Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

Учтя, что векторы # и # перпендикулярны, получим формулу для модуля v B

вектора E#0:

Находясь в системе отсчёта K0, наблюдаем электрическое поле E0. Вспомним граничные условия для электрических полей в диэлектриках.

E1τ = E2τ , E1n = ε2 .

E2n ε1

В нашем случае электрическое поле вне диэлектрика обозначено как E0 и направлено по нормали к его поверхности. Диэлектрическая проницаемость среды вне пластины (по условию это вакуум) равна единице. Следовательно, поле внутри пластины Eвнут0 , диэлектрическая проницаемость ε которой известна из условия задачи, будет равно

Подставим в эту формулу найденное выше выражение для E0 через магнитное поле и скорость:

Теперь вспомним, что поверхностная плотность нескомпенсированных связанных зарядов в диэлектрике равно нормальной компоненте вектора поляризации:

σ0 = Pn.

Внашем случае электрическое поле направлено по нормали, поэтому до-

#

статочно найти P . Вспомним, что вектор P в однородном изотропном диэлектрике пропорционален электрическом полю в нём

где { — диэлектрическая восприимчивость,

{= ε − 1.

Внашем случае эта формула принимает вид

P = (ε − 1)ε0Eвнут0 .

131

Подставим сюда найденное выше выражение для Eвнут0 , учтём что P = σ0 и получим расчётную формулу:

Теперь подставим числа, чтобы получить ответ:

Задача 8.6а (решить самостоятельно). Плоскопараллельная диэлектрическая пластина движется в постоянном однородном магнитном поле со скоростью v = 25 м/с так, что силовые линии поля и вектор скорости па-

раллельны поверхностям пластины, а угол между векторами # и # равен

B v

α = 45◦. На поверхностях пластины при этом образуется поверхностный заряд σ0 = 30 пКл/м2. Найти модуль вектора индукции магнитного поля B. Диэлектрическая проницаемость пластины равна ε = 8. Считать скорость движения нерелятивистской. Ответ: B = 219 мТл.

Задача 8.6б (решить самостоятельно). Плоскопараллельная проводящая пластина движется в постоянном однородном магнитном поле B = 500 мТл со скоростью v = 5 м/с так, что силовые линии поля, вектора скорости и нормали к поверхностям пластины взаимно перпендикулярны. Определить поверхностную плотность образующихся при этом на пластине зарядов. Диэлектрическая проницаемость среды, в которой движется пластина, равна ε = 2. Считать скорость движения нерелятивистской. Ответ: σ = 44.25 пКл/м2.

132

ТЕМА 9. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР И ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

Формулы (законспектировать и выучить)

Заряд конденсатора: q = CU. Энергия конденсатора: W = CU2/2. Энергия катушки: W = LI2/2. Самоиндукция: Eс.инд = −LdI/dt. Сила тока: I = dq/dt.

Первое правило Кирхгофа: Pk Ik = 0. Второе правило Кирхгофа: Pk IkRk = Pi Ei.

Автономный гармонический осциллятор без затухания: q¨ + ω2q = 0, q =

0

qмакс sin(ω0t + α).

Автономный гармонический осциллятор с затуханием: q¨ + 2βq˙ + ω2q = 0,

q 0

q = q1e−βt sin(ωt + α), где ω = ω02 − β2. Логарифмический декремент затухания: λ = βT . Добротность контура: Q = π/λ.

Добротность контура при слабом затухании: Q ≈ (1/R)qL/C, Q ≈ 2πW/δW .

Приближённое вычисление функции (два слагаемых ряда Тейлора): f(x) ≈ f(0) + f0(0)x.

Средняя мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока: P = IдUд cos ϕ, где ϕ — сдвиг фазы между током и напряжением.

Задача 9.1 Амплитуда колебаний в контуре без потерь

Тренировочный вариант. Пренебрагая активным сопротивлением колебательного контура, который образован конденсатором C = 2.2 нФ и катушкой

L = 35 нГн, найти амплитуду силы тока Iмакс в катушке, если известно, что перед подключением к катушке конденсатор предварительно зарядили до

напряжения Uмакс = 5 В. Ответ: Iмакс = 1.25 А.

133

Решение (законспектировать). Так как активным сопротивлением можно пренебречь, амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе будет равна напряжению, до которого его предварительно зарядили.

Eс.инд

Из-за отсутствия активного сопротивления эта ЭДС равна напряжению на конденсаторе:

Uконд = Eс.инд.

Подставим в эту формулу выражения для Eс.инд:

Теперь учтём, что ток и напряжение можно выразить через заряд следующим образом: q = CU, I = dq/dt. Используя эти формулы, преобразуем предыдущее уравнение:

Мы получили дифференциальное уравнение, описывающее колебания заряда в контуре. В общем виде это уравнение записывается как

q¨ + ω02q = 0,

где ω0 — собственная частота контура. Сравнив это уравнение с полученным, можно увидеть, что частота — это квадратный корень из коэффициента при q:

Решение уравнения колебаний имеет вид

q = qмакс sin(ω0t + α),

134

где qмакс — амплитуда колебаний заряда, а α — начальная фаза. Обе эти величины определяются из начальных условий.

Используя связь тока и заряда I = dq/dt, можно найти формулу для колебаний тока:

Из этой формулы видно, что амплитуда колебаний тока выражается через амплитуду заряда и частоту:

Подставив в это равенство ранее полученное выражения для частоты ω0 и учитывая связь заряда на конденсаторе с напряжением q = CU, получим расчётную формулу:

Осталось подставить числа и получить ответ:

Задача 9.1а (решить самостоятельно). К контуру, состоящему из катушки L = 40 нГн и конденсатора C = 5.8 нФ, параллельно катушке подключили источник ЭДС так, что в катушке установился постоянный ток силой Iмакс = 0.5 А. После этого источник ЭДС отключили и в контуре возникли электрические колебания. Найти амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе Uмакс, пренебрегая активным сопротивлением контура. Ответ: Uмакс = 1.3 В.

Задача 9.1б (решить самостоятельно). Два конденсатора ёмкости C1 = 386 пФ и C2 = 415 пФ зарядили до одинакового напряжения U, а затем, отключив от источника питания, подключили к каждому их них катушки L1 и L2, соответственно. Частота возникших колебаний в полученном таким образом первом контуре оказалась в два раза меньше частоты второго. Найти, во сколько раз амплитуда тока второго контура больше амплитуды тока первого. Ответ: Iмакс2/Iмакс1 = 2.15.

135

Задача 9.2 Мощность, подводимая к контуру с активным сопротивлением

Тренировочный вариант. В колебательном контуре, состоящем из включенных последовательно конденсатора C = 2 нФ, сопротивления R = 0.3 Ом и катушки L = 8 мкГн, поддерживаются незатухающие колебания. Какая мощность подводится к контуру, если амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе поддерживается равной Uмакс = 15 В? Ответ: P = 8.4 мВт.

Решение (законспектировать). Потери энергии на активном сопротивлении должны компенсироваться включённым в цепь источником ЭДС. Рассмотрим контур без ЭДС и вычислим количество энергии W , теряемой за период колебаний T . Искомая мощность источника ЭДС будет равна этой энергии, делённой на период.

Через период T , т. е. к моменту t0 + T вся энергия снова будет сконцентрирована на конденсаторе, но из-за затухания она будет меньше:

где U2 — соответствующее напряжение на конденсаторе. Тогда потеря энергии за период равна

Теперь нам нужно найти, как связаны U1 и U2, а также вычислить период колебаний.

Используем правила Кирхгофа. Так как цепь не разветвлённая, то достаточно применить второе правило, которое гласит: сумма падений напряжения на участках замкнутого контура равна сумме действующих в этом контуре источников ЭДС:

Uконд + IR = Eс.инд.

136

Все величины, входящие в это уравнение, выразим через заряд. Вспомним,

что q = CU, I = dq/dt, Eс.инд = −LdI/dt. Учитывая эти соотношения и перенеся все слагаемые влево, получим

Теперь поделим это уравнение на L и запишем слагаемые в порядке убывания производных:

Вводя обозначения

ω0 = √1

LC

получим стандартное уравнение гармонического осциллятора с затуханием:

q¨ + 2βq˙ + ω02q = 0.

Известно, что решение этого уравнения можно записать следующим обра-

зом:

q = q1e−βt sin(ωt + α),

где q1 — начальная амплитуда заряда, α — начальная фаза колебаний, которая определяется из начальных условий и ω — частота колебаний,

q

ω = ω02 − β2.

Заметим, что при наличии затухания, частота колебаний отличается от собственной частоты. Однако если затухание невелико, т. е. когда β ω0, этим отличием можно пренебречь.

Чтобы убедиться в правомерности такого допущения, вычислим отношение β/ω0 и убедимся, что оно много меньше единицы:

Видно, что при заданных числовых значениях параметров требование β ω0 выполняется и, следовательно, можно считать, что

ω = ω0.

137

Из приведённой выше формулы следует, что убыль амплитуды заряда происходит по экспоненциальному закону q1e−βt. Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду, q = CU, следовательно и напряжение убывает таким же образом. Если в момент времени t0 напряжение было равно U1, то через период, при t0 + T , амплитуда будет равна

U2 = U1e−βT = U1e−λ.

Величина λ = βT называется логарифмическим декрементом затухания. Подставим найденное U2 в формулу для убыли энергии W :

Следовательно, формулу для W можно упростить. Построим упрощённое выражение для функции f(λ) = 1 − e−2λ. Используем разложение в ряд Тейлора. Этот ряд содержит бесконечное число слагаемых, но обычно для приближённых вычислений берутся первые несколько. Нам достаточно будет взять только два. Если имеется функция f(x) то для малого x можно вычислить приближённое значение этой функции по формуле

f(x) ≈ f(0) + f0(0)x,

где f(0) — значение функции при x = 0, а f0(0) — значение её первой производной при x = 0. Для нашей функции f(λ) = 1 − e−2λ имеем

Подставим найденные f(0) и f0(0) в формулу разложения и получим

138

Следовательно, упрощённая формула для убыли энергии имеет вид

Теперь выразим в этой формуле логарифмический декремент затухания λ = βT и период T = 2π/ω0 через параметры контура R, L и C и получим расчётную формулу:

Подставим числа и найдём ответ:

Задача 9.2а (решить самостоятельно). Чтобы поддерживать незатухающие колебания в контуре, состоящем из последовательно соединённых конденсатора, сопротивления и катушки, ему за каждый период сообщается энергия E = 0.1 мДж. Вычислить амплитуду колебаний напряжения

на конденсаторе, если известно, что контур имеет следуюшие параметры: R = 0.8 Ом, L = 10 Гн и C = 15 мкФ. Ответ: Uмакс = 46.5 В.

Задача 9.2б (решить самостоятельно). Колебательный контур состоит из включённых последовательно конденсатора C = 6 нФ, сопротивления R = 0.5 Ом и катушки L = 3.331 мкГн. К контуру подводится энергия от источника, в котром предварительно была запасена энергия в количестве E = 2.5 Дж. Амплитуда колебаний на конденсаторе поддерживается равной Uмакс = 5 В. Сколько времени проработает такой контур до начала затухания амплитуды колебаний? Ответ: t = 222 с.

139

Задача 9.3 Энергия, теряемая контуром за период

Тренировочный вариант. Колебательный контур содержит последовательно включённые конденсатор C = 120 нФ, катушку L = 5 мГн и резистор R = 10 Ом. В начальный момент времени конденсатор имеет заряд q1 = 1 мКл. Какое количество энергии будет потеряно контуром за первый период колебаний? Ответ: δW = 1.28 Дж.

Решение (законспектировать). Энергия δW , теряемая контуром за период, связана с добротностью Q и полной энергией W формулой

Q = 2πδWW .

В свою очередь, добротность можно выразить через параметры контура как

v

1 u L

u

Q = RtC .

Подставим эту формулу в предыдущую и выразим δW :

Энергия, запасённая в контуре равна

q2 W = 2 1 .

C

Подставим это выражение для W в предыдущую формулу:

Теперь подставим числа и получим ответ:

Задача 9.3а (решить самостоятельно). Колебательный контур содержит последовательно включённые конденсатор C = 200 нФ, катушку L = 15 мГн и резистор R = 5 Ом. В начальный момент времени через катушку течёт ток I1 = 100 мА. Какое количество энергии будет потеряно контуром за первый период колебаний? Ответ: δW = 8.60 мкДж.

140