Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.
П.В. Купцов, А.В. Купцова
Читай и работай: самоучитель по физике для студентов вузов.
Электричество и магнетизм
Учебное пособие для студентов технических вузов
Электронное издание локального распространения
Саратов 2019
Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком.
Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.
УДК 53 (075) ББК 22.3
К 92
Рецензенты:
Кафедра медбиофизики имени проф. В. Д. Зёрнова Саратовского государственного медицинского университета имени В. И. Разумовского Министерства здравоохранения Российской Федерации
(кандидат физико-математических наук М. В. Поздняков)
Доктор физико-математических наук, профессор главный научный сотрудник Саратовского филиала Института
радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова Российской академии наук
С. П. Кузнецов
Одобрено редакционно-издательским советом
Саратовского государственного технического университета
Купцов П.В.
К 92 Читай и работай: самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм: учеб. пособие [Электронный ресурс] / П.В. Купцов, А.В. Купцова. — Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2019. Системные требования: для локального распространения: Windows 98, 2000, XP, Vista. CDROM, Acrobat Reader, клавиатура, мышь, локальная сеть. — Загл. С экрана. ISBN 978-5-7433-3301-1
Учебное пособие содержит комплект задач, которые могут быть использованы как для самостоятельного изучения физики, так и для организации практических занятий в вузе. Каждая задача дана в трёх вариантах. Первый — тренировочный, он полностью разобран. Два других варианта предназначены для самостоятельного решения. Задачи разделены на девять тем, что соответствует одному семестру физики, включающему изучение электричества и магнетизма. Предназначено для студентов технических вузов.
ISBN 978-5-7433-3301-1 |
c |
Саратовский государственный |
|
|
технический университет, 2019 |
|
c |
|
Купцов П.В., Купцова А.В., 2019 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
1 Напряжённость и потенциал электрического поля. . . . . . . . . . |
7 |
|
1.1 |
Поле тонкого стержня, принцип суперпозиции . . . . . . . . . . |
7 |
1.2 |
Поле диска, принцип суперпозиции . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
1.3 |
Поле бесконечного цилиндра, теорема Гаусса . . . . . . . . . . |
17 |
1.4 |
Поток вектора напряжённости через грани куба . . . . . . . . . |
19 |
1.5Поле объёмного заряда, теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6Электрон в цилиндрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Диэлектрики в электрическом поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
2.1 Сила, действующая на диполь . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
2.2Работа поля по поляризации диэлектрика . . . . . . . . . . . . . 32
2.3Средняя объёмная плотность связанных зарядов . . . . . . . . . 36
2.4Поверхностные плотности зарядов на сферическом диэлектрике . 38
2.5Поле заряженного шара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 |
Условия на границе раздела диэлектриков . . . . . . . . . . . . |
44 |
3 Конденсаторы. Энергия электрического поля . . . . . . . . . . . . |
47 |
|
3.1 |
Электроёмкость конденсатора с постоянной проницаемостью . . |
47 |
3.2 |
Электроёмкость конденсатора с переменной проницаемостью . . |
49 |
3.3 |
Ёмкость системы конденсаторов . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
3.4 |
Работа по изменению размера плоского конденсатора . . . . . . |
53 |
3.5 |
Энергия искры, возникающей при изменении ёмкости . . . . . . |
56 |
3.6 |
Энергия поля заряженного шара . . . . . . . . . . . . . . . . . |
58 |
4Энергия тока. Закон Ома и правила Кирхгофа. . . . . . . . . . . . 62
4.1Максимальная мощность источника ЭДС . . . . . . . . . . . . . 62
4.2Тепло при разрядке конденсатора . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3Сопротивление неоднородного проводника . . . . . . . . . . . . 66
4.4 |
Закон Ома для замкнутой неоднородной цепи . . . . . . . . . . |
69 |
4.5 |
Закон Ома для участка неоднородной цепи . . . . . . . . . . . . |
71 |
4.6 |
Правила Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
74 |
5 Магнитное поле в вакууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
77 |
|
5.1 |
Магнитное поле проводника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
77 |
5.2Действие петли с током на саму себя, закон Ампера . . . . . . . 79
5.3Взаимодействие прямых проводников, сила Ампера . . . . . . . 81
5.4 |
Магнитное поле в центре заряженного вращающегося тела . . . |
82 |
5.5 |
Частица в электрическом и магнитном полях . . . . . . . . . . . |
85 |
5.6 |
Магнитное поле объёмного проводника . . . . . . . . . . . . . |
88 |
3
6 Магнитное поле в веществе. Магнетики . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
|
6.1 |
Магнитная проницаемость вещества в магнитном поле . . . . . |
92 |
6.2 |
Сила, действующая на контур с током в магнитном поле . . . . . |
94 |
6.3 |
Сила, действующая на диамагнитный шарик в магнитном поле . |
96 |
6.4Зависимость магнитной восприимчивости от температуры . . . . 99
6.5Граничные условия для магнитного поля . . . . . . . . . . . . . 101
6.6 Тороидальный соленоид с зазором . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7 Электромагнитная индукция, самоиндукция, взаимная индукция . 106
7.1 |
Контур вращается в однородном магнитном поле . . |
. . . . . . 106 |
7.2 |
Заряд, протекающий через контур при включении поля |
. . . . . 108 |
7.3 |
Взаимная индуктивность двух контуров . . . . . . . |
. . . . . . 110 |
7.4ЭДС на концах проводника, вращающегося в магнитном поле . . 112
7.5Индуктивность узкого прямоугольного контура . . . . . . . . . . 114
7.6Большой и маленький контуры. Теорема взаимности . . . . . . . 117
8 Энергия и работа магнитного поля. Преобразование электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.1 |
Энергия магнитного поля соленоида . . . . . . . . . . . . |
. |
. |
. 121 |
8.2 |
Работ по перемещению контура в магнитном поле . . . . . |
. |
. |
. 122 |
8.3 |
Энергия поля в соленоиде с ферромагнитным сердечником |
. |
. |
. 123 |
8.4Инварианты электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.5Преобразование электромагнитного поля при переходе в другую
систему отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. 127 |
|
8.6 Поверхностный заряд, индуцируемый при движении в магнит- |
|
|
ном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. 130 |
|
9 Колебательный контур и переменный ток . . . . . . . . . . . . . |
. 133 |
|
9.1 |
Амплитуда колебаний в контуре без потерь . . . . . . . . . . . |
. 133 |
9.2 |
Мощность, подводимая к контуру с активным сопротивлением |
. 136 |
9.3Энергия, теряемая контуром за период . . . . . . . . . . . . . . 140
9.4Время, за которое энергия контура уменьшится в три раза . . . . 141
9.5Закон Ома для цепи переменного токах . . . . . . . . . . . . . . 143
9.6Мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока . . . . . . . 145
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4
ВВЕДЕНИЕ
Существует очень большое количество задачников по физике для вузов. Однако практически всегда в них просто собрано большое количество задач по разным темам, иногда снабжённых краткой теорией. Многолетний опыт работы с такими задачниками показывает, что наилучшим образом они пригодны для работы с отдельными, высокомотивированными и одарёнными учащимися. Для основной массы требуется более систематический подход, который, как представляется, должен включать, во-первых, наличие нескольких однотипных задач по каждой теме и, во-вторых, — конкретное и точное изложение материалов занятия, пригодное для передачи учащимся с целью организации их самостоятельной работы. Простого указания в качестве домашней работы номеров из задачника недостаточно — многие учащиеся не успевают достаточно хорошо усвоить материал в аудитории, чтобы потом самостоятельно работать со стандартным задачником.
В отличие от традиционных задачников, в настоящем учебном пособии каждая задача представлена в трёх вариантах. Сначала предлагается тренировочный вариант. Для него приведено подробное решение, которое студенту необходимо разобрать. Чтобы стимулировать неформальное отношение к работе, часть промежуточных выкладок опущена. Их нужно выполнить самостоятельно. Желательно либо законспектировать решение тренировочного варианта, либо распечатать текст решения и заполнить пропущенные места прямо в распечатке.
После тренировочного варианта приведены две задачи для самостоятельного решения. Существенный момент состоит в том, что эти задачи максимально похожи на тренировочную, и студент будет в состоянии их решить при условии, что тренировочный вариант тщательно проработан.
Задачи разделены на девять тем, что соответствует одному семестру курса физики. Каждая тема может изучаться в течение одного или двух аудиторных занятий. В первом случае студентам предлагается решить по одной самостоятельной задаче на выбор, во втором необходимо решить обе задачи.
Каждая тема начинается с перечня используемых в дальнейшем формул и законов, которые рекомендуется законспектировать и заучить. По мере необходимости в начале темы приводятся также справочные данные. При решении задач в качестве исходных разрешается брать формулы из материалов для запоминания и из справочных материалов. Если формула получена в тренировочном варианте, то при самостоятельном решении требуется воспроизвести этот вывод. В готовом виде такие формулы использовать нельзя. Также нельзя использовать готовые формулы, взятые из сторонних учебников.
5
Вероятно, в ходе решения задач потребуется более глубоко ознакомиться с теоретическим материалом. Для этого можно использовать различные учебники по курсу физики для вузов. Например, можно порекомендовать книги И.В. Савельева [1] и И.Е. Иродова [2], а также третий том учебника Д.В. Сивухина [3]. При необходимости большее количество задач можно найти в задачниках указанных авторов [4—6], а также в задачниках А.Г. Чертова и А.А. Воробьева [7] и В.С. Волькенштейн [8].
6
ТЕМА 1. НАПРЯЖЁННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
|
ПОЛЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (законспектировать и выучить) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
# |
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Напряжённость поля точечного заряда: E = q e r/(4πε0r2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Потенциал поля точечного заряда: ϕ = q/(4πε0r). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
# |
= − grad ϕ. |
|
|
||||||
Вычисление напряжённости при известном потенциале: E |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
# |
# |
# |
|
||
|
потенциала при известной напряжённости: |
|
|
|
|
r |
2 |
|
. |
|||
Вычисление |
ϕ1 |
−ϕ2 |
= R r |
1 |
Ed r |
|||||||
# |
# # |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
|
|
Поток вектора E через поверхность S: Φ = RS EdS . |
|
|
# |
# |
|
|
|
|
|
|||
Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля: HS EdS |
= q/ε0. |
|
|
|||||||||
Работа электрического поля: A = qU.
Справочник
ε0 = 8.85 × 10−12 Ф/м2.
Z dx/√a2 + x2 = ln(x + √a2 + x2).
Z dx/(a2 + x2)3/2 = x/ a2√a2 + x2 .
Задача 1.1 Поле тонкого стержня, принцип суперпозиции
Тренировочный вариант. Тонкий заряженный стержень имеет постоянную линейную плотность заряда λ. Длина стержня равна `, стрежень находится в пустоте. Используя принцип суперпозиции, найдите напряжён-
#
ность E и потенциал ϕ поля на оси Y , перпендикулярной стержню и про-
ходящей через его центр. Ответ: E(y) = λ`/(2πε0y√`2 + 4y2), ϕ(y) = [λ/(2πε0)] ln h(` + √`2 + 4y2)/(2|y|)i.
Решение (законспектировать). Нарисуем схему. Расположим координат- |
||||||||
ные оси так, чтобы ось X была направлена вдоль стержня, а его центр |
||||||||
поместим в начало координат. |
− x |
|
|
x x + dx X |
||||
Из экспериментов известно, что то- |
|
|
||||||
чечный заряд создаёт вокруг себя −ℓ/2 |
|
|
ℓ/2 |
|||||
электрическое |
поле, |
напряжённость |
|
|
|
r |
||
которого равна |
|
|
|
|
|
#» |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
dEx |
y |
|
# |
= |
q e |
r |
|
|
|
|
|
E |
|
, |
|
#» |
|
#» |
||
|
|
4πε0r2 |
|
|
dE |
|
dE′ |
|
|
|
|
|
|
|
#» |
|
|
|
|
|
|
|
|
dEy |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где # — единичный вектор, направленный от заряда в точку, в которой мы e r
вычисляем напряжённость, а заряд q может быть как положительным, так и отрицательным.
Также мы знаем, что если поле создаётся несколькими зарядами, то напряжённость результирующего поля следует искать как векторную сумму напряжённостей, создаваемых каждым из зарядов (принцип суперпозиции).
Однако в задаче нам требуется найти поле, создаваемое не точечными зарядами, а заряженным стержнем.
Идея решения состоит в том, чтобы поделить стержень на бесконечно малые фрагменты. В силу малости мы можем считать их точечными и искать поле по известной формуле. Затем нужно сложить поля всех фрагментов, используя принцип суперпозиции.
Выберем на стержне точку x. Рассмотрим в окрестностях этой точки бесконечно малый фрагмент стержня длиной dx. Считая его точечным, найдём поле, который он создаёт в точке, находящейся на расстоянии y от центра стержня.
Стержень имеет постоянную линейную плотность заряда λ, которая вычисляется как λ = Q/`, где Q — полный заряд стержня. Эта величина имеет размерность [ Кл/м] и означает, что заряд равномерно «размазан» по всей длине. Чтобы вычислить заряд фрагмента длиной x, нужно умножить длину фрагмента на λ: λ x.
Таким образом, заряд нашего бесконечно малого фрагмента равен dq = λdx. Тогда в точке, показанной на рисунке, поле можно найти по формуле
|
|
|
# |
|
# |
|
|
# |
|
dq e r |
|
λdx e r |
|
|
dE |
= |
|
= |
|
. |
|
4πε0r2 |
4πε0r2 |
||||
# |
вместо q |
# |
|
|
|
|
(Мы пишем dq и dE |
и E, так как из-за бесконечной малости |
|||||
фрагмента dx эти величины также становятся бесконечно малыми).
Чтобы получить вектор d#, найдём его компоненты, направленные вдоль
E
координатных осей. Рассмотрим сначала вектор d# . Из-за симметрии за-
Ex
дачи фрагмент стержня, расположенный в точке (−x), будет создавать поле dE#0, такое, что его горизонтальная компонента будет совпадать по модулю
с d# и направлена в противоположную сторону:
Ex
d#0 = −d#
Ex Ex.
Отсюда следует, что горизонтальны компоненты будут взаимно уничтожать-
ся и нам достаточно учитывать только d# .
Ey
8
Направление вектора d# известно, осталось вычислить его длину:
Ey
dEy = dE cos α = 4λdx 2 cos α. πε0r
Выразим r через x и y. По теореме Пифагора, запишем
r = |
|
. |
|
|
|
Найдём теперь cos α:
cos α = |
|
. |
|
||
|
||
|
|
|
Подставим найденные выражения в формулу для поля:
# |
= |
. |
dE |
Теперь нужно применить принцип суперпозиции и просуммировать вклады каждого фрагмента. Это сводится к интегрированию вдоль стержня:
`/2 |
|
|
E(y) = Z |
|
. |
|
||
|
||
−`/2 |
|
|
|
|
|
Вынесем множители, не зависящие от переменной интегирования x, за знак интеграла:
|
λy |
`/2 |
|
|
|
E(y) = |
|
Z |
|
|
. |
|
|
|
|||
4πε0 |
|||||
|
|
−`/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Значение этого интеграла возьмём из справочника. Затем используем формулу Ньютона—Лейбница:
|
|
|
|
|
λy |
|
|
|
|
|
`/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4πε |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
λy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4πε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|||
|
|
||
|
|
|
|
В итоге получим искомое значение напряжённости:
E(y) = |
|
. |
|
||
|
||
|
|
|
Потенциал вычисляется по той же схеме. Однако, так как потенциал — это скаляр, проекции вычислять не нужно.
Потенциал точечного заряда равен |
|
|
ϕ = |
q |
|
|
. |
|
4πε0r |
||
Потенциал поля, создаваемый в рассматриваемой точке бесконечно малым фрагментом стержня, находящимся в точке x, равен
dϕ = 4λdx . πε0r
При помощи теоремы Пифагора выразим r через x и y:
r = |
|
. |
|
|
|
10