Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лекции Муравьев с edX
.pdf
1
Модуль 1. Квазиклассическое приближение
()Ux
2
( ) ( ) ( ) 0f x k x f x
2
()kx
2
2
2
( ) ( )
m
k x E U x
2
()kx
( ) constUx
( ) constk x k
12
ikx ikx
C e C e
2
0k
| | | |
12
k x k x
C e C e
2
0k
1
C
2
C
2
()kx
( ) constkx
()fx
()kx
( ) constkx
()kx
()kx
2
( ) 0kx
Лекция 1.1. Квазиклассическое приближение: идея, функции, параметр, трудности
Число случаев, когда удается точно решить стационарное уравнение Шредингера, то есть
найти собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона, невелико. Поэтому
при решении этого уравнения приходится прибегать к приближенным методам. Одним из таких
методов является квазиклассическое приближение. Основная идея этого метода заключается в
следующем. Пусть есть одна частица, движущаяся в одномерном потенциале
. Запишем
одномерное уравнение для такой задачи в виде
, (1)
где символом
обозначена величина
. (2)
Величина
, имеющая размерность 1/дл2, при определенных значениях координат может
быть как положительной, так и отрицательной. Если потенциальная энергия частицы
(и, следовательно,
), дифференциальное уравнение (2) легко
решается. Его общее решение имеет вид
, (3)
если
, или
, (4)
если
— произвольные постоянные. Очевидно, что если величина
является «плавной» функцией координаты, решения уравнения (2) должны быть «похожи» на
функции (3), (4) и в предельном случае
заключается идея метода — если сконструировать такие функции
себе
в функции (3) или (4) (в зависимости от знака
приближенными решениями уравнения (1). Причем параметр приближения должен быть связан
с плавностью функции
первых, функции (при
(в этом можно убедиться непосредственной проверкой). В формулах (3), (4)
зависит от координаты, но
переходить в функции (3), (4). В этом и
, которые содержат в
как функцию координаты, но так, что в пределе
эти функции переходят
), то, можно ожидать, что эти функции будут
. Таких функций можно сконструировать множество. Это, во-
)
и
2
( ) ( )
12
()
ik x x ik x x
f x C e C e
Во-вторых, функции вида
12
( ) exp ( ) exp ( )
xx
aa
f x C i k t dt C i k t dt
a
1
C
2
C
( ) constkx
1
C
2
C
()kx
1 2 1 2
, ( ( )), ( ( ))C C C k x C k x
1
2
11
( ) exp ( ) ( ),
( ) exp ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ).
x
a
xx
aa
f x C i k t dt ik x
f x C i k t dt k x C i k t dt ik x
( ) constkx
( ) 0kx
( ) constkx
( ) 0kx
2
()
()
kx
kx
12
( ) exp ( ) exp ( )
xx
aa
f x C i k t dt C i k t dt
2
( ) 0kx
. (5)
. (6)
Здесь
пределе
— любое значение координаты,
в функции (3) перейдут и любые функции вида (5) и (6), в которых
зависят от координаты x через
и
— произвольные постоянные. Кроме того, в
и
:
.
Оказывается, что функции (6) оказываются более удобными, чем функции (5). Поэтому в
дальнейшем функции (5) не рассматриваются. Давайте проверим, в каких условиях функции (6)
будут приближенными решениями уравнения (1), и найдем параметр приближения.
Дифференцируя функции (6) два раза, получим (далее рассматривается экспонента с
«плюсом» — первое слагаемое выражения (6); для второго слагаемого все вычисления
аналогичны.
(7)
Из (7) заключаем, что если
, то
, и уравнение (1) точно удовлетворяется
(как и должно быть, поскольку функции (6) в пределе
уравнения (1)). А вот если
, то уравнение (1) не удовлетворяется, однако, если второе
слагаемое второй формулы (6) мало по сравнению с первым, уравнение удовлетворяется
приближенно. Параметром приближения является отношение второго слагаемого в (7) к
первому. Поэтому безразмерная величина
определяет точность приближенных решений (6), а функции
при
, и функции
переходят в точные решения
(8)
(9)
3
12
( ) exp | ( ) | exp | ( ) |
xx
aa
f x C k t dt C k t dt
(10)
2
( ) 0kx
2
( ) 0kx
2
( ) 0kx
()E U x
()E U x
1/ ( )kx
2
( ) 1 ( )
1
()
()
k x d d x
dx k x dx
kx
22
( ) / 1
()
k x k l
kl
k x k
l
/
l l mE
S ET E E l kl
v
Em
E
2
k
kS
при
называется параметром квазиклассичности. Отметим, что условие
эквивалентно условию
называются квазиклассическими решениями уравнения (1). Параметр (8)
или
или
, что в классической механике соответствует
доступной для движения частицы и запрещенной для движения области. Поэтому про функции
(9), (10) часто говорят, что они являются приближенными квазиклассическими решениями
уравнения Шредингера в классически доступной или в классически запрещенной области.
Обсудим свойства функций (9), (10). Функции (9), являющиеся приближенными
решениями в классически разрешенной области представляют собой (так же как и функции (3))
осциллирующие функции. Но в отличие от функций (3) эти функции осциллируют с
изменяющейся длиной волны
, причем параметр квазиклассичности (8) можно
записать как
,
где
— характерный масштаб изменения длины волны на расстоянии порядка длины волны.
Или, другими словами, длина волны функций (9) должна слабо меняться на расстоянии порядка
самой длины волны.
Параметр квазиклассичности можно оценить в физических терминах. С одной стороны
,
где
— характерный размер доступной для движения частицы области. С другой стороны
оценим классическое действие S для данной частицы
,
где
— энергия частицы, T — характерное время движения, v — ее скорость. Поэтому
параметр квазиклассичности можно оценить так
.
И, следовательно, квазиклассика работает, если классическое действие много больше
постоянной Планка.
4
Что касается функций (10), то это, так же как и точные решения уравнения (1) с
( ) constkx
1
x
2
x
k
()Ux
2
()kx
2
()kx
()E U x
()E U x
2
x
2
()kx
x
()Ux
1
x
2
x
x
()Ux
1
x
2
x
x
()Ux
1
x
2
x
, растущие или затухающие экспоненты, однако в отличие от (4) с переменной
длиной затухания, которая на длине порядка самой длины затухания должна изменяться слабо.
Таким образом, квазиклассическое приближение — приближение плавных
потенциалов — дает решения, которые отвечают плавно меняющимся длинам волн или длинам
затухания функций.
Основные трудности метода заключаются в том, что
параметр квазиклассичности зависит и от координат, и от
энергии, при которой мы решаем уравнение (1). Чтобы
почувствовать возможности метода, давайте разберем такой
пример. Пусть частица движется в потенциале, график
которого в зависимости от координаты частицы приведен на рисунке. В какой точке —
или
— лучше работает квазиклассическое приближение?
Ответ, казалось бы, очевиден. Квазиклассическое приближение — приближение плавных
потенциалов и работает тем лучше, чем более плавной функцией является потенциальная
энергия частицы. Но с другой стороны, точным математическим выражением плавности
потенциала является параметр (8). Т.е. производная
должна быть мала по сравнению
и обращается в нуль при
. А величина
.
(которая, конечно, связана с
пропорциональна разности
Таким образом, правильный ответ на поставленный вопрос — возможность
использования квазиклассического приближения в потенциале, показанном на рисунке, —
зависит от энергии частицы. Если энергия, при которой мы решаем уравнение (1), такова, что ей
(в том масштабе, который принят для потенциальной энергии на графике) отвечает
горизонтальная пунктирная прямая, показанная на левом рисунке, то в точке
величина
)
мала и, следовательно, квазиклссическое приближение не работает.
5
Но при этой энергии можно ожидать, что оно будет работать в точке
1
x
2
()kx
()Ux
2
( ) 0 ( )k x E U x
, поскольку большая
величина
в этой точке может сделать потенциал
плавным в квазиклассическом
смысле.
Проведенное рассмотрение показывает, что вопрос о точности квазиклассического
приближения требует аккуратного рассмотрения в каждой точке и при каждой энергии. При
этом может оказаться, что при фиксированной энергии в каких-то областях квазиклассическое
приближение является хорошим приближением для решений. А в каких-то областях — нет.
Кроме того, заведомо ясно, что в точках, в которых
(и которые на языке классической механики называются точками остановки), квазиклассическое
приближение заведомо не работает. А значит, оно не работает и в некоторых окрестностях этих
точек. Конечно, то, насколько большими являются эти окрестности, зависит от потенциальной
энергии. А если мы находимся далеко от классических точек остановки, то можно ожидать, что
квазиклассическое приближение будет работать.
1
Модуль 1. Квазиклассическое приближение
2
( ) ( ) ( ) 0f x k x f x
2
( ) 0kx
12
( ) exp ( ) exp ( ) ,
xx
aa
f x C i k t dt C i k t dt
2
( ) 0kx
12
( ) exp | ( ) | exp | ( ) | .
xx
aa
f x C k t dt C k t dt
2
()
1
()
kx
kx
2
( ) 0kx
2
( ) 0kx
( ) ( )exp ( )
x
a
f x C x i k t dt
()Cx
2
( ) ( )exp ( ) 2 ( )exp ( ) ( )
( )exp ( ) ( ) ( )exp ( ) ( ).
xx
aa
xx
aa
f x C x i k t dt C x i k t dt ik x
C x i k t dt k x C x i k t dt ik x
Напомню, что квазиклассическими решениями одномерного уравнения Шредингера
являются следующие функции:
Лекция 1.2. Уточнение метода
(1)
при
при
Точность этих решений определяется неравенством
, (4)
а малый параметр (4) называется параметром квазиклассичности.
Уточним эти решения, учтя еще одно слагаемое в разложении по параметру
квазиклассичности. Рассмотрим случай
экспоненте). Второе решение и случай
и только одно решение (с «плюсом» в
рассматривается аналогично. Будем искать
уточненное решение в виде
, (5)
(2)
(3)
где
— неизвестная функция координаты. Идея такого поиска заключается в следующем.
Главную «неплавность» решений мы уже учли (это экспонента), а теперь надо заменять все
константы на плавные функции координат так, чтобы учесть еще один порядок по параметру
квазиклассичности.
Дифференцируя функцию (5) два раза, получим
Подставляя функцию (6) в уравнение (1), заключаем, что уравнение (1) будет удовлетворяться,
если выполнено условие
(6)
2
( )exp ( ) 2 ( )exp ( ) ( ) ( )exp ( ) ( ) 0.
x x x
a a a
C x i k t dt C x i k t dt ik x C x i k t dt ik x
(7)
()Cx
2
( ) / ( )k x k x
2
( )exp ( ) ( )
x
a
C x i k t dt k x
()Cx
()Cx
2
( ) / ( )k x k x
()Cx
2
2
()
()
kx
kx
( ) ( )exp ( )
x
a
f x C x i k t dt
()Cx
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0C x k x C x k x
()
2
()
dC dk B
Cx
Ck
kx
B
12
( ) exp ( ) exp ( )
( ) ( )
xx
aa
CC
f x i k t dt i k t dt
k x k x
Однако подобрать такую функцию
так, чтобы точно удовлетворить уравнению (7), как
правило, невозможно, поскольку это отвечало бы точному решению уравнения (1), но добиться
приближенного удовлетворения уравнения можно. Действительно, в уравнении (7) есть
слагаемые разного порядка по параметру казиклассичности. Последнее слагаемое содержит
малость порядка
Поэтому если подобрать функцию
нуль, то второе слагаемое (содержащее производную плавной функции
содержать малость порядка
вторая производная от плавной функции
по сравнению с главным слагаемым
.
так, чтобы второе и третье слагаемые в (7) дали точный
) также будет
по сравнению с главным слагаемым. А, следовательно,
будет содержать дополнительную малость.
Поэтому если из (7) выбросить первое слагаемое, то это будет соответствовать пренебрежению
слагаемыми порядка
по сравнению с единицей. Т.е. в выражении
,
где функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению
(8)
учтен еще один порядок по параметру квазиклассичности. Дифференциальное уравнение (8)
легко решается. Разделяя переменные и интегрируя, получаем
,
где
— произвольная постоянная. Таким образом, функции
(9)
3
являются приближенными квазиклассическими решениями уравнения Шредингера (1) в
2
( ) 0kx
2
2
()
1
()
kx
kx
12
1
( ) exp | ( )| exp | ( )|
| ( ) | | ( ) |
xx
aa
CC
f x C k t dt k t dt
k x k x
2
( ) 0kx
2
2
()
1
()
kx
kx
классически разрешенной области (при
), справедливыми с точностью
.
Аналогично доказывается, что функции
(10)
являются приближенными квазиклассическими решениями уравнения Шредингера (1) в
классически запрещенной области (при
), справедливыми с точностью
.
1
Модуль 1. Квазиклассическое приближение
2
( ) ( ) 0
A
f x f x
x
A
22
2
( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0
A
f x k x f x k x
x
2
( ) 0kx
| ( ) | /k x A x
2
( ) 1
()
kx
kx
A
1
1
A
| ( ) | ln ln
xx
aa
dt
k t dt A A x A a
t
a
1
1 2 2
( ) exp ln exp ln
A
A
C
f x C A x C A x C x
x
Лекция 1.3. Пример использования квазиклассического приближения
Чтобы почувствовать возможности квазиклассического приближения, давайте
рассмотрим пример его использования для решения дифференциального уравнения (не
имеющего никакого отношения к квантовой механике). Итак, пусть мы имеем уравнение
, (1)
где
— некоторая положительная постоянная. Давайте найдем квазиклассическое решение
данного уравнения (без предэкспоненциального множителя и с ним) и точное решение, сравним
полученные результаты и с помощью этого сравнения обсудим возможности метода. Но, вопервых, обсудим возможность применения квазиклассического приближения и найдем условие,
когда его можно применять. Уравнение (1) имеет именно такую структуру, для которой и было
введено квазиклассическое приближение
. (2)
А поскольку
, то надо использовать функции (3) и (10) из предыдущей лекции (без
предэкспоненциального множителя и с ним). Но сначала найдем параметр квазиклассичности.
Поскольку
, то
.
Таким образом, параметр квазиклассичности не зависит от координат, и квазиклассическим
приближением можно пользоваться, если
Найдем теперь квазиклассические функции.
где
— точка с произвольной координатой. В результате квазиклассические функции без
предэкспоненциального множителя имеют вид
.
, (3)
(4)
2
(второе слагаемое с
lna
1/ | ( )|k x x
1/2
1 2 1
2
1/2
( ) exp ln exp ln
| ( )| | ( )|
A
A
C C C
f x A x A x C x
k x k x
x
()f x x
( 1) 0A
12
1/ 4 1/ 2, 1/ 4 1/ 2AA
1/ 4 1/2
1
2
1/ 4 1/2
()
A
A
C
f x C x
x
1A
1/ ( )kx
1/ A
в (3) «вошло» в произвольные постоянные в (4)). Уточненные
квазиклассические решения (с предэкспоненциальным множителем
) имеют вид
. (5)
Найдем теперь точное решение уравнения (1). Ищем решение в виде
,
где
условие на
— некоторое неизвестное число. Подставляя эту функцию в уравнение (1), получим
.
Отсюда
.
А соответствующее точное решение уравнения (1) имеет вид
. (6)
Сравнение решений (4), (5) и (6) показывает, что квазиклассическому приближению удалось
воспроизвести основные черты точного решения, причем при
такое воспроизведение
является хорошим. Кроме того, при учете предэкспоненциального множителя в
квазиклассическом решении (
перед экспонентой) в показатели степени
квазиклассического решения учитывается еще одно слагаемое в разложении по степеням
.
Соседние файлы в предмете Квантовая механика