Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

Согласно формуле q = CU, коэффициент пропорциональности между q и U есть искомая электроёмкость:

Задача 3.2а (решить самостоятельно). Вычислить электроёмкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, проницаемость которого растёт по линейному закону от ε1 на первой обкладке до ε2

на второй. Площадь обкладок S, расстояние между обкладками d. Ответ: C = ε0(ε2 − ε1)S/[d ln(ε2/ε1)].

Задача 3.2б (решить самостоятельно). Вычислить электроёмкость цилиндрического конденсатора высотой h, заполненного диэлектриком, проницаемость которого меняется по закону ε(r) = α/r, где r — расстояние от оси цилиндра, α — некоторая константа. Радиусы обкладок r1 и

r2, r1 < r2. Ответ: C = 2πε0hα/(b − a).

Решение (законспектировать). Эту и подобные ей задачи можно решить, перерисовав схему таким образом, чтобы стали явно видны параллельные и последовательные соединения конденсаторов. В данном случае схема приводится к виду, когда на одной ветке последовательно включены C5 и C3, на другой C1 и C4, а конденсатор C2 вообще не задействован, так как потенциалы на его клеммах одинаковы. Отсюда сразу следует ответ задачи C14 = C. Однако для цепей со сложной структурой его применение становится крайне затруднительным. Поэтому мы будем решать задачу иначе.

Обозначим на схеме цифрами вход, выход и узлы, связывающие два или более конденсатора. Идея решения — найти ёмкость из формулы

Q = C14U14

51

Здесь U14 = ϕ1 −ϕ4 — разность потенциалов между точками 1 и 4, а Q — это полный заряд на обкладке «виртуального» конденсатора C14, которым мы заменяем систему конденсаторов и ёмкость которого мы ищем.

Из рисунка видно, что Q равен сумме зарядов на обкладках конденсаторов

C1 и C5,

Q = q1 + q5.

Также Q можно вычислить как сумму зарядов на обкладках C3 и C4,

Q = q3 + q4.

Напомним, что конденсаторы всегда считаются электрически нейтральными, то есть отрицательный заряд одной из обкладок всегда по модулю равен положительному заряду на другой. Поэтому в приведённых выше двух формулах для Q мы всегда имеем ввиду модули зарядов, т. е. считаем все величины положительными.

Выразим заряды через ёмкости и разности потенциалов на их клеммах. Важный момент — записывая разности потенциалов, их нужно брать в порядке убывания потенциала. Будем полагать, что потенциал убывает слева направо, т. е. ϕ1 > ϕ4. Следовательно:

q1 = C1(ϕ1 − ϕ2),

q4 = C4(ϕ2 − ϕ4).

Теперь приравняем выражения для Q:

q1 + q5 = q3 + q4.

Подставим сюда выражения для зарядов и получим формулу, связывающую потенциалы:

52

Наконец, возьмём одну из двух формул для Q, например Q = q3 + q4, снова выразим в ней заряды через ёмкости и разности потенциалов.

Q = C3(ϕ3 − ϕ4) + C4(ϕ2 − ϕ4).

Затем, учтя, что C3 = C4 = C, применим только что полученную формулу

Задача 3.4 Работа по изменению размера плоского конденсатора

Тренировочный вариант. Плоский конденсатор ёмкостью C1 = 300 мкФ зарядили до напряжения U1 = 280 В, а затем увеличили расстояние между обкладками в n = 3 раза. Вычислить работу, которая была при этом совершена если во время увеличения расстояния конденсатор был (а) отключён и (б) подключён к источнику питания. Как интерпретировать случай, когда работа получается отрицательной? Ответ: Aа = 23.52 Дж, Aб = −7.84 Дж.

Решение (законспектировать). Прежде всего вычислим электроёмкость конденсатора C2 после изменения расстояния между обкладками. Для плоского конденсатора имеем

53

По условию задачи

d2 = nd1.

Следовательно,

Теперь рассмотрим случай (а), когда конденсатор предварительно отключили от источника питания.

Так как источника питания больше нет, то напряжение на обкладках может измениться. Напротив, заряд останется прежним потому что обкладки ни к чему не подключены и заряд не может никуда стечь. Также неоткуда появиться новому заряду. Таким образом, в силу известной формулы q = CU, имеем

C1U1 = C2U2.

Подставим сюда полученную выше формулу, связывающую C1 и C2, и найдём напряжение на конденсаторе во втором случае:

Теперь можно вычислить работу как разность энергий в конденсаторе до и после изменения расстояния между обкладками:

Aа = W2 − W1.

Используем формулу для энергии конденсатора W = CU2/2:

Подставив сюда формулы, выражающие C2 через C1 и U2 через U1, получим

54

Теперь подставим числа и получим ответ:

Положительная работа означает, что механическая энергия, используемая для увеличения расстояния между обкладками, преобразуется в энергию электрического поля в конденсаторе.

Обратимся к случаю (б). Если конденсатор всё время подключён к источнику питания, то, очевидно, его напряжение не меняется, U1 = U2. При этом заряд может измениться. Следовательно, используя формулу q = CU,

Подставив сюда формулу, выражающую C2 через C1, получим

Преобразуем формулу для энергии конденсатора W = CU2/2, выразив напряжение через заряд по формуле q = CU:

W = 2qC2 .

Теперь мы готовы найти работу:

Снова выразив энергию конденсатора через напряжение и ёмкость, окончательно получим

55

Подставив числа, получим

Отрицательная работа означает, что энергия электрического поля преобразуется в механическую энергию перемещения обкладок.

Задача 3.4а (решить самостоятельно). Плоский конденсатор ёмкостью

C = 250 нФ зарядили до напряжения U = 500 В, а затем увеличили площадь обкладок в n = 2 раза. Вычислить совершённую при этом работу, если во время изменения площади конденсатор был (а) отключён и (б) подключён к источнику питания. Как интерпретировать случай отрицательной работы? Ответ: Aа = −15.625 мДж, Aб = 31.25 мДж.

Задача 3.4б (решить самостоятельно). Находящийся в дистиллированной воде (диэлектрическая проницаемость ε = 81) плоский конденсатор ёмкостью C = 600 мкФ зарядили до напряжения U = 50 В, а затем вынули на воздух. Вычислить работу, которая была при этом совершена, если конденсатор во время извлечения был (а) отключён и (б) подключён к источнику питания. Как интерпретировать случай отрицательной работы? Ответ: Aа = 60 Дж, Aб = −0.74 Дж.

Задача 3.5 Энергия искры, возникающей при изменении ёмкости

Тренировочный вариант. Когда к конденсатору C1 = 500 пФ, заряженному до напряжения U1 = 2.2 кВ и отключённому от источника питания, присоединили параллельно второй ёмкостью C2 = 800 пФ, между контактами проскочила искра. Определить энергию искры. Ответ: Wиск = 745 мкДж.

Решение (законспектировать). В задаче есть две ситуации. Первая — конденстатор C1 заряжен и отключён от источника питания. Вторая — к Ñ1 подключили второй конденсатор C2. В первом случае конденсатор накопил энергию W1, во втором энергия системы конденсаторов оказалась равной некоторой величине W12. Так как при подключении проскочила искра и других источников энергии, кроме первого конденсатора, у нас нет, по закону сохранения энергии можно записать

W1 = Wиск + W12.

Следовательно, нужно найти W1 и W12.

56

Так как нам известна ёмкость C1 и напряжение U1 первого конденсатора, его энергию можно сразу найти:

Для вычисления энергии W12 необходимо знать напряжение U12, которое установится после подключения второго конденсатора.

Если бы источник питания не был отключён, то тогда U12 = U1. Но в нашем случае это не так. С другой стороны, так как источник питания отключён, заряд q1, первоначально накопленный на первом конденсаторе, ни как не может измениться: ему некуда стечь и неоткуда появиться новому заряду. Поэтому при подключении второго конденсатора заряд перераспределится таким образом, что его суммарное количество останется прежним:

q12 = q1.

Заряд конденсатора связан с напряжением и ёмкостью формулой q = CU. Так как второй конденсатор подключили параллельно, результирующая ёмкость пары конденсаторов C12 равна сумме ёмкостей. Таким образом, из равенства зарядов следует

57

Задача 3.5а (решить самостоятельно). Когда к конденсатору C1 = 300 пФ, заряженному до напряжения U = 1.8 кВ и отключённому от источника питания, присоединили параллельно второй конденсатор, между контактами проскочила искра с энергией Wиск = 400 мкДж. Во сколько раз ёмкость второго конденсатора больше первого, если известно, что она заведомо больше чем в два раза. Ответ: n = 4.35.

Задача 3.5б (решить самостоятельно). Когда к заряженному и отключённому от источник питания конденсатору присоединили параллельно второй конденсатор, между контактами проскочила искра. Энергия искры оказалась равной четверти энергии, первоначально запасённой в первом конденсаторе. Найти, во сколько раз ёмкость второго конденсатора меньше первого. Ответ: n = 3.

Задача 3.6 Энергия поля заряженного шара

Тренировочный вариант. Шар из диэлектрика с проницаемостью ε = 3 радиусом R = 3 см равномерно заряжен по объёму, так что его полный заряд равен q = 15 мкКл. Определить энергию создаваемого шаром электрического поля, если диэлектрическая проницаемость вне шара равна ε = 1.

Ответ: W = 36 Дж.

Решение (законспектировать). Для вычисления энергии поля используем формулу для объёмной плотности энергии

# # w = E2D.

Общая идея решения — разобъём всё пространство на бесконечно малые фрагменты объёмом dV . Энергия, заключённая в каждом таком фрагменте, равна wdV . Ответ получится после интегрирования по всему пространству.

S

Здесь qr — это свободные заряды, находящиеся внутри поверхности интегрирования S. Напомним, что вообще говоря, кроме свободных, в диэлектрике также имеются нескомпенсированные связанные заряды, величина

#

которых нам неизвестна. Однако они не входят в теорему Гаусса для D.

58

Выберем в качестве S сферу радиуса r, r < R. На поверхности этой сферы

#

D постоянен по модулю и всегда направлен по нормали к ней. Следовательно, интеграл в левой части превращается в произведение модуля D на площадь поверхности сферы. В правой части заряд qr равен произведению объёма сферы S на объёмную плотность заряда ρ:

Здесь объёмная плотность заряда ρ равна отношению полного заряда шара

q к его объёму:

ρ = 4 3q 3 . πR

Подставим ρ в предыдущую формулу и выразим D:

Теперь, вспомнив, что = # # 2, найдём объёмную плотность энергии: w ED/

Заметим, что из-за симметрии поля, w зависит только от расстояния до центра шара r. Следовательно, нужно разбить шар на бесконечно тонкие шаровые слои радиусом r и толщиной dr. В пределах такого слоя объёмную плотность энергии можно считать постоянной. Поэтому энергию, заключённую в этом слое, можно вычислить следующим образом:

59

Проинтегрируем dW по r от 0 до R, чтобы получить энергию поля, заключённую внутри шара:

Теперь вычислим энергию поля вне шара. Снова воспользуемся теоремой Гаусса, чтобы найти D. Опять рассмотрим сферу радиуса r, но теперь r > R. Левая часть будет такой же, как и в прошлом случае, а справа независимо от r всегда будет стоять полный заряд шара q:

Выразим отсюда D:

Теперь получим E:

E =

и найдём w:

Рассмотрим шаровой слой радиусом r и толщиной dr и запишем его энергию:

60