Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

Задача 1.4б (решить самостоятельно). В центре куба расположен заряд q. Найти поток создаваемого зарядом вектора напряжённости электриче-

ского поля # через каждую из граней куба. Φ = (6 ).

E Ответ: q/ ε0

Задача 1.5 Поле объёмного заряда, теорема Гаусса

Тренировочный вариант. В окрестности некоторой точки пространства объёмная плотность заряда меняется по закону ρ(r) = a/r, где a — кон-

#

станта, а r — расстояние до этой точки. Вычислить напряжённость поля E и потенциал ϕ как функции r. Потенциал в точке r = 0 принять равным

Решение (законспектировать). Так как заряд распределён сферически симметрично, напряжённость поля можно найти при помощи теоремы Гаусса.

I EdS = q .

S ε0

Кроме того, из-за сферической симметрии в каждой точке поверхности модуль вектора E будет одним и тем же. Значит, E можно вынести из под знака интеграла и легко вычислить сам интеграл:

В этой формуле q — полный заряд, находящийся внутри сферы радиуса r. Так как объёмная плотность заряда в нашем случае зависит от r, для вычисления q нужно выполнять интегрирование.

Построим внутри сферы радиуса r бесконечно тонкий сферический слой радиуса s и толщиной ds. На рисунке этот слой выделен штриховкой.

21

Так как слой бесконечно тонкий, внутри него объёмную плотность заряда можно считать постоянной и равной ρ(s). Заряд слоя можно вычислить как произведение его объёма dV на ρ(s).

Объём бесконечно тонкого сферического слоя равен произведению его толщины ds на площадь поверхности сферы радиусом s:

Чтобы вычислить заряд внутри сферы радиусом r, нужно сложить заряды всех её внутренних слоёв. Это сводится к интегрированию по s в пределах от 0 до r:

Вернёмся теперь к формуле теоремы Гаусса:

Подставим сюда найденное выражение для q и выразим E:

22

Вычислим теперь потенциал. Используем формулу

# r 1

В общем случае в этой формуле интеграл вычисляется от точки с радиусом-

ном направлении. Поэтому мы будем искать потенциал вдоль произвольной

#

прямой, выходящей из начала координат. При этом всегда E сонаправлен с

d#, и можно вместо векторов рассматривать их модули. r

ϕ1 − ϕ2 = Zr2 Edr.

r1

По условию задачи потенциал в начале координат равен нулю. Поэтому положим r1 = 0 и вместо r2 будем писать просто r. В итоге получим

Zr

ϕ(r) = − Edr.

0

Подставим сюда найденное ранее выражения для E:

Вынеся из-под знака интеграла все константы, вычислим его значение:

Задача 1.5а (решить самостоятельно). В окрестности некоторой точки пространства объёмная плотность заряда меняется по закону ρ(r) = ar, где a — константа, а r — расстояние до этой точки. Вычислить напряжён-

23

Задача 1.5б (решить самостоятельно). В окрестности некоторой прямой в пространстве объёмная плотность заряда имеет цилиндрическую симметрию, изменяясь по закону ρ(r) = a/s, где a — константа, а r —

#

расстояние до этой прямой. Вычислить напряжённость поля E и потенциал ϕ как функции r. Потенциал при r = 0 принять равным нулю.

Задача 1.6 Электрон в цилиндрическом поле

Тренировочный вариант. Электровакуумный прибор имеет два электрода в форме длинных коаксиальных цилиндров. Внутренний с радиусом R1 выполняет функцию катода и заряжен отрицательно. Внешний — анод — заряжен положительно и имеет радиус R2. На электроды подано напряжение U. Найдите скорость электрона с массой me и зарядом e, которую он будет иметь на расстоянии, равном среднему геометрическому радиусов электродов, если, покидая катод он имеет нулевую начальную скорость. Указание: используйте теорему Гаусса для нахождения напряжённости поля между электродами. Ответ: v = qeU/me.

Решение (законспектировать). Для решения потребуется формула для напряжённости поля. Выше подробно разобрана задача о поле заряженного цилиндра. Напомним её решение.

Принимая во внимание цилиндрическую форму электрода, можно сразу ска-

#

зать, что поле будет направлено по радиусу. Поэтому поток вектора E через верхнее и нижнее основания цилиндрической поверхности S будет равен нулю, а поток через боковые поверхности можно найти как произведение модуля напряжённости поля E на площадь боковой поверхности:

Мы здесь учли, что модуль напряжённости поля в каждой точке на боковой поверхности будет одним и тем же, а по направлению этот вектор всегда совпадает с нормалью к боковой поверхности. Таким образом, формулу

24

Подставляя q в предыдущую формулу и выражая E, получим искомую формулу для поля, создаваемого катодом:

Нарисуем теперь схему прибора. Отметим на ней заряды электродов. В силу цилиндрической симметрии нам потребуется

только одна координатная ось, направленная по радиусу. Обозначим её через r. Вектор напряжённости электрического поля, который должен смотреть от плюса к минусу, в данном случае направлен по радиусу в сторону центра системы.

Ход решения задачи будет следующим. Сначала используем формулу связи напряжённости и потенциала, чтобы для заданной разности потенциалов между электродами U найти линейную плотность заряда катода λ. Затем вычислим разность потенциалов U0 между катодом и точкой, до которой долетает электрон. Зная U0, найдём работу по перемещению электрона, ко-

25

торая идёт на приращение его кинетической энергии. Наконец, из кинетической энергии вычислим скорость.

Зная поле, разность потенциалов можно найти по следующей формуле:

# r 1

Здесь ϕ1 — потенциал на катоде и ϕ2 — потенциал на аноде. Так как анод заряжен положительно, удобно ϕ1 принять за ноль. Тогда

ϕ2 = U.

Интегрирование будет производиться вдоль одной и той же прямой — ради-

одной прямой и направлены в противоположенные стороны. Следовательно:

Сократим минусы слева и справа, подставим сюда полученное выше выражение для E и вычислим интеграл:

26

Работа поля идёт на приращение кинетической энергии электрона:

Подставим сюда выражения для A, используем найденное значение для U0 и, наконец, выразим v:

,

,

Задача 1.6а (решить самостоятельно). Электровакуумный прибор имеет два электрода в форме концентрических сфер. Внутренняя сфера — катод — имеет радиус R1 и заряжена отрицательно. Внешняя сфера — анод — имеет радиус R2 и заряжена положительно. На электроды подано напряжение U. Найдите скорость электрона с массой me и зарядом e, которую он будет иметь на середине расстояния электродами, если, покидая катод, он имеет нулевую начальную скорость. Указание: используйте

теорему Гаусса для нахождения напряжённости поля между электродами. Ответ: v = q(2eU/m)[R2/(R1 + R2)].

Задача 1.6б (решить самостоятельно). Электровакуумный прибор имеет электроды в виде двух больших параллельных пластин, расположенных близко друг к другу таким образом, что искажением поля на краях можно пренебречь. На электроды подано напряжение U. Найдите скорость электрона с массой me и зарядом e, которую он будет иметь на середине расстояния между электродами, если, покидая одну из них, он имеет нулевую начальную скорость. Указание: используйте теорему Гаусса для нахождения напряжённости поля между электродами. В качестве поверхности интегрирования в теореме Гаусса используйте цилиндр. Рассмотрите каждый электрод отдельно, потом най-

дите их результирующее поле, используя принцип суперпозиции. Ответ: v = qeU/me.

28

ТЕМА 2. ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Связь диэлектрических восприимчивости { и проницаемости ε: ε = 1 + {. Поверхностная плотность связанных зарядов в однородном изотропном ди-

Сила, действующая на диполь: F = p ∂E/∂ p .

Справочник

ε0 = 8.85 × 10−12 Ф/м2. NА = 6.022 × 1023 моль-1. cos 2α = 2 cos2 α − 1.

Задача 2.1 Сила, действующая на диполь

Тренировочный вариант. Два разноимённых заряда q находятся на расстоянии ` друг от друга. На прямой, проходящей через заряды, на расстоянии r от центра их симметрии, поместили диполь, который свободно установился в поле зарядов. Считая ` малым, найти силу, действующую на диполь, если модуль вектора его электрического момента равен p. Рассмотреть два случая: когда ближе к диполю находится положительный и отрицательный заряды. Ответ: а) Ближе положительный: F = −3`qp/(2πε0r4). б) Ближе отрицательный: сила будет той же самой как по величине, так и по направлению.

29

Решение (законспектировать). Диполь представляет собой пару разноимённых зарядов. Характеристикой диполя является электрический момент p. Его модуль равен произведению положительного заряда на плечо, т. е. на расстояние между зарядами:

p = q`.

Это векторная величина. Вектор # от отрицательного заряда к положитель- p

ному. Диполь считается точечным объектом. Это значит, что плечо ` всегда предполагается малым.

Так как в условии сказано, что расстояние ` между зарядами +q и −q мало, это значит, что они образуют диполь, и фактически нам нужно найти силу, действующую со стороны одного диполя на другой.

В условии сказано, что диполь свободно ориентируется. Это значит, что он занимает положение с минимумом потенциальной энергии. Потенциальная

рисунке.

Найдём поле, создаваемое парой зарядов. Используя общую формулу для

Теперь упростим эту формулу, используя малость `. Преобразование, которое мы собираемся выполнить, называется мультипольным разложением.

В матанализе известно так называемое разложение Тейлора. Если есть дифференцируемая функция f(x), то при малых x её значения можно приближённо вычислять по следующей формуле:

f(x) = f(0) + f0(0)x + 12f00(0)x2 + . . .

Для использования этой формулы мы должны последовательно вычислять первую производную в нуле f0(0), вторую производную в нуле f00(0) и так далее до тех пор, пока не получится ненулевое значение. Оно определит

30