра, уравнение (3) переходит в уравнение
Шредингера для свободного движения (
) на больших расстояниях от рассеивающего
центра. Поэтому асимптотически волновая функция задачи рассеяния должна переходить в одну
из волновых функций свободного движения. Какую? Ведь свободное уравнение Шредингера
имеет бесконечно много решений. Рассмотрим различные решения свободного уравнения
Шредингера
Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции
будут решениями уравнения (5). Поскольку все решения типа (6) отвечают непрерывному
спектру собственных значений, они определяют поток частиц с определенной энергией,
. (5)
(6)
3
падающих на рассеивающий центр. Для выяснения физического смысла этих решений
**
2
j
mi
2
1
22
2
22
12
3
,
,
,
z
x
xy
k
j C e
m
k
j A B e
m
kk
j D e D e
mm
1
2
2
A
2
B
3
12xy
k e k e
4
2
2
( ) ,
ikr
e mE
r C k
r
1
()Ur
1
0r
вычислим плотность потока
, (7)
определяемую решениями (6). Для этих функций потоки соответственно таковы
(8)
т. е. решения (6) описывают свободные частицы, распространяющиеся в различных
направлениях: решение
решение
— два потока свободных частиц и интенсивностями, пропорциональными
— поток свободных частиц, распространяющихся вдоль оси z,
и
, распространяющихся в положительном и отрицательном направлении оси x, решение
— поток свободных частиц, распространяющихся в направлении
. Поскольку
перечисленные решения зависят только от одной координаты (той, в которой происходит
распространение потока), но не зависят от поперечных координат, они определяют очень
широкий пучок или плоскую волну частиц.
Но у уравнения (5) есть решения другой структуры. Можно проверить, что функции
(9)
представляют собой точные решения уравнения (5) для энергии E. Вычисляя поток (7) для
решений (9), заключаем, что функция (9) определяет поток частиц, распространяющихся из
начала координат (решение (9) со знаком «плюс») — расходящаяся сферическая волна, и поток
частиц, распространяющихся из бесконечности в начало координат — сходящаяся сферическая
волна
. И любая линейная комбинация функций (6) и функций (9) тоже представляет собой
точное решение уравнения (5).
Рассмотрим теперь решение уравнения Шредингера для частиц, рассеивающихся
потенциалом
То, что функции (9) обращаются в бесконечность при
начале координат должен находится либо источник («плюс» в показателе экспоненты), либо сток частиц («минус»).
связано с тем, что для создания таких потоков в
4
2
( ) ( ) ( )
2
r U r E r
m
. (10)
r
12
( , ) ( ) ( , ) ( )f r g r
1
()r
2
()r
( , )f
( , )g
2
r
( , )
ikr
ikz
fe
e
r
r
( , )f
В этом случае функции (6), (9) (и их линейные комбинации) не будут решениями уравнения
(10), но поскольку уравнение (10) имеет свободную асимптотику (в противном случае задачу
рассеяния невозможно поставить), то решения уравнения (10) описывающие задачу рассеяния
на асимптотике (при
) должно быть линейной комбинацией функций (6) и (9). Более того,
коэффициенты этой линейной комбинации могут быть не просто числами, а функциями углов.
Дело в том, что на больших расстояниях от рассеивающего центра любая функция вида
,
где
и
— точные решения свободного уравнения,
и
—
произвольные функции углов. Это связано с тем, что действующие на углы части лапласиана (в
уравнении (5)) содержат
в знаменателе и на больших расстояниях пренебрежимо малы.
Какой же линейной комбинацией функций (6), (9) является асимптотика решения уравнения (5),
описывающего задачу рассеяния?
Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим ситуацию, когда на рассеивающий центр
вдоль оси z падает плоская волна частиц. Если бы рассеивающего центра (потенциала) не было
бы, и уравнение при всех координатах описывало свободное движение, то эта функция была бы
решением уравнения (6) при всех значениях координат. Наличие потенциала приводит к тому,
что наряду с падающими частицами появляются рассеянные частицы, которые движутся от
центра потенциала, и, следовательно, описываются расходящейся сферической волной. Поэтому
решение уравнения (5), отвечающее задаче рассеяния, должно обладать такой асимптотикой
при
. Где функция
амплитудой рассеяния (для центральных потенциалов, которые только и будут рассматриваться
ниже, решение (11) должно обладать осевой симметрией по отношению к оси z, поэтому в этом
случае амплитуда рассеяния может зависеть только от полярного угла
граничное условие для волновой функции задачи рассеяния. Важно подчеркнуть, что решение
уравнения (5), с граничным условием (11) — плоская плюс расходящаяся сферическая волна —
является единственным, поэтому его нахождение позволяет однозначно определить амплитуду
рассеяния.
(11)
определяет амплитуду рассеянных частиц и называется
). Функция (11) дает
5
По функции (11) легко найти дифференциальное сечение рассеяния. Для этого по
ikz
e
/j k m
2
1
2
| ( ) |kf
j
mr
1
j
d
2
1
j r d
2
()
| ( ) |
d
f
d
22
2
0 0 0 0
( ) ( )
sin ( ) sin
dd
d d d d f d
dd
функции
находим поток падающих частиц (
), по функции (9) — поток
распространяющихся в радиальном направлении рассеянных частиц
(12)
(при этом при нахождении потока
мы дифференцировали функцию (9) только по r и только
экспоненту; остальные производные быстрее обращаются в нуль с ростом r). Количество
частиц, рассеянных в элемент телесного угла
, есть
. Отсюда находим для
дифференциального сечения рассеяния
. (13)
Таким образом, для нахождения дифференциального сечения необходимо решить уравнение
Шредингера с граничным условием (11), из этого решения найти амплитуду рассеяния, по
формуле (12) — сечение рассеяния. Интегрирование формулы (13) по телесному углу позволяет
определить полное сечение рассеяния
. (14)
1
Модуль 5. Задача рассеяния
()Ur
2
( ) ( ) ( )
2
r U r E r
m
r
()
ikr
ikz
fe
e
r
2
2
00
()
| ( ) | ,
()
2 sin 2 ( ) sin .
d
f
d
d
d f d
d
()Ur
2
2
2 ( )
( ) ( )
mU r
k r r
2
2/k mE
Лекция 5.2. Принципы вычисления сечения рассеяния. Интегральное уравнение задачи
рассеяния
В предыдущей лекции мы сформулировали принципы рассмотрения задачи рассеяния в
рамках квантовой механики. Эти принципы сводятся к следующему. Для вычисления
дифференциального и полного сечения рассеяния частиц с определенной энергией E на
потенциале
, убывающем на бесконечности, необходимо решить уравнение Шредингера
для данной энергии
. (1)
Асимптотика (при
) решения уравнения (1), описывающая задачу рассеяния, имеет вид
плоской и расходящейся сферической волны
, (2)
причем плоская волна отвечает падающим частицам, расходящаяся сферическая — рассеянным.
Амплитуда расходящейся сферической волны в формуле (2) определяет дифференциальное и
полное сечение рассеяния
(3)
Везде конечное решение уравнения (1), с граничным условием (2) — плоская плюс
расходящаяся сферическая волна — является единственным, и его нахождение позволяет
однозначно определить амплитуду рассеяния частиц в данном потенциале
Проблема, однако, заключается в том, что уравнение (1), как правило, не решается
аналитически. Поэтому приходится прибегать к приближенным методам решения уравнения (1).
Для их построения удобно перейти от дифференциального уравнения Шредингера (1) к
интегральному уравнению. Для этого перепишем уравнение Шредингера (3) в виде
где
. Для перехода от дифференциального уравнения (4) к интегральному
уравнению используем метод функций Грина.
.
, (4)
2
Функцией Грина уравнения (4) называется функция двух переменных
( , )G r r
2
( , ) ( )k G r r r r
()rr
r
0
2
2 ( )
( ) ( ) ( , ) ( )
mU r
r r G r r r dr
0
()r
( ) 0Ur
ikz
e
r
()r
||
1
( , )
4 | |
ik r r
e
G r r
rr
/
ikr
er
( ) 0Ur
0r
0r
0r
2
( , ) 1k G r r dr
0r
удовлетворяет уравнению
, (5)
, которая
где
— дельта-функция (лапласиан в (5) содержит дифференцирование по переменной
). Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция, удовлетворяющая следующему
интегральному уравнению
(6)
является решением уравнения (1). Здесь
). Если выбрать решение свободного уравнения в виде
отвечающую расходящейся сферической волне, то асимптотически при
— решение свободного уравнения (1) (с
, а функцию Грина —
функция (6)
будет удовлетворять граничному условию (2) и, следовательно, определять волновую функцию
задачи рассеяния. Подчеркнем, что выражение (6) не дает ответ для волновой функции задачи
рассеяния в квадратурах — это интегральное уравнение, поскольку функция
входит и в
левую, и в правую часть формулы (6). Однако оно гораздо удобнее для теоретических
исследований, чем дифференциальное уравнение (1) и позволяет строить приближенные методы
решения. Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция
(7)
является функцией Грина уравнения (7). Действительно, функция
уравнения (1) с
при всех значениях
. При
эта функция обращается в
является решением
бесконечность, но такую, которая связана с дельта-функцией. Действительно, если
проинтегрировать уравнение (5) по объему, включающему точку
, получим для функции
Грина
. (8)
А справедливость равенства (8) для функции (7) легко проверяется с преобразованием
объемного интеграла в поверхностный с использованием теоремы Гаусса, и вычислением
поверхностного интеграла по поверхности сферы малого объема, включающего точку
.
С использованием функции Грина (7) интегральное уравнение задачи рассеяния (6)
приводится к виду
3
||
2
( ) ( )
()
2 | |
ik r r
ikz
m e U r r
r e dr
rr
, (9)
rr
||rr
/rr
||
rr
r r r
r
r r r
2
( ) ( ) ( )
2
ikr
ikz ikr
me
r e e U r r dr
r
kr
k
r
k
k
2
( ) ( ) ( )
2
ikr
m
f e U r r dr
причем угол рассеяния
— это угол между радиус-вектором r и осью z. Для нахождения
амплитуды рассеяния нам нужно знать поведение волновой функции на больших расстояниях
от рассеивающего центра. А поскольку интегрирование в (9) ведется по области действия
потенциала, то для исследования асимптотики решения уравнения (9) необходимо оценить
интеграл в (9)
. Разлагая разность
в ряд Тейлора по малому параметру
, (10)
и подставляя это выражение в показатель степени экспоненты в формуле (9), а в знаменателе
считая, что
, получаем асимптотику решения уравнения (1) на больших расстояниях от
рассеивающего центра
, (11)
где введено обозначение
. Это значит, что вектор
(от которого интеграл (11) зависит
как от параметра) направлен по радиус-вектору r, т. е. зависит от угла рассеяния .
Следовательно, зависимость интеграла (11) и, следовательно, амплитуды рассеяния от угла
рассеяния определяется вектором
. Сравнивая (11) и (2), находим
. (12)
Формула (16) определяет амплитуду рассеяния через решение уравнения Шредингера в области
действия потенциала. Таким образом, для его использования необходимо решить уравнение
Шредингера (1) с граничным условием (6) и вычислить интеграл (12).
Соседние файлы в предмете Квантовая механика